资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台第六节 余弦定理、正弦定理课标解读 考向预测1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 从近几年的高考来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，预计2025年高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，题型灵活呈现，中档难度；也可能融合在其他考点里面，不单独呈现.【知识梳理】1．余弦定理、正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理 余弦定理 正弦定理公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R常见变形 cosA＝； cosB＝； cosC＝ (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角 A为钝角或直角图形关系式 a＝bsinA bsinA< ab a≤b解的个数 一解 两解 一解 一解 无解3.三角形常用面积公式(1)S＝aha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【常用结论】在△ABC中，常有以下结论：(1)A＋B＋C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b A>B sinA>sinB，cosA(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【诊断自测】1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )(2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )(3)在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解．( )(4)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．小题热身(1)(人教B必修第四册第九章小结复习题A组T2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，则角A的大小为( )A． B．C． D．答案 D解析 因为b2＋c2＝a2＋bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝，因为0(2)(人教A必修第二册复习参考题6 T11改编)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，则a的值为( )A．2 B．1C． D．答案 B解析 因为在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，所以由正弦定理可得＝，即a＝·sinA＝×sin30°＝×＝1.(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，B＝30°，则此三角形( )A．有一解 B．有两解C．无解 D．无法判断有几解答案 A解析 在△ABC中，a＝2，b＝3，B＝30°，由正弦定理，得sinA＝＝＝，而a(4)在△ABC中，若a＝7，b＝5，c＝3，则A＝________．答案 120°解析 由余弦定理，得cosA＝＝－.又0°(5)在△ABC中，角A，B，C满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则此三角形的形状为________．答案 直角三角形或等腰三角形解析 由已知，得cosC(sinA－sinB)＝0，所以cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°或A＝B，所以△ABC是直角三角形或等腰三角形．【考点探究】考点一 利用正、余弦定理解三角形例1 (2024·江西红色十校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosA＝bsinB＋csinC－2csinBcosA.(1)求A；(2)若a＝，sinB＝，求b和c.解 (1)设△ABC外接圆的半径为R，因为acosA＝bsinB＋csinC－2csinBcosA，所以由正弦定理＝＝＝2R，得a·2RcosA＝b2＋c2－2bccosA，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a·2RcosA＝a2，因为a≠0，所以2RcosA＝a＝2RsinA，所以cosA＝sinA，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由(1)知A＝，所以2R＝＝2，所以b＝2RsinB＝2×＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得2＝＋c2－2×c×，即2c2－2c－3＝0，解得c＝或c＝(舍去)．综上，b＝，c＝.【通性通法】应用正弦、余弦定理的解题技巧求边 利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA等求解求角 利用正弦定理变形公式sinA＝等或余弦定理变形公式cosA＝等求解利用式子的特点转化 如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理【巩固迁移】1．(2023·广东东莞一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求角C的大小．解 (1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝＝.又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由正弦定理可知＝，又a＝2，b＝2，A＝，所以sinB＝因为A＋B＋C＝π，所以C＝.考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，b＝8，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形，并说明理由．①cosC＝；②cosB＝.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．解 若选①，在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c2＝72＋82－2×7×8×＝9，所以c＝3.因为c＜a＜b，所以B是△ABC的最大角．在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得cosB＝＝＝－＜0，所以B是钝角，所以△ABC是钝角三角形．若选②，解法一：在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得82＝72＋c2－2×7c×，化简，得(c－5)(c＋3)＝0，解得c＝5或c＝－3(舍去)，因为c＜a＜b，所以B是△ABC的最大角．因为cosB＝＞0，所以B是锐角，所以△ABC不是钝角三角形．解法二：在△ABC中，因为cosB＝，所以sinB＝＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得sinA＝＝＝.因为cosB＝＞0，所以B是锐角．又a＜b，所以A＜B，所以A是锐角．因为sinA＝，所以cosA＝＝，所以cosC＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝×－×＝＞0，所以C是锐角．综上，△ABC不是钝角三角形．【通性通法】1．判断三角形形状的两种常用途径2．判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【巩固迁移】2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案 A解析 由sin2＝，得＝，即cosB＝.解法一：由余弦定理得＝，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．解法二：由正弦定理得cosB＝，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又C为三角形的内角，所以C＝，所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．考点三 正、余弦定理的综合应用(多考向探究)考向1三角形的周长、面积问题例3 (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2.(1)求bc；(2)若－＝1，求△ABC的面积．解 (1)因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1.(2)由正弦定理可得－＝－＝－＝＝1，变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sinB，即－2cosAsinB＝sinB，而0＜sinB≤1，所以cosA＝－，又0＜A＜π，所以sinA＝，故S△ABC＝bcsinA＝×1×＝.【通性通法】与三角形面积有关问题的解题策略策略一 利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积策略二 把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量【巩固迁移】3．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．解 (1)证明：已知sinCsin(A－B)＝sinB·sin(C－A)，可化简为sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA.由正弦定理可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＝2bccosA－abcosC.由余弦定理可得ac·＝2bc·－ab·，即2a2＝b2＋c2.(2)由(1)可知b2＋c2＝2a2＝50，cosA＝＝＝＝.∴2bc＝31.∵b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝81，∴b＋c＝9，∴a＋b＋c＝14.∴△ABC的周长为14.考向2三角形中的最值、范围问题例4 (2023·内蒙古呼伦贝尔模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCcos＝sin.(1)当B＝时，求sinC＋sinA的值；(2)求B的最大值．解 (1)由题意，得sinCcos＝sin，即sinC＋cosC＝，则sinC＋sinA＝sinC＋sin＝sinC＋cosC＝＝1.(2)sinCcos＝sin，两边同乘以2cos，得2sinCcos2＝·2sincos，即sinC(1＋cosB)＝sinB，整理，得sinC＋sinA＝sinB.由正弦定理，得a＋c＝b.由余弦定理，得cosB＝＝＝－1.因为ac≤＝b2，当且仅当a＝c时等号成立，所以cosB＝－1≥－，由于B∈(0，π)，而y＝cosx在(0，π)上单调递减，故B的最大值为.【通性通法】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．【巩固迁移】4．(2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC.(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．解 (1)因为acosB＋bcosA＝2ccosC，所以由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosC，即sin(A＋B)＝2sinCcosC，因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，因为0所以cosC＝，所以C＝.(2)由(1)，知C＝，A＝－B，因为△ABC为锐角三角形，所以0由正弦定理，得＝＝＝＝＋，因为，所以∈.考向3利用正、余弦定理解决平面几何问题例5 如图，在圆内接△ABC中，∠CAB，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝2bcos∠ABC.(1)求∠ABC的大小；(2)若点D是劣弧AC上一点，a＝2，c＝3，sin∠CAD＝，求线段AD的长．解 (1)由题意知sin∠CABcos∠ACB＋sin∠ACBcos∠CAB＝2sin∠ABCcos∠ABC，∴sin(∠CAB＋∠ACB)＝sin∠ABC＝2sin∠ABCcos∠ABC，∵0＜∠ABC＜π，∴sin∠ABC＞0，∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝.(2)在△ABC中，由余弦定理可得AC＝＝，由∠ABC＝，得∠ADC＝，故∠ACD＝－∠CAD.由sin∠CAD＝，且∠CAD为锐角，得cos∠CAD＝＝，sin∠ACD＝sin＝×－×＝，在△ADC中，由正弦定理可得＝，∴AD＝1.【通性通法】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之可得，若研究最值，常使用函数或基本不等式．【巩固迁移】5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.解 (1)证明：设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC＝，sinC＝，因为BDsin∠ABC＝asinC，所以BD·＝a·，即BD·b＝ac.又因为b2＝ac，所以BD＝b.(2)解法一：因为BD＝b，AD＝2DC，所以AD＝，CD＝b，如图，在△ABC中，cosC＝，①在△BCD中，cosC＝.②由①②，得a2＋b2－c2＝3，整理，得2a2－b2＋c2＝0.又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，解得a＝或a＝，当a＝时，b2＝ac＝，a＋b＝＋当a＝时，b2＝ac＝，cos∠ABC＝＝，所以cos∠ABC＝.解法二：由(1)，知BD＝b＝AC，由AD＝2DC，得AD＝b，CD＝b.在△ADB中，由正弦定理，得＝.因为S△ABD＝S△ABC，所以×b2sin∠ADB＝×acsin∠ABC.又b2＝ac，所以sin∠ADB＝sin∠ABC.所以∠ADB＋∠ABC＝π或∠ADB＝∠ABC，所以∠CBD＝∠A或∠ABD＝∠C，当∠CBD＝∠A时，因为＝，所以＝，化简，得sinC＝3sinA.在△ABC中，由正弦定理，知c＝3a.又b2＝ac＝3a2，所以cos∠ABC＝＝＝＞1(舍去)；当∠ABD＝∠C时，因为＝，所以＝，化简，得sinC＝sinA.在△ABC中，由正弦定理，知c＝a.又b2＝ac＝a2，所以cos∠ABC＝＝＝.故cos∠ABC＝.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台第六节 余弦定理、正弦定理课标解读 考向预测1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 从近几年的高考来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，预计2025年高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，题型灵活呈现，中档难度；也可能融合在其他考点里面，不单独呈现.【知识梳理】1．余弦定理、正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理 余弦定理 正弦定理公式 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC ＝＝＝2R常见变形 cosA＝； cosB＝； cosC＝ (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； (4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角 A为钝角或直角图形关系式 a＝bsinA bsinA< ab a≤b解的个数 一解 两解 一解 一解 无解3.三角形常用面积公式(1)S＝aha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．【常用结论】在△ABC中，常有以下结论：(1)A＋B＋C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b A>B sinA>sinB，cosA(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【诊断自测】1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.( )(2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( )(3)在△ABC中，已知a，b，A，则三角形有唯一解．( )(4)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.( )2．小题热身(1)(人教B必修第四册第九章小结复习题A组T2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，则角A的大小为( )A． B．C． D．(2)(人教A必修第二册复习参考题6 T11改编)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，则a的值为( )A．2 B．1C． D．(3)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，B＝30°，则此三角形( )A．有一解 B．有两解C．无解 D．无法判断有几解(4)在△ABC中，若a＝7，b＝5，c＝3，则A＝________．(5)在△ABC中，角A，B，C满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则此三角形的形状为________．【考点探究】考点一 利用正、余弦定理解三角形例1 (2024·江西红色十校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosA＝bsinB＋csinC－2csinBcosA.(1)求A；(2)若a＝，sinB＝，求b和c.【通性通法】应用正弦、余弦定理的解题技巧求边 利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA等求解求角 利用正弦定理变形公式sinA＝等或余弦定理变形公式cosA＝等求解利用式子的特点转化 如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理【巩固迁移】1．(2023·广东东莞一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求角C的大小．考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，b＝8，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，判断△ABC是否为钝角三角形，并说明理由．①cosC＝；②cosB＝.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【通性通法】1．判断三角形形状的两种常用途径2．判断三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【巩固迁移】2．在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形即cosB＝.考点三 正、余弦定理的综合应用(多考向探究)考向1三角形的周长、面积问题例3 (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2.(1)求bc；(2)若－＝1，求△ABC的面积．【通性通法】与三角形面积有关问题的解题策略策略一 利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积策略二 把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量【巩固迁移】3．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．考向2三角形中的最值、范围问题例4 (2023·内蒙古呼伦贝尔模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCcos＝sin.(1)当B＝时，求sinC＋sinA的值；(2)求B的最大值．【通性通法】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．【巩固迁移】4．(2024·山东青岛模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC.(1)求C；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．考向3利用正、余弦定理解决平面几何问题例5 如图，在圆内接△ABC中，∠CAB，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且acos∠ACB＋ccos∠CAB＝2bcos∠ABC.(1)求∠ABC的大小；(2)若点D是劣弧AC上一点，a＝2，c＝3，sin∠CAD＝，求线段AD的长．【通性通法】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之可得，若研究最值，常使用函数或基本不等式．【巩固迁移】5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第6节 余弦定理、正弦定理（原卷版）.docx 第6节 余弦定理、正弦定理（解析版）.doc
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