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第一节　导数的概念、几何意义及运算
课标解读 考向预测
1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2025年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中、低档.
【知识梳理】
1．平均变化率
对于函数y＝f(x)，把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，无限趋近的常数．
3．瞬时变化率
定义式 ＝
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
4.导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
5．导函数的概念
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝．
6．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)．
7．基本初等函数的导数公式
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
8.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
9．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率k，再由k＝f′(x0)求出切点坐标P(x0，y0)，最后写出切线方程．
(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上；
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
答案　D
(2)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．e
C． D．
答案　D
(3)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编)已知函数f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，则x0＝(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
答案　B
(4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点处的切线方程为________．
答案　y＝－x＋
解析　因为y＝cosx，则y′＝－sinx，可得曲线y＝cosx在点处的切线斜率为k＝－1，则曲线y＝cosx在点处的切线方程为y＝－x＋.
(5)求下列函数的导数．
①y＝2x＋log2x；②y＝；
③y＝(3x＋1)2ln (3x)；④y＝3xe－3x.
解　①y′＝2xln 2＋.
②y′＝
＝.
③y′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2·
[ln (3x)]′＝6(3x＋1)·ln (3x)＋.
④y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3·3xe－3x.
【考点探究】
考点一　导数的概念及运算
例1(1)(2024·江苏连云港一中高三上月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
答案　D
解析　由题意，得 ＝－ ＝－a，所以－a＝1－a，解得a＝2.故选D.
(2)(多选)下列结论中错误的是(　　)
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2
C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x
D．若y＝xsin2x，则y′＝xsin2x
答案　ACD
解析　对于A，y＝cos，则y′＝sin，故A错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；对于D，y＝xsin2x，则y′＝sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD.
【通性通法】
1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)得导数f′(x0)＝ ，简记作：一差、二比、三极限．
2．函数的导数与导数值的区别与联系
导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．
【巩固迁移】
1．(多选)下列求导数的运算中正确的是(　　)
A．′＝1－
B．(3ln x)′＝
C．′＝
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
答案　AB
解析　对于A，x′＝1，′＝(x－1)′＝－x－2＝－，相加即可，故A正确；对于B，系数不变，只对ln x求导即可，即(3ln x)′＝，故B正确；对于C，由除法求导公式，得′＝＝，故C错误；对于D，由乘法求导公式，得(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错误．故选AB.
2．(2023·重庆市第八中学高三适应性月考(三))已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则f＝________．
答案　e＋
解析　因为f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝，所以f＝e－sin＋1＝e＋.
考点二　导数的几何意义及其应用(多考向探究)
考向1导数与函数的图象
例2　函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)
B．f′(1)C．0D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0
答案　D
解析　如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选D.
【通性通法】
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
【巩固迁移】
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0答案　C
解析　如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0考向2求切点的坐标
例3已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
答案　C
解析　设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)．
【通性通法】
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【巩固迁移】
4．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
答案　(e，1)
解析　设点A(x0，y0)，则y0＝ln x0.又y′＝，当x＝x0时，y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，代入点(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1，即x0ln x0＝e.令H(x)＝xln x，当x∈(0，1)时，H(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，H(x)>0，且H′(x)＝ln x＋1，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，注意到H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，故点A的坐标为(e，1)．
考向3求切线的方程
例4　(1)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
答案　5x－y＋2＝0
解析　因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．
答案　y＝x　y＝－x
解析　当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，得y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝，得y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x.
【通性通法】
注意：“待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
【巩固迁移】
5．若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为(　　)
A．12x－y－16＝0
B．3x－y＋2＝0
C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0
D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
答案　D
解析　易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2，当点P为切点时，切线斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0.当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x.∵点A在曲线上，∴y0＝x，∴＝3x，∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.故选D.
考向4求参数的值或取值范围
例5 　(2023·河南郑州高三第二次质量预测)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
答案　C
解析　由题意，得y′＝ln x＋1－ae－x，根据导数的几何意义可知，在点x＝1处的切线斜率为1－＝2，解得a＝－e，所以切点为(1，－1)，代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3.故选C.
【通性通法】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【巩固迁移】
6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
考点三　两曲线的公切线问题
例6　设曲线y＝ln x与y＝(x＋a)2有一条斜率为1的公切线，则a＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
答案　B
解析　因为y＝ln x，所以y′＝，又因为切线的斜率为1，所以y′＝＝1，解得x＝1，y＝0，所以切线方程为y＝x－1.因为y＝(x＋a)2，所以y′＝2x＋2a＝1，解得x＝－a，代入切线方程得y＝－－a，再将代入y＝(x＋a)2，解得a＝－.故选B.
【通性通法】
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．
(2)设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.
【巩固迁移】
7．(2023·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝(　　)
A．4 B．8
C．2 D．1
答案　B
解析　y＝x＋ln x的导数为y′＝1＋，曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，则曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，两曲线相切有一切点，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.故选B.
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第一节　导数的概念、几何意义及运算
课标解读 考向预测
1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2025年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中、低档.
【知识梳理】
1．平均变化率
对于函数y＝f(x)，把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，无限趋近的常数．
3．瞬时变化率
定义式 ＝
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
4.导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
5．导函数的概念
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝．
6．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)．
7．基本初等函数的导数公式
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
8.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
9．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【常用结论】
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
(4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率k，再由k＝f′(x0)求出切点坐标P(x0，y0)，最后写出切线方程．
(5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上；
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
(2)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．e
C． D．
(3)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编)已知函数f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，则x0＝(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点处的切线方程为________．
【考点探究】
考点一　导数的概念及运算
例1(1)(2024·江苏连云港一中高三上月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
(2)(多选)下列结论中错误的是(　　)
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2
C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x
D．若y＝xsin2x，则y′＝xsin2x
【通性通法】
1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)得导数f′(x0)＝ ，简记作：一差、二比、三极限．
2．函数的导数与导数值的区别与联系
导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．
【巩固迁移】
1．(多选)下列求导数的运算中正确的是(　　)
A．′＝1－
B．(3ln x)′＝
C．′＝
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
2．(2023·重庆市第八中学高三适应性月考(三))已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则f＝________．
考点二　导数的几何意义及其应用(多考向探究)
考向1导数与函数的图象
例2　函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)
B．f′(1)C．0D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0
【通性通法】
函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
【巩固迁移】
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考向2求切点的坐标
例3已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
【通性通法】
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【巩固迁移】
4．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
考向3求切线的方程
例4　(1)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．
【通性通法】
注意：“待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
【巩固迁移】
5．若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为(　　)
A．12x－y－16＝0
B．3x－y＋2＝0
C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0
D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0
考向4求参数的值或取值范围
例5 　(2023·河南郑州高三第二次质量预测)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．0
【通性通法】
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
【巩固迁移】
6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
考点三　两曲线的公切线问题
例6　设曲线y＝ln x与y＝(x＋a)2有一条斜率为1的公切线，则a＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．
【通性通法】
解决两曲线的公切线问题的两种方法
(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解．
(2)设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.
【巩固迁移】
7．(2023·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝(　　)
A．4 B．8
C．2 D．1
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