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第三节　导数与函数的极值、最值
课标解读 考向预测
熟练掌握极值的概念、极值存在的必要条件和充分条件，能求函数的极值，能求闭区间上连续函数的最值，能求实际问题中的最值. 近三年高考题中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点，预计2025年高考极值和最值问题在选择题、填空题和解答题中都有可能出现，难度保持稳定或略有降低.
【知识梳理】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【常用结论】
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
4．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　)
(2)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　)
(3)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第二册5.3.2例5改编)函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
答案　C
解析　f′(x)＝1－ln x，由f′(x)>0，得0e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝e处取得极大值，f(e)＝e.故选C.
(2)(北师大版选择性必修第二册7.2例5改编)若商品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　　)
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
答案　C
解析　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当00；当x>3时，y′<0.所以函数在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以当x＝3时，该商品的年利润最大．故选C.
(3)(2023·甘肃兰州模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在(－3，1)上单调递增
D．曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零
答案　B
解析　根据导函数图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，1)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；易知－3是函数y＝f(x)的极小值点，故A正确；因为y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，所以－1不是函数y＝f(x)的最小值点，故B错误；因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零，故D正确．故选B.
【考点探究】
考点一　导数与函数的极值(多考向探究)
考向1根据函数图象判断极值(点)
例1 (多选)(2024·山东枣庄第十六中学高三上学期月考)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的单调递增区间是(－1，2)，(4，＋∞)
B．x＝－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数
D．x＝2是f(x)的极小值点
答案　ABC
解析　根据题中图象知，当x∈(－1，2)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数在(－1，2)，(4，＋∞)上单调递增；当x∈(－3，－1)∪(2，4)时，f′(x)<0，函数在(－3，－1)，(2，4)上单调递减，故A，C正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，x＝－1是f(x)的极小值点，故B正确；当x＝2时，f(x)取得极大值，x＝2不是f(x)的极小值点，故D错误．故选ABC.
【通性通法】
由图象判断函数y＝f(x)的极值的方法
由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
【巩固迁移】
1．(2024·陕西西安长安区高三上学期月考)已知函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f(x)有2个极值点
B．f(x)在x＝1处取得极小值
C．f(x)有极大值，没有极小值
D．f(x)在(－∞，1)上单调递减
答案　C
解析　由题图得，f(x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，∴f(x)有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，C正确．故选C.
考向2求已知函数的极值(点)
例2　(多选)(2023·广东饶平模拟)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，则(　　)
A．－1是函数f(x)的极大值点
B．3是函数f(x)的极小值点
C．函数f(x)的极小值为－7
D．函数f(x)的极大值为25
答案　CD
解析　因为f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，该函数的定义域为R，则f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，列表如下：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 －7 单调递增 25 单调递减
所以－1是函数f(x)的极小值点，3是函数f(x)的极大值点，函数f(x)的极小值为f(－1)＝－7，极大值为f(3)＝25.故选CD.
【通性通法】
求函数f(x)极值的一般解题步骤
【巩固迁移】
2．讨论函数f(x)＝x－1＋的极值．
解　由题意，得f′(x)＝1－.
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，可得x＝ln a.
所以当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
则f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
考向3已知函数的极值(点)求参数
例3 　(1)(2023·辽宁抚顺重点高中六校协作体高三二模)已知函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极大值4，则a－b＝(　　)
A．8 B．－8
C．2 D．－2
答案　B
解析　因为f(x)＝ax3＋bx，所以f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0，f(1)＝a＋b＝4，解得a＝－2，b＝6，经检验，符合题意，所以a－b＝－8.故选B.
(2)(2024·江苏南京师范大学附属中学高三上学期开学测试)已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a∈R)有两个极值点，则实数a的取值范围为________．
答案　(1，＋∞)
解析　∵函数f(x)的定义域是R，f′(x)＝ex－x－a，令h(x)＝ex－x－a，h′(x)＝ex－1，所以在区间(－∞，0)上，h′(x)<0，h(x)单调递减；在区间(0，＋∞)上，h′(x)>0，h(x)单调递增．要使f(x)有两个极值点，则f′(0)＝h(0)＝1－a<0，a>1，又当x趋于－∞时，f′(x)趋于＋∞，当x趋于＋∞时，f′(x)趋于＋∞，所以实数a的取值范围为(1，＋∞)．
【通性通法】
已知函数的极值(点)求参数的方法
(1)对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件，即当已知可导函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解，但应检验极值点两侧的导数是否异号．
(2)若函数f(x)在区间I上有极值点，则f′(x)在区间I上有变号的零点，亦即方程f′(x)＝0有满足相应条件的实数根，从而可转化为方程有解问题，也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解．
【巩固迁移】
3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
答案　BCD
解析　函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B，C，D正确．故选BCD.
考点二　导数与函数的最值(多考向探究)
考向1求已知函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
答案　D
解析　f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又f(0)＝f(2π)＝2，f＝＋2，f＝－，所以f(x)在区间[0，2π]的最小值为－，最大值为＋2.故选D.
【通性通法】
求函数最值的步骤
【巩固迁移】
4．(2023·江苏镇江模拟)已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋ln x，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为________．
答案　－2
解析　令t＝f(m)＝g(n)，则em－3＝t，1＋ln n＝t，所以m＝3＋ln t，n＝et－1，即n－m＝et－1－3－ln t，令h(t)＝et－1－3－ln t，则h′(t)＝et－1－(t>0)，令h′(t)＝0，得t＝1.当01时，h′(t)>0，h(t)单调递增，所以h(t)min＝h(1)＝－2，即n－m的最小值为－2.
考向2已知函数的最值求参数
例5 已知函数f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________．
答案　1或e
解析　因为f′(x)＝a－＋＝，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)是(0，＋∞)上的减函数，函数f(x)无最小值，不符合题意；当a>0时，由f′(x)<0，得00，得x>，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，函数f(x)的最小值为f＝1＋a＋(1－a)ln a，由1＋a＋(1－a)ln a＝2，得(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或e.综上，a＝1或e.
【通性通法】
(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．
(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【巩固迁移】
5．已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋＋1.若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上的最小值为3，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　因为y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋＋1.当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x－＋1＝－f(x)，所以当x>0时，f(x)＝x＋－1，此时f′(x)＝1－.当a≤1时，f′(x)＝1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝1＋a－1＝3，解得a＝3(舍去)；当a>1时，当x∈[1，]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当x∈[，＋∞)时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)取得最小值f()＝2－1＝3，解得a＝4.综上，a＝4.故选D.
考点三　生活中的优化问题
例6 (2023·山东烟台高三上学期期末)某工厂拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且l≥6r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为m(m>2.25)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解　(1)设该容器的体积为V，
则V＝πr2l＋πr3，
又V＝，所以l＝－r.
因为l≥6r，所以0所以建造费用y＝2πrl×＋3πr2m＝2πr×＋3πr2m，
因此y＝3π(m－1)r2＋，0(2)由(1)得y′＝6π(m－1)r－＝，0由于m>，所以m－1>0，
令r3－＝0，得r＝.
若<2，即m>6，当r∈时，y′<0，y(r)为减函数，当r∈时，y′>0，y(r)为增函数，此时r＝为函数y(r)的极小值点，也是最小值点．
若≥2，即综上所述，当6时，建造费用最小时r＝.
【通性通法】
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过建立函数模型，用导数解决数学问题，得到优化问题的答案．
【巩固迁移】
6．(2023·山东德州模拟)高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t<10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)人．
(1)求P(t)的表达式；
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？最大为多少？
解　(1)当2≤t<10时，减少的人数与(10－t)2成正比，设比例系数为k，
所以P(t)＝1200－k(10－t)2，2≤t<10，
当t＝5时，P(5)＝950，
即1200－k(10－5)2＝950，
解得k＝10，
所以P(t)＝
(2)由题意可得
Q(t)＝
所以＝
令H(t)＝，当2≤t<10时，H′(t)＝－4t＋＝，
令H′(t)＝0，得t＝8.
当2≤t<8时，H′(t)>0，当8所以H(t)的最大值为H(8)＝316，
当10≤t≤20时，H′(t)＝－40＋<0，
所以H(t)的最大值为H(10)＝295.2，
因为295.2<316，所以当t＝8时，单位时间的净收益最大，为316元．
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间的净收益最大，为316元．
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第三节　导数与函数的极值、最值
课标解读 考向预测
熟练掌握极值的概念、极值存在的必要条件和充分条件，能求函数的极值，能求闭区间上连续函数的最值，能求实际问题中的最值. 近三年高考题中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点，预计2025年高考极值和最值问题在选择题、填空题和解答题中都有可能出现，难度保持稳定或略有降低.
【知识梳理】
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【常用结论】
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
4．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　)
(2)函数的极小值一定不是函数的最大值．(　　)
(3)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第二册5.3.2例5改编)函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
(2)(北师大版选择性必修第二册7.2例5改编)若商品的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　　)
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
(3)(2023·甘肃兰州模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在(－3，1)上单调递增
D．曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于零
【考点探究】
考点一　导数与函数的极值(多考向探究)
考向1根据函数图象判断极值(点)
例1 (多选)(2024·山东枣庄第十六中学高三上学期月考)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)的单调递增区间是(－1，2)，(4，＋∞)
B．x＝－1是f(x)的极小值点
C．f(x)在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数
D．x＝2是f(x)的极小值点
【通性通法】
由图象判断函数y＝f(x)的极值的方法
由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
【巩固迁移】
1．(2024·陕西西安长安区高三上学期月考)已知函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f(x)有2个极值点
B．f(x)在x＝1处取得极小值
C．f(x)有极大值，没有极小值
D．f(x)在(－∞，1)上单调递减
考向2求已知函数的极值(点)
例2　(多选)(2023·广东饶平模拟)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，则(　　)
A．－1是函数f(x)的极大值点
B．3是函数f(x)的极小值点
C．函数f(x)的极小值为－7
D．函数f(x)的极大值为25
【通性通法】
求函数f(x)极值的一般解题步骤
【巩固迁移】
2．讨论函数f(x)＝x－1＋的极值．
考向3已知函数的极值(点)求参数
例3 　(1)(2023·辽宁抚顺重点高中六校协作体高三二模)已知函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处取得极大值4，则a－b＝(　　)
A．8 B．－8
C．2 D．－2
(2)(2024·江苏南京师范大学附属中学高三上学期开学测试)已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a∈R)有两个极值点，则实数a的取值范围为________．
【通性通法】
已知函数的极值(点)求参数的方法
(1)对于可导函数y＝f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要条件，即当已知可导函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解，但应检验极值点两侧的导数是否异号．
(2)若函数f(x)在区间I上有极值点，则f′(x)在区间I上有变号的零点，亦即方程f′(x)＝0有满足相应条件的实数根，从而可转化为方程有解问题，也可转化为直线与曲线的交点问题进行求解．
【巩固迁移】
3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
考点二　导数与函数的最值(多考向探究)
考向1求已知函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
【通性通法】
求函数最值的步骤
【巩固迁移】
4．(2023·江苏镇江模拟)已知函数f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋ln x，若f(m)＝g(n)，则n－m的最小值为________．
考向2已知函数的最值求参数
例5 已知函数f(x)＝ax＋＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________．
【通性通法】
(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．
(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【巩固迁移】
5．已知函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋＋1.若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上的最小值为3，则实数a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点三　生活中的优化问题
例6 (2023·山东烟台高三上学期期末)某工厂拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且l≥6r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为m(m>2.25)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
【通性通法】
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过建立函数模型，用导数解决数学问题，得到优化问题的答案．
【巩固迁移】
6．(2023·山东德州模拟)高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*.经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当10≤t≤20时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当2≤t<10时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．设发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t)人．
(1)求P(t)的表达式；
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)＝P(t)－40t2＋660t－2048元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？最大为多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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