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第四节　三角函数的图象与性质
课标解读 考向预测
1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象. 2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质. 从近几年的高考来看，三角函数的图象与性质是高考的重点，预计2025年高考对于三角函数图象与性质的考查会与三角恒等变换结合，以选择题或填空题为主，难度中等.
【知识梳理】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R (k∈Z)
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 (k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) (k∈Z)
单调递减区间 (k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) —
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
对称轴方程 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) —
【常用结论】
1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上是增函数，而是在每个区间(k∈Z)上都是增函数．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限单调递增．(　　)
(2)正切函数y＝tanx在定义域上是增函数．(　　)
(3)由sin＝sin，知是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　　)
(4)余弦曲线的对称轴是y轴．(　　)
(5)函数y＝cos|x|和y＝cosx周期相同．(　　)
2．小题热身
(1)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
(2)(人教B必修第三册7.3.4例1改编)函数y＝3tan的定义域是________．
(3)(人教A必修第一册5.4.2练习T3改编)函数y＝4sinx在[－π，π]上的单调递减区间是________．
(4)(人教A必修第一册习题5.4 T4改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．
第1课时　三角函数的单调性与最值
【考点探究】
考点一　三角函数的定义域
例1 函数f(x)＝＋的定义域为________．
【通性通法】
求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴．
【巩固迁移】
1．函数f(x)＝ln (cosx)的定义域为(　　)
A．，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
考点二　三角函数的单调性(多考向探究)
考向1求三角函数的单调区间
例2 函数f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
【通性通法】
已知三角函数解析式求单调区间的方法
代换法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解
图象法 画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间
【巩固迁移】
2．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
考向2已知三角函数的单调性求参数
例3 已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，2] B．
C． D．
【通性通法】
已知单调区间求参数的三种方法
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解
注意：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，M是N的子集．
【巩固迁移】
3．若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________．
4．(2024·河北石家庄二中模拟)已知函数y＝3tanωx＋1在上是减函数，则ω的取值范围是________．
考点三　三角函数的最值(值域)
例4 (1)(2023·辽宁沈阳模拟)函数f(x)＝2cosx－cos2x的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)(2024·福建龙岩质检)函数y＝sinx－cos的值域为________．
【通性通法】
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
类型一 形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)
类型二 形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)
类型三 形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)
【巩固迁移】
5．函数y＝2sinxcosx＋sinx－cosx＋2的最大值为(　　)
A． B．3
C． D．4
6．(2024·江苏常州模拟)函数y＝，x∈的值域为________．
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第四节　三角函数的图象与性质
课标解读 考向预测
1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象. 2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值. 3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质. 从近几年的高考来看，三角函数的图象与性质是高考的重点，预计2025年高考对于三角函数图象与性质的考查会与三角恒等变换结合，以选择题或填空题为主，难度中等.
【知识梳理】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R (k∈Z)
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 (k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) (k∈Z)
单调递减区间 (k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) —
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
对称轴方程 x＝kπ＋(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) —
【常用结论】
1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
3．对于y＝tanx不能认为其在定义域上是增函数，而是在每个区间(k∈Z)上都是增函数．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sinx在第一、第四象限单调递增．(　　)
(2)正切函数y＝tanx在定义域上是增函数．(　　)
(3)由sin＝sin，知是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(　　)
(4)余弦曲线的对称轴是y轴．(　　)
(5)函数y＝cos|x|和y＝cosx周期相同．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2．小题热身
(1)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案　A
解析　T＝＝π，A＝2－1＝1.故选A.
(2)(人教B必修第三册7.3.4例1改编)函数y＝3tan的定义域是________．
答案　
解析　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，所以函数的定义域为.
(3)(人教A必修第一册5.4.2练习T3改编)函数y＝4sinx在[－π，π]上的单调递减区间是________．
答案　和
(4)(人教A必修第一册习题5.4 T4改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．
答案　5　＋2kπ(k∈Z)
解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
第1课时　三角函数的单调性与最值
【考点探究】
考点一　三角函数的定义域
例1 函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案　(－4，－π]∪[0，π]
解析　因为f(x)＝＋，所以解得对于2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，0≤x≤π；当k＝1时，2π≤x≤3π；当k＝－1时，－2π≤x≤－π；当k＝－2时，－4π≤x≤－3π，所以－4【通性通法】
求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴．
【巩固迁移】
1．函数f(x)＝ln (cosx)的定义域为(　　)
A．，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C．，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案　C
解析　由题意知cosx＞0，∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的定义域为，k∈Z.故选C.
考点二　三角函数的单调性(多考向探究)
考向1求三角函数的单调区间
例2 函数f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
答案　和
解析　f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝∪，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
【通性通法】
已知三角函数解析式求单调区间的方法
代换法 将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角，利用复合函数的单调性列不等式求解
图象法 画出三角函数的图象，结合图象求函数的单调区间
【巩固迁移】
2．(2022·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　)
A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
答案　C
解析　因为f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.对于A，当－考向2已知三角函数的单调性求参数
例3 已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，2] B．
C． D．
答案　D
解析　解法一(子集法)：由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，因为f(x)＝sin在上单调递减，所以解得
因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以≤ω≤.故选D.
解法二(反子集法)：∵x∈，∴ωx＋∈.∵f(x)在上单调递减，∴解得
又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时≤ω≤.故选D.
【通性通法】
已知单调区间求参数的三种方法
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解
注意：“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，M是N的子集．
【巩固迁移】
3．若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________．
答案　
解析　解法一：令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以实数a的最大值是.
解法二：因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，又f(x)在区间上单调，所以＋4．(2024·河北石家庄二中模拟)已知函数y＝3tanωx＋1在上是减函数，则ω的取值范围是________．
答案　
解析　∵函数y＝3tanωx＋1在上是减函数，∴ω<0，所求函数可化为y＝－3tan(－ωx)＋1，∴－ω×≥－且－ω×≤，∴ω≥－，又ω<0，∴－≤ω<0.
考点三　三角函数的最值(值域)
例4 (1)(2023·辽宁沈阳模拟)函数f(x)＝2cosx－cos2x的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
答案　B
解析　因为f(x)＝2cosx－cos2x，所以f(x)＝－2cos2x＋2cosx＋1，令t＝cosx，t∈[－1，1]，所以函数f(x)＝2cosx－cos2x等价于y＝－2t2＋2t＋1，t∈[－1，1]，又y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，t∈[－1，1]，当t＝－1时，ymin＝－3，即函数f(x)＝2cosx－cos2x的最小值为－3.
(2)(2024·福建龙岩质检)函数y＝sinx－cos的值域为________．
答案　[－，]
解析　∵y＝sinx－cos＝sinx－·cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin，∴函数y＝sinx－cos的值域为[－，]．
【通性通法】
求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
类型一 形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)
类型二 形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)
类型三 形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)
【巩固迁移】
5．函数y＝2sinxcosx＋sinx－cosx＋2的最大值为(　　)
A． B．3
C． D．4
答案　C
解析　设t＝sinx－cosx＝2sin∈[－2，2]，则2sinxcosx＝1－，则原函数可化为y＝1－＋t＋2＝－＋t＋3＝－(t－1)2＋，t∈[－2，2]，所以当t＝1时，函数取得最大值.
6．(2024·江苏常州模拟)函数y＝，x∈的值域为________．
答案　(－1，1)
解析　因为y＝，x∈，所以tanx∈(－∞，0)，令t＝tanx，则t∈(－∞，0)，所以y＝＝－1＋，因为t∈(－∞，0)，所以t－1∈(－∞，－1)，∈(－1，0)，∈(0，2)，－1＋∈(－1，1)，即y∈(－1，1)．
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