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第七节　余弦定理、正弦定理应用举例
课标解读 考向预测
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养. 预计2025年高考，以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题和填空题，中档难度.
【知识梳理】
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ
【常用结论】
解三角形应用问题的步骤：
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　)
(2)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　　)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　　)
(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2．小题热身
(1)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
答案　A
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝＝＝50(m)．故选A.
(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(30＋30) m B．(15＋30) m
C．(30＋15) m D．(15＋15) m
答案　A
解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝×－×＝，由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)，所以该树的高度为30(＋)sin45°＝30＋30(m)．故选A.
(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________ m.
答案　50
解析　连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，解得OC＝50.则该扇形的半径为50 m.
【考点探究】
考点一　测量距离问题
例1 (2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行了2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　)
A．8 km B．3 km
C．3 km D．5 km
答案　B
解析　如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC＝＝＝2，由正弦定理得sin∠ACB＝＝，在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－，由余弦定理得AD＝＝＝3.所以A地到D地的直线距离是3 km.故选B.
【通性通法】
距离问题的类型及解法
(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
【巩固迁移】
1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．
(1)计算渔政船C与渔港O的距离；
(2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？
(参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，≈3.32，≈3.61)
解　(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160，
∴AO＝OBtan∠OBA≈160×2.50＝400，
∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°，
∴OC＝≈＝200.
即渔政船C与渔港O的距离为200海里．
(2)由题意知∠OBC＝60°＋60°＝120°，
在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BCcos∠OBC，
即40000＝25600＋BC2＋160BC，
解得BC＝－80－40(舍去)或BC＝－80＋40，
即BC≈－80＋40×3.61＝64.4，
∵＝2.576<3，
∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点．
考点二　测量高度问题
例2 (1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走20 m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为，则该瀑布的高度约为(　　)
A．60 m B．90 m
C．108 m D．120 m
答案　A
解析　根据题意作出示意图，其中tanα＝，β＝θ＝，AB＝20，在Rt△AOH中，tanα＝，所以OA＝OH.在Rt△BOH中，tanβ＝，所以OB＝OH.在△AOB中，由余弦定理，得OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcosθ，即OH2＝OH2＋202－2×OH×20×，解得OH＝60.所以该瀑布的高度约为60 m．故选A.
(2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1 m，取sin55°＝0.82)
解　由题知，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°，
在△BCD中，由正弦定理得
＝，
则BD＝＝＝≈70.7 m，
在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°，
所以AB＝BDtan∠ADB＝BD≈70.7 m.
故黄河楼的实际高度约为70.7 m.
【通性通法】
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
【巩固迁移】
2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7米，则表高(即AC的长)约为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　由图可知∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD中，＝，得AD＝.在△ACD中，AC＝ADsin∠ADC＝.故选C.
考点三　测量角度问题
例3 已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，则BC＝0.5x，AC＝5，
依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD.
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
【通性通法】
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
【巩固迁移】
3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝(　　)
A． B．－2
C．－1 D．－1
答案　C
解析　由题意知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ABC中，由正弦定理，得＝，又AB＝100 m，所以AC＝100 m．在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，由正弦定理，得＝，所以cosθ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.故选C.
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第七节　余弦定理、正弦定理应用举例
课标解读 考向预测
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养. 预计2025年高考，以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题和填空题，中档难度.
【知识梳理】
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tanθ
【常用结论】
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　)
(2)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　　)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为.(　　)
(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．(　　)
2．小题热身
(1)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(30＋30) m B．(15＋30) m
C．(30＋15) m D．(15＋15) m
(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________ m.
【考点探究】
考点一　测量距离问题
例1 (2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行了2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　)
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
【通性通法】
距离问题的类型及解法
(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
【巩固迁移】
1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．
(1)计算渔政船C与渔港O的距离；
(2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？
(参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，≈3.32，≈3.61)
考点二　测量高度问题
例2 (1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走20 m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为，则该瀑布的高度约为(　　)
A．60 m B．90 m C．108 m D．120 m
(2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1 m，取sin55°＝0.82)
【通性通法】
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
【巩固迁移】
2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7米，则表高(即AC的长)约为(　　)
A． B．
C． D．
考点三　测量角度问题
例3 已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
【通性通法】
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
【巩固迁移】
3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝(　　)
A． B．－2
C．－1 D．－1
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