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第三节　三角恒等变换
课标解读 考向预测
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变形运用．预计2025年高考可能单独考查，也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，应增强转化与化归思想的应用意识，选择题、填空题、解答题均有可能出现，属中、低档难度.
【知识梳理】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝．
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．
(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
(3)公式T2α：tan2α＝．
3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
【常用结论】
1．两角和与差正切公式的变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.
2．降幂公式：sinαcosα＝sin2α，cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
3．升幂公式：1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2，1±sinα＝.
4．其他常用变形
sin2α＝＝，
cos2α＝＝，
tan＝＝.
5．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)
(2)当α是第一象限角时，sin＝.(　　)
(3)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(　　)
2．小题热身
(1)(多选)cosα－sinα化简的结果可以是(　　)
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
(2)(人教A必修第一册习题5.5 T4改编)已知sinα＝，cosα＝，则tan＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
(3)(人教B必修第三册习题8－2B T3改编)已知θ∈且sinθ＝，则sin＝________，cos＝________．
(4)(人教A必修第一册复习参考题5 T13改编)已知α为锐角，且(tan10°－)sinα＝－2cos40°，则α＝________．
第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
【考点探究】
考点一　和、差、倍角公式的简单应用
例1 (1)(2024·海南海口模拟)若tanαtanβ＝2，则的值为(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
(2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
【通性通法】
直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略
策略一 记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”
策略二 注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用
策略三 注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用
【巩固迁移】
1．(2024·安徽亳州模拟)已知sinα＝，α∈，若＝4，则tan(α＋β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．(2023·河北保定模拟)已知锐角θ满足2cos2θ＝1＋sin2θ，则tanθ＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
考点二　和、差、倍角公式的逆用与变形用
例2 (1)(2023·湖北武汉模拟)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)(2024·广西梧州模拟)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【通性通法】
公式逆用与变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．
提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．
【巩固迁移】
3．(2024·福建永安三中模拟)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．(2023·江苏常州二模)已知sinα－cosα＝1，则sin的值为________．
5．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________．
考点三　角的变换
例3 (1)(2024·四川绵阳模拟)已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
【通性通法】
1．三角公式求值中变角的解题思路
思路一 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
思路二 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”
2.常用的拆角、配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝＋，＝－，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，＋α＝－等．
【巩固迁移】
6．(2023·山东烟台模拟)已知tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan(π－2α)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
7．已知0＜x＜，sin＝，则＝________．
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第三节　三角恒等变换
课标解读 考向预测
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆). 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数式的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变形运用．预计2025年高考可能单独考查，也可能与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，应增强转化与化归思想的应用意识，选择题、填空题、解答题均有可能出现，属中、低档难度.
【知识梳理】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝．
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝．
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．
(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
(3)公式T2α：tan2α＝．
3．辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.
【常用结论】
1．两角和与差正切公式的变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－＝－1.
2．降幂公式：sinαcosα＝sin2α，cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
3．升幂公式：1－cosα＝2sin2，1＋cosα＝2cos2，1±sinα＝.
4．其他常用变形
sin2α＝＝，
cos2α＝＝，
tan＝＝.
5．半角公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
注：此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)
(2)当α是第一象限角时，sin＝.(　　)
(3)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)(多选)cosα－sinα化简的结果可以是(　　)
A．cos B．2cos
C．sin D．2sin
答案　BD
解析　cosα－sinα＝2＝2＝2cos＝2sin.故选BD.
(2)(人教A必修第一册习题5.5 T4改编)已知sinα＝，cosα＝，则tan＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
答案　C
解析　∵sinα＝，cosα＝，∴tan＝＝－2.故选C.
(3)(人教B必修第三册习题8－2B T3改编)已知θ∈且sinθ＝，则sin＝________，cos＝________．
答案　－　－　
解析　∵θ∈且sinθ＝，∴cosθ＝－，∈，∴sin＝－＝－，cos＝－＝－.
(4)(人教A必修第一册复习参考题5 T13改编)已知α为锐角，且(tan10°－)sinα＝－2cos40°，则α＝________．
答案　80°
解析　因为(tan10°－)sinα＝－2cos40°，所以sinα＝＝＝＝＝cos10°＝sin80°，又α是锐角，所以α＝80°.
第1课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
【考点探究】
考点一　和、差、倍角公式的简单应用
例1 (1)(2024·海南海口模拟)若tanαtanβ＝2，则的值为(　　)
A．－3 B．－
C． D．3
答案　A
解析　由题意，得＝＝＝＝－3.故选A.
(2)(2024·九省联考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．
答案　A
解析　由θ∈，tan2θ＝－4tan，得＝，则－4(tanθ＋1)2＝2tanθ，则(2tanθ＋1)(tanθ＋2)＝0，解得tanθ＝－2或tanθ＝－，因为θ∈，所以tanθ∈(－1，0)，所以tanθ＝－，则＝＝＝＝.故选A.
【通性通法】
直接利用和、差、倍角公式化简求值的策略
策略一 记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”
策略二 注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用
策略三 注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用
【巩固迁移】
1．(2024·安徽亳州模拟)已知sinα＝，α∈，若＝4，则tan(α＋β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　C
解析　因为sinα＝，α∈，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝－，因为＝＝sinα＋cosαtanβ＝－tanβ＝4，所以tanβ＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝.故选C.
2．(2023·河北保定模拟)已知锐角θ满足2cos2θ＝1＋sin2θ，则tanθ＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
答案　A
解析　∵2cos2θ＝1＋sin2θ，∴2(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2，即2(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2，又θ为锐角，∴sinθ＋cosθ>0，∴2(cosθ－sinθ)＝sinθ＋cosθ，即cosθ＝3sinθ，∴tanθ＝.故选A.
考点二　和、差、倍角公式的逆用与变形用
例2 (1)(2023·湖北武汉模拟)sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝(　　)
A． B．
C． D．1
答案　B
解析　sin109°cos296°＋cos71°sin64°＝sin(180°－71°)cos(360°－64°)＋cos71°sin64°＝sin71°cos64°＋cos71°sin64°＝sin(71°＋64°)＝sin135°＝.故选B.
(2)(2024·广西梧州模拟)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　因为＝＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.故选A.
【通性通法】
公式逆用与变形用的技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注重公式的逆用和变形使用．
提醒：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
(2)注意可借助常数的拼凑法，将分子、分母转化为相同的代数式，从而达到约分的目的．
【巩固迁移】
3．(2024·福建永安三中模拟)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　B
解析　由两角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝.故选B.
4．(2023·江苏常州二模)已知sinα－cosα＝1，则sin的值为________．
答案　
解析　已知sinα－cosα＝1，则2＝2sin＝1，所以sin＝，令β＝α－，则α＝β＋，即sinβ＝，所以sin＝sin＝sin＝cos2β＝1－2sin2β＝.
5．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________．
答案　
解析　tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－tan50°tan20°＝＋tan50°tan20°－tan50°tan20°＝.
考点三　角的变换
例3 (1)(2024·四川绵阳模拟)已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　cos＝cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.故选A.
(2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________．
答案　－
解析　因为α，β∈，所以<α＋β<2π，<β－<，因为sin(α＋β)＝－，sin＝，所以cos(α＋β)＝，cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.
【通性通法】
1．三角公式求值中变角的解题思路
思路一 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式
思路二 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”
2.常用的拆角、配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)，α＝＋，＝－，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，＋α＝－等．
【巩固迁移】
6．(2023·山东烟台模拟)已知tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan(π－2α)＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　B
解析　∵2α＝(α＋β)＋(α－β)，∴tan2α＝＝＝1.又tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan(π－2α)＝－1.故选B.
7．已知0＜x＜，sin＝，则＝________．
答案　
解析　＝＝(cosx＋sinx)＝2cos.由0＜x＜得0＜－x＜，∴cos＝＝＝，所以原式＝2×＝.
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