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第八节　函数与方程
课标解读 考向预测
1.理解函数的零点与方程解的联系，掌握函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.会用二分法求方程的近似解. 从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2025年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大.
【知识梳理】
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)零点的近似值．
【常用结论】
函数零点的相关技巧：
(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
(3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号．
(4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A必修第一册4.5.1例1改编)已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
(2)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　)
(3)(人教A必修第一册习题4.5 T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
A.2 B．3
C．4 D．5
(4)若函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则实数k的取值范围是________．
【考点探究】
考点一　函数零点所在区间的判断
例1 (1)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零点所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．
【通性通法】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【巩固迁移】
1．(2023·广东梅州高三二模)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
2．已知2考点二　函数零点个数的判断
例2 (1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)零点的个数为________．
(2)方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的实数根的个数为________．
解法二：令f(x)＝ln x＋cosx－，则f′(x)＝－sinx，显然在(0，1)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，又f＝ln ＋cos－＝－1－＋cos<0，f(1)＝ln 1＋cos1－＝0＋cos1－>cos－＝－>0，所以在(0，1)上函数f(x)的图象和x轴有且只有一个交点，即方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的实数根的个数为1.
【通性通法】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点．
(2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断．
(3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．
【巩固迁移】
3．(2024·江苏无锡模拟)函数f(x)＝的零点的个数为________．
4．函数f(x)＝－|log2x|的零点有________个．
考点三　函数零点的应用(多考向探究)
考向1利用零点比较大小
例3已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A．aC．b【通性通法】
(1)直接利用方程研究零点．
(2)利用图象交点研究零点．
(3)利用零点存在定理研究零点．
【巩固迁移】
5．(2023·江西南昌模拟预测)已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是(　　)
A．aC．b考向2根据零点个数求参数
例4 (2023·山东济南高三三模)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
【通性通法】
根据零点个数求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．
【巩固迁移】
6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．－2
7．设a∈R，对任意实数x，记f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为________．
考向3根据零点范围求参数
例5已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为________．
【通性通法】
根据零点范围求参数的方法
(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解．
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解．
【巩固迁移】
8．(2024·湖北荆州中学高三月考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a
在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．(2024·江苏扬中第二高级中学高三期初检测)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．2 B．－2，0
C. D．0
3．函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．(2023·河南扶沟期末)若关于x的方程logx＝在区间上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪(1，＋∞)
5．已知三个函数f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(2，＋∞)
C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)
7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．(－1，1)
C．[0，1) D．(－∞，1]
8．已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝x2－3x－4的零点是(4，0)，(－1，0)
B．方程ex＝3＋x有两个解
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上
10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．m>－
C．当m>0时，2D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3
11．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　)
A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)
B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)
C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1三、填空题
12．已知函数f(x)＝log2(x－1)＋a在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________．
13．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx－1有m个零点，函数y＝f(x)－x－1有n个零点，且m＋n＝7，则非零实数k的取值范围是________．
14．(2024·河北衡水中学高三月考)已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sinπx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]内所有零点的和为________．
【B组 素养提升】
15．已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＋3＝0的解的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
16．(多选)(2024·湖北荆州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且x1A．0C．x3x4∈(48，55) D．x1x3∈(1，5)
17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝x2，则方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为________．
18．(2024·山东泰安高三期末)已知函数f(x)＝若x121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第八节　函数与方程
课标解读 考向预测
1.理解函数的零点与方程解的联系，掌握函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.会用二分法求方程的近似解. 从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2025年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大.
【知识梳理】
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)零点的近似值．
【常用结论】
函数零点的相关技巧：
(1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．
(3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号．
(4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(人教A必修第一册4.5.1例1改编)已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
答案　B
(2)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　)
答案　A
解析　根据题意，利用二分法求函数零点的条件是函数在零点的左、右两侧的函数值符号相反，即图象穿过x轴，据此分析，知选项A中的函数不能用二分法求零点．故选A.
(3)(人教A必修第一册习题4.5 T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　　)
x 1 2 3 4 5 6
y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64
A.2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．故选B.
(4)若函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则实数k的取值范围是________．
答案　
【考点探究】
考点一　函数零点所在区间的判断
例1 (1)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零点所在的区间是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案　C
解析　因为函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)在上单调递减，所以函数f(x)最多只有一个零点，因为f(0)f(1)＝5(3－lg 3)>0，f(1)f(2)＝(3－lg 3)(1－lg 5)>0，f(2)f(3)＝(1－lg 5)(－1－lg 7)<0，f(3)f(4)＝(－1－lg 7)×(－3－lg 9)>0，所以函数f(x)＝5－2x－lg (2x＋1)的零点所在的区间是(2，3)．故选C.
(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．
答案　1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)
解析　注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.
【通性通法】
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【巩固迁移】
1．(2023·广东梅州高三二模)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
答案　B
解析　令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.
2．已知2答案　2
解析　依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵20，∴x0∈(2，3)，即n＝2.
考点二　函数零点个数的判断
例2 (1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)零点的个数为________．
答案　2
解析　当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x－1)＝0，可得x＝2.综上所述，函数y＝f(x)零点的个数为2.
(2)方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的实数根的个数为________．
答案　1
解析　解法一：ln x＋cosx＝，即cosx－＝－ln x，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝cosx－和y＝－ln x的大致图象，如图所示，在(0，1)上两函数的图象只有一个交点，即方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的实数根的个数为1.
解法二：令f(x)＝ln x＋cosx－，则f′(x)＝－sinx，显然在(0，1)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，又f＝ln ＋cos－＝－1－＋cos<0，f(1)＝ln 1＋cos1－＝0＋cos1－>cos－＝－>0，所以在(0，1)上函数f(x)的图象和x轴有且只有一个交点，即方程ln x＋cosx＝在(0，1)上的实数根的个数为1.
【通性通法】
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点．
(2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断．
(3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．
【巩固迁移】
3．(2024·江苏无锡模拟)函数f(x)＝的零点的个数为________．
答案　2
解析　当x≤0时，f(x)＝x2－2，根据二次函数的性质可知，此时f(x)单调递减，零点为x＝－；当x>0时，f(x)＝2x－6＋lg x，∵y＝2x－6单调递增，y＝lg x单调递增，∴f(x)＝2x－6＋lg x单调递增．f(1)＝－4<0，f(3)＝lg 3>0，由零点存在定理知，在区间(1，3)必有唯一零点．综上所述，函数f(x)的零点的个数为2.
4．函数f(x)＝－|log2x|的零点有________个．
答案　2
解析　f(x)＝－|log2x|的零点的个数即＝|log2x|的根的个数，即为y＝与y＝|log2x|图象交点的个数，画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数f(x)的零点有2个．
考点三　函数零点的应用(多考向探究)
考向1利用零点比较大小
例3已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　)
A．aC．b答案　A
解析　解法一：因为函数y＝3x，y＝x均为R上的增函数，故函数f(x)＝3x＋x为R上的增函数，因为f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，所以－10，所以解法二：由题设，3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以问题可转化为直线y＝－x与y＝3x，y＝log2x，y＝x3的图象的交点问题，函数图象如图所示，由图可知a【通性通法】
(1)直接利用方程研究零点．
(2)利用图象交点研究零点．
(3)利用零点存在定理研究零点．
【巩固迁移】
5．(2023·江西南昌模拟预测)已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是(　　)
A．aC．b答案　C
解析　由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝ex的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，在同一坐标系内分别画出函数y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的图象，如图所示，由图可知b考向2根据零点个数求参数
例4 (2023·山东济南高三三模)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　)
A．(0，1] B．[0，1]
C．(0，1) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．故选A.
【通性通法】
根据零点个数求参数的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．
【巩固迁移】
6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．－2
答案　B
解析　函数f(x)＝2|x|＋x2＋a的定义域为R，f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2＋a，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则当x＝0时，f(x)min＝a＋1，由函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，得a＋1＝0，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故选B.
7．设a∈R，对任意实数x，记f(x)＝min{|x|－2，x2－ax＋3a－5}．若f(x)至少有3个零点，则实数a的取值范围为________．
答案　[10，＋∞)
解析　设g(x)＝x2－ax＋3a－5，h(x)＝|x|－2，由|x|－2＝0可得x＝±2.要使得函数f(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，则Δ＝a2－12a＋20≥0，解得a≤2或a≥10.①当a＝2时，g(x)＝x2－2x＋1，作出函数g(x)，h(x)的图象如图所示，此时函数f(x)只有2个零点，不符合题意；②当a<2时，设函数g(x)的2个零点分别为x1，x2(x110时，设函数g(x)的2个零点分别为x3，x4(x34，所以a>10.综上所述，实数a的取值范围是[10，＋∞)．
考向3根据零点范围求参数
例5已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为________．
答案　
解析　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则即解得－≤m<0.因此实数m的取值范围是.
【通性通法】
根据零点范围求参数的方法
(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解．
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解．
【巩固迁移】
8．(2024·湖北荆州中学高三月考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a
在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　作出函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大值＝，方程f(x)－a＝0在[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a在[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象有4个交点，则有a∈.
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．(2024·江苏扬中第二高级中学高三期初检测)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
答案　B
解析　因为函数f(x)＝2x＋3x在定义域内单调递增，f(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝1＋0＝1>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选B.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A．2 B．－2，0
C. D．0
答案　D
解析　当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D.
3．函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　令f(x)＝ex|ln x|－1＝0，即|ln x|＝e－x，则函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数等价于两个函数y＝e－x与y＝|ln x|图象的交点个数，y＝e－x与y＝|ln x|的图象如图所示，由图可知，两个函数的图象有2个交点，故函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是2.故选B.
4．(2023·河南扶沟期末)若关于x的方程logx＝在区间上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪(1，＋∞)
答案　B
解析　y＝logx在区间上为减函数，则15．已知三个函数f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
答案　D
解析　∵函数f(x)＝2x－1＋x－1为增函数，又f(0)＝2－1－1＝－<0，f(1)＝1>0，∴a∈(0，1)，由g(x)＝ex－1－1＝0，得x＝1，即b＝1，∵h(x)＝log2(x－1)＋x－1在(1，＋∞)上单调递增，又h＝log2＋－1＝－<0，h(2)＝log2(2－1)＋2－1＝1>0，∴b>a.故选D.
6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(2，＋∞)
C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　D
解析　方程mx－x－m＝0有两个不同的实数根等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点，当m>1时，如图1所示，由图可知，当m>1时，函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点，满足题意；当07．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．(－1，1)
C．[0，1) D．(－∞，1]
答案　D
解析　由题意，函数f(x)＝当x≤0时，函数f(x)＝ex为增函数，其中f(0)＝1，当x>0时，函数f(x)＝ln x为增函数，且f(1)＝0，又由函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，即为g(x)＝0有两个不等的实数根，即y＝f(x)与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，如图所示，当y＝－x＋m恰好过点(1，0)，(0，1)时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，实数m的取值范围是(－∞，1]．故选D.
8．已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
答案　C
解析　函数f(x)的图象如图所示，不妨设a二、多项选择题
9．下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝x2－3x－4的零点是(4，0)，(－1，0)
B．方程ex＝3＋x有两个解
C．函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称
D．用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上
答案　BCD
解析　对于A，令y＝x2－3x－4＝0，解得x＝－1或x＝4，所以函数y＝x2－3x－4的零点是－1和4，故A错误；对于B，分别作出y＝ex，y＝3＋x的图象，y＝ex与y＝3＋x的图象有两个交点，即方程ex＝3＋x有两个解，故B正确；对于C，因为同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，因为y＝3x＋3x－8单调递增，由零点存在定理知，因为f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以方程的根落在区间(1.25，1.5)上，故D正确．故选BCD.
10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B．m>－
C．当m>0时，2D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3
答案　ABD
解析　对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为2，3，故A正确；对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6＝－≥－，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－，故B正确；对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，x1<2<311．已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　)
A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)
B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)
C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1答案　BCD
解析　令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，故作出函数y＝f(x)的图象如图，由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)，故B正确；若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1三、填空题
12．已知函数f(x)＝log2(x－1)＋a在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________．
答案　(－1，0)
解析　由对数函数的性质，可得f(x)为增函数，又函数f(x)在(2，3)上有且仅有一个零点，所以f(2)f(3)<0，即a(a＋1)<0，解得－113．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx－1有m个零点，函数y＝f(x)－x－1有n个零点，且m＋n＝7，则非零实数k的取值范围是________．
答案　∪[3，＋∞)
解析　f(x)的图象与直线y＝kx＋1和y＝x＋1共7个交点，f(x)的图象如图所示，所以①解得0②解得k≥3.综上，非零实数k的取值范围是∪[3，＋∞)．
14．(2024·河北衡水中学高三月考)已知函数f(x)＝与g(x)＝1－sinπx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]内所有零点的和为________．
答案　16
解析　令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋与g(x)＝1－sinπx的图象，如图所示，又f(x)，g(x)的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，由对称性可得，所有零点的和为4×2×2＝16.
【B组 素养提升】
15．已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＋3＝0的解的个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　已知函数f(x)＝∴令f(x)＝－3，则当x>0时，ln x＝－3，解得x＝；当x<0时，x＋＝－3，解得x＝.∵f(f(x))＋3＝0，即f(f(x))＝－3，则f(x)＝或f(x)＝.由f(x)＝，得ln x＝，此方程只有一个根，∵当x<0时，f(x)＝x＋≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，∴f(x)＝仅在x>0时有一个根，f(x)＝在x<0时有两个根，在x>0时有一个根．综上，方程f(f(x))＋3＝0的解的个数为5.故选C.
16．(多选)(2024·湖北荆州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且x1A．0C．x3x4∈(48，55) D．x1x3∈(1，5)
答案　ACD
解析　对于A，当00，则f(x)＝logx，易得f(x)在(0，1)上单调递减，且f(x)>f(1)＝0，当1≤x<4时，logx≤0，则f(x)＝－logx，易得f(x)在[1，4)上单调递增，且f(1)≤f(x)17．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝x2，则方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为________．
答案　12
解析　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当－1≤x<0时，f(x)＝x2，由此画出f(x)在区间[－2，6]上的图象如图所示．f(x)＋＝0 f(x)＝－，由图可知，y＝－与f(x)的图象有4个交点，其中两个关于直线x＝1对称，两个关于直线x＝5对称，所以方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为2×1＋2×5＝12.
18．(2024·山东泰安高三期末)已知函数f(x)＝若x1答案　
解析　对于f(x)＝当x>3时，f(x)>2，当－9≤x≤3时，0≤f(x)≤2，并且图象关于直线x＝－3对称，函数f(x)的图象如下图所示，
如果x1>3，则f(x1)＝f(x2)不成立，∴x1∈[－9，3]，x2∈[－9，3]，并且有x1＋x2＝－6，021世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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