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第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标解读 考向预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 2.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式，并会简单应用. 从近几年的高考来看，本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查.
【知识梳理】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tanα．
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 α＋k·2π(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tanα tanα －tanα －tanα — —
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
记忆规律 奇变偶不变，符号看象限
【常用结论】
1．和积互化变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
2．弦切互化变形：sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×
2．小题热身
(1)已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　因为α为锐角，所以cosα＝＝，故cos(π＋α)＝－cosα＝－.故选A.
(2)(人教B必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tanα＝2，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　A
解析　原式＝＝＝.故选A.
(3)下列三角函数的值中(k∈Z)，与sin的值相同的个数是(　　)
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin.
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　对于①，sin＝sin，当k为奇数时，sin＝sin；当k为偶数时，sin＝－sin，不满足题意．对于②，cos＝cos＝sin，满足题意．对于③，sin＝sin，满足题意．对于④，cos＝cos＝－cos＝－sin，不满足题意．对于⑤，sin＝sin＝sin，满足题意．故选C.
(4)(人教A必修第一册习题5.3 T5改编)化简·cos(2π－α)的结果为________．
答案　sinα
解析　原式＝·cosα＝sinα.
【考点探究】
考点一　同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)
考向1“知一求二”问题
例1 已知角α的终边在第三象限，且tanα＝2，则sinα－cosα＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
答案　C
解析　由角α的终边在第三象限，则sinα<0，cosα<0，由题设知解得cosα＝－，sinα＝－，所以sinα－cosα＝－＋＝－.故选C.
【通性通法】
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
【巩固迁移】
1．(2024·广东梅州模拟)已知cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝(　　)
A．－2 B．±2
C．± D．
答案　A
解析　∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－2.故选A.
考向2“弦切互化”问题
例2 已知tanθ＝2，则的值为(　　)
A． B．
C． D．2
答案　C
解析　由题意，得＝＝＝＝.故选C.
【通性通法】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．
【巩固迁移】
2．(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sinαcosα＝(　　)
A． B．－
C．－3 D．3
答案　A
解析　由＝5，得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα＝＝＝.故选A.
考向3sinα±cosα，sinαcosα之间关系的应用
例3 (2023·广东潮州模拟)已知答案　
解析　由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx＝，得2sinxcosx＝－，所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，因为cosx，故sinx－cosx＝.
【通性通法】
“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．
【巩固迁移】
3．(2023·山东聊城模拟)已知α∈，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为________．
答案　－
解析　∵sinα＋cosα＝，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，∴sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝＝(sinα－cosα)2，又sinαcosα<0，α∈，∴α∈，∴sinα<0，cosα>0，∴cosα－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－.
考点二　诱导公式的应用
例4 (1)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　B
解析　原式＝＝＝－·＝－1.故选B.
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________．
答案　－
解析　cos＝cos＝－sin＝－.
【通性通法】
1．利用诱导公式解题的一般思路
(1)化绝对值大的角为锐角；
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
(1)互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
(2)互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
【巩固迁移】
4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f(α)＝，则f＝________．
答案　
解析　因为f(α)
＝
＝＝cosα，
所以f＝cos＝cos＝.
考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
例5 (1)已知sin＝，且α∈，则cos的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　C
解析　由sin＝sin＝sin＝，而α∈，∴－α∈，∴cos＝＝.故选C.
(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若＝，则tanθ＝________．
答案　－3
解析　因为＝＝，所以＝，解得tanθ＝－3.
【通性通法】
利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求
(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．
(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
【巩固迁移】
5．已知cos167°＝m，则tan193°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
答案　C
解析　tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－＝－，因为cos167°＝m，所以sin167°＝，所以tan193°＝－.故选C.
6．已知cosα＝－，且α∈，则＝________．
答案　
解析　∵cosα＝－，α∈，
∴sinα＝＝，∴
＝＝
＝＝.
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第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
课标解读 考向预测
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα. 2.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式，并会简单应用. 从近几年的高考来看，本部分内容主要考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决求值问题，常与三角恒等变换相结合，可起到化简三角函数式的作用，预计2025年高考可能会与三角恒等变换结合考查.
【知识梳理】
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：＝tanα．
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 α＋k·2π(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα
正切 tanα tanα －tanα －tanα — —
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
记忆规律 奇变偶不变，符号看象限
【常用结论】
1．和积互化变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.
2．弦切互化变形：sin2α＝＝，cos2α＝＝，sinαcosα＝＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)
(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.(　　)
2．小题热身
(1)已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)(人教B必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tanα＝2，则＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(3)下列三角函数的值中(k∈Z)，与sin的值相同的个数是(　　)
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin.
A．1 B．2
C．3 D．4
(4)(人教A必修第一册习题5.3 T5改编)化简·cos(2π－α)的结果为________．
【考点探究】
考点一　同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)
考向1“知一求二”问题
例1 已知角α的终边在第三象限，且tanα＝2，则sinα－cosα＝(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
【通性通法】
利用同角基本关系式“知一求二”的方法
注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
【巩固迁移】
1．(2024·广东梅州模拟)已知cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝(　　)
A．－2 B．±2
C．± D．
考向2“弦切互化”问题
例2 已知tanθ＝2，则的值为(　　)
A． B．
C． D．2
【通性通法】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．
【巩固迁移】
2．(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sinαcosα＝(　　)
A． B．－
C．－3 D．3
考向3sinα±cosα，sinαcosα之间关系的应用
例3 (2023·广东潮州模拟)已知【通性通法】
“sinα±cosα，sinαcosα”关系的应用
sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝，sinαcosα＝.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．
【巩固迁移】
3．(2023·山东聊城模拟)已知α∈，且sinα＋cosα＝，则tanα的值为________．
考点二　诱导公式的应用
例4 (1)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝________．
【通性通法】
1．利用诱导公式解题的一般思路
(1)化绝对值大的角为锐角；
(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
2．常见的互余和互补的角
(1)互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；
(2)互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
【巩固迁移】
4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f(α)＝，则f＝________．
考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
例5 (1)已知sin＝，且α∈，则cos的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若＝，则tanθ＝________．
【通性通法】
利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求
(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．
(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
【巩固迁移】
5．已知cos167°＝m，则tan193°＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
6．已知cosα＝－，且α∈，则＝________．
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