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第一节　任意角、弧度制及三角函数的概念
课标解读 考向预测
1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 从近几年高考来看，本部分内容高考较少直接考查，通常是与三角恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，属低档题．预计2025年高考依然是与三角函数图象与性质、三角恒等变换综合考查.
【知识梳理】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
【常用结论】
1．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
2．象限角
3．轴线角
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　)
(2)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(　　)
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A必修第一册习题5.2 T12改编)已知角α的终边经过点P(－1，2)，则tanα＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
(2)(人教B必修第三册7.2.1例5改编)已知sinA>0且tanA<0，则角A的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)(人教A必修第一册习题5.1 T2改编)在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．
(4)(人教A必修第一册习题5.1 T9改编)已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
【考点探究】
考点一　象限角与终边相同的角
例1 (1)下列说法中，正确的是(　　)
A．第二象限角是钝角
B．第二象限角必大于第一象限角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角
(2)已知α与120°角的终边关于x轴对称，则是(　　)
A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
【通性通法】
1．象限角的判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
(2)写出kα或的范围．
(3)根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
【巩固迁移】
1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
2．与－2024°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
考点二　扇形的弧长与面积公式
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
2.
【通性通法】
应用弧度制解决问题的策略
策略一 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形
策略二 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值
注意：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
【巩固迁移】
3．(2023·浙江名校联考)如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2是会徽的几何图形，设弧的长度是l1，弧的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点三　三角函数的定义及其应用(多考向探究)
考向1利用三角函数的定义求值
例3 (1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－，则tanθ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则2sinθcosθ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【通性通法】
用定义求三角函数值的策略
策略一 已知角α终边上一点P的坐标，先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求角α的三角函数值
策略二 已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，从而求出参数的值．注意舍去增根
策略三 已知角α的终边所在直线的方程，可先设出终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求三角函数值
【巩固迁移】
4．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列说法正确的是(　　)
A．sinθ＝－
B．α为钝角
C．cosα＝－
D．点(tanθ，sinα)在第一象限
考向2判断三角函数值的符号
例4 (多选)(2023·福建福州华侨中学模拟)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos，其中符号为负的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
【通性通法】
判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号．
注意：不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【巩固迁移】
5．若α为第二象限角，则cos2α，sin2α，tan中，其值必为正数的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
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第一节　任意角、弧度制及三角函数的概念
课标解读 考向预测
1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 从近几年高考来看，本部分内容高考较少直接考查，通常是与三角恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，属低档题．预计2025年高考依然是与三角函数图象与性质、三角恒等变换综合考查.
【知识梳理】
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
【常用结论】
1．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
2．象限角
3．轴线角
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　)
(2)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(　　)
(4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(人教A必修第一册习题5.2 T12改编)已知角α的终边经过点P(－1，2)，则tanα＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
答案　B
解析　由题意，得tanα＝＝－2.
(2)(人教B必修第三册7.2.1例5改编)已知sinA>0且tanA<0，则角A的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　因为sinA>0，所以角A的终边在第一、第二象限或与y轴的正半轴重合．因为tanA<0，所以角A的终边在第二或第四象限，所以角A的终边在第二象限．
(3)(人教A必修第一册习题5.1 T2改编)在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．
答案　
解析　与角－终边相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得与角－终边相同的角是.
(4)(人教A必修第一册习题5.1 T9改编)已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案　12π
解析　∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，∴此扇形的面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
【考点探究】
考点一　象限角与终边相同的角
例1 (1)下列说法中，正确的是(　　)
A．第二象限角是钝角
B．第二象限角必大于第一象限角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角
答案　D
解析　510°是第二象限角，但不是钝角，故A错误；分别取第一象限角为730°，第二象限角为510°，此时第一象限角大于第二象限角，故B错误；－150°是第三象限角，故C错误；因为467°44′＝－252°16′＋2×360°，1187°44′＝－252°16′＋4×360°，所以－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角，故D正确．故选D.
(2)已知α与120°角的终边关于x轴对称，则是(　　)
A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
答案　A
解析　由α与120°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－120°，k∈Z，所以＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0，1可确定的终边在第二或第四象限．故选A.
【通性通法】
1．象限角的判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的步骤
(1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围．
(2)写出kα或的范围．
(3)根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
【巩固迁移】
1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．故选C.
2．与－2024°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
答案　136°　－224°
解析　∵－2024°＝－6×360°＋136°，∴－2024°角的终边与136°角的终边相同，∴－2024°角是第二象限角．与－2024°角终边相同的最小正角是136°.又136°－360°＝－224°，故与－2024°角终边相同的最大负角是－224°.
考点二　扇形的弧长与面积公式
例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解　(1)因为α＝60°＝，
所以l＝αR＝×10＝(cm)．
(2)由题意，得
解得(舍去)或
故扇形的圆心角为.
(3)由已知，得l＋2R＝20(cm)．
解法一：S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.
解法二：S＝lR＝l(2R)≤＝25，当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，此时α＝2.
【通性通法】
应用弧度制解决问题的策略
策略一 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形
策略二 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值
注意：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
【巩固迁移】
3．(2023·浙江名校联考)如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2是会徽的几何图形，设弧的长度是l1，弧的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　设∠AOD＝θ，OA＝r1，OB＝r2，则l1＝θ×r1，l2＝θ×r2，又＝2，所以＝2，即B是OA的中点，所以S1＝θ(r－r)＝θr，S2＝θr，所以＝3.故选C.
考点三　三角函数的定义及其应用(多考向探究)
考向1利用三角函数的定义求值
例3 (1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－，则tanθ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　C
解析　因为点P(4，y)到坐标原点的距离r＝＝，所以sinθ＝＝＝－，解得y＝－3或y＝3(舍去)，所以tanθ＝＝＝－.故选C.
(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则2sinθcosθ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　在角θ的终边所在的直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝|a|.由三角函数的定义知sinθ＝，cosθ＝，故2sinθcosθ＝2··＝－.故选D.
【通性通法】
用定义求三角函数值的策略
策略一 已知角α终边上一点P的坐标，先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求角α的三角函数值
策略二 已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，从而求出参数的值．注意舍去增根
策略三 已知角α的终边所在直线的方程，可先设出终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求三角函数值
【巩固迁移】
4．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列说法正确的是(　　)
A．sinθ＝－
B．α为钝角
C．cosα＝－
D．点(tanθ，sinα)在第一象限
答案　ACD
解析　角θ的终边经过点(－2，－)，所以sinθ＝－，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，则α的终边经过点(－2，)，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－，B错误，C正确；因为tanθ＝>0，sinα＝>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．故选ACD.
考向2判断三角函数值的符号
例4 (多选)(2023·福建福州华侨中学模拟)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos，其中符号为负的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
答案　ABC
解析　对于①，因为－180°<－100°<－90°，所以－100°是第三象限角，所以sin(－100°)<0；对于②，因为－270°<－220°<－180°，所以－220°是第二象限角，所以cos(－220°)<0；对于③，因为－<－10<－3π，所以－10是第二象限角，所以tan(－10)<0；对于④，因为是第一象限角，所以cos>0.所以符号为负的是①②③.故选ABC.
【通性通法】
判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号．
注意：不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【巩固迁移】
5．若α为第二象限角，则cos2α，sin2α，tan中，其值必为正数的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案　B
解析　由题意知，2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，即sin2α<0，cos2α的值可正可负也可为零，又kπ＋<21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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