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第一节　随机抽样、常用统计图表
课标解读 考向预测
1.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法. 2.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法. 3.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 4.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性. 在近几年的高考中，抽样方法、频率分布直方图考查的较多，常结合样本的数字特征出题，这部分出题比较灵活，多结合实际问题出题，考查分析问题的能力，以及处理数据的能力．预计2025年的高考仍以此形式呈现，可以是选择题、填空题，也可以是解答题，在解答题中常与概率等联合出题.
【知识梳理】
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
2．分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
3．统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
【常用结论】
1．在比例分配的分层随机抽样中，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
2．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)
(2)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)
(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是1000名学生中的每一名学生
答案　B
解析　对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误；对于B，样本是指1000名学生的数学成绩，故B正确；对于C，样本量是1000，故C错误；对于D，个体指的是每名学生的数学成绩，故D错误．
(2)(人教A必修第二册习题9.1 T5改编)为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配的分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为(　　)
A．240 B．300
C．360 D．400
答案　C
解析　依题意可得＝，解得k＝2，所以高三年级抽取的人数为×1200＝360.
(3)(人教B必修第二册5.1.1练习A T2改编)从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为(　　)
注：表为随机数表的第1行与第2行
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A．24 B．36
C．46 D．47
答案　A
解析　由题意知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24.
(4)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图．
①直方图中x的值为________；
②在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
答案　①0.0044　②70
解析　①由频率分布直方图知数据落在[200，250)内的频率为1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝＝0.0044.
②因为数据落在[100，250)内的频率为(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以所求户数为0.7×100＝70.
【考点探究】
考点一　简单随机抽样
例1　(2024·河南部分中学高三联考)已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 56 57 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是(　　)
A．07 B．12
C．39 D．44
答案　D
解析　由题意可知，得到的样本编号依次为12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，则得到的第8个样本编号是44.
【通性通法】
(1)简单随机抽样需满足：总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取．
(2)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)．
【巩固迁移】
1．用不放回简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
答案　A
解析　第一次被抽到，显然为；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性为×＝.
考点二　比例分配的分层随机抽样
例2　(1)(2024·河南襄城三模)现有300名老年人、500名中年人、400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取n人，若抽取的老年人与青年人共21名，则n的值为(　　)
A．15 B．30
C．32 D．36
答案　D
解析　由题意可知＝，解得n＝36.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A．C·C种 B．C·C种
C．C·C种 D．C·C种
答案　D
解析　根据比例分配的分层随机抽样的定义知，初中部共抽取60×＝40名，高中部共抽取60×＝20名，根据组合数概念和分步乘法计数原理，不同的抽样结果共有C·C种．故选D.
【通性通法】
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据比例分配的分层随机抽样，列比例式进行计算．
【巩固迁移】
2．某区域大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为2∶m∶1，为了解该区域城市的空气质量情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为n的样本．在样本中，中型城市比大型城市多4个，比小型城市多8个，则n＝(　　)
A．24 B．28
C．32 D．36
答案　A
解析　根据比例分配的分层随机抽样可设抽取的大、中、小型城市的数量分别为2x，mx，x，则解得所以n＝2x＋mx＋x＝24.
考点三　统计图表(多考向探究)
考向1　扇形图、条形图
例3　(多选)某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列说法正确的是(　　)
A．成绩前200名的200人中，高一学生人数比高二学生人数多30
B．成绩第1～100名的100人中，高一学生人数不超过一半
C．成绩第1～50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51～100名的50人中，高二学生人数比高一的多
答案　ABC
解析　由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一学生人数比高二学生人数多200×(45%－30%)＝30，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100名的和后100名的人数相等，因此成绩第1～100名的100人中，高一学生人数为200×45%×0.5＝45＜50，B正确；成绩第1～50名的50人中，高一学生人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；第51～100名的50人中，高一学生人数为200×45%×0.3＝27，高二最多有23人，因此高二学生人数比高一的少，D错误．
【通性通法】
(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)条形图直观描述不同类别或分组数据的频数．
【巩固迁移】
3．(多选)(2024·广东梅州三模)某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后各产业利润占总利润的比例如图所示，则下列结论错误的是(　　)
A．调整后传媒的利润增量小于杂志
B．调整后房地产的利润有所下降
C．调整后试卷的利润增加不到一倍
D．调整后图书的利润增长了一倍以上
答案　ABC
解析　设调整前的各产业利润的总和为a，则调整后的各产业利润的总和为2a.对于A，调整前传媒的利润为0.1a，杂志的利润为0.05a，调整后传媒的利润为0.24a，杂志的利润为0.16a，则调整后传媒的利润增量为0.14a，杂志的利润增量为0.11a，故A错误；对于B，调整前房地产的利润为0.45a，调整后房地产的利润为0.5a，故B错误；对于C，调整前试卷的利润为0.15a，调整后试卷的利润为0.46a，且>3，故C错误；对于D，调整前图书的利润为0.25a，调整后图书的利润为0.64a，且>2，故D正确．
考向2　折线图
例4　(多选)(2024·河北唐山二模)2023年的夏季，全国多地迎来罕见极端高温天气．某课外小组通过当地气象部门统计了当地七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图表，根据图表，下列判断正确的是(　　)
A．七月份前20天最低气温的中位数低于25 ℃
B．七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差
C．七月份前20天最高气温的平均数高于40 ℃
D．七月份前10天(1～10日)最高气温的方差大于最低气温的方差
答案　BD
解析　七月份前20天中，最低气温低于25 ℃的天数不超过9天，故中位数不可能低于25 ℃，故A错误；最高气温的最大值大于40 ℃，最小值低于35 ℃，而最低气温的最大值小于30 ℃，最小值接近25 ℃，故最高气温的极差大于最低气温的极差，故B正确；最高气温超过40 ℃的天数不超过5天，且最大值不超过45 ℃，故平均数不可能高于40 ℃，故C错误；前10天中，最低气温的分布更集中，故最高气温的方差大于最低气温的方差，故D正确．
【通性通法】
折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
【巩固迁移】
4．(2024·安徽滁州教学质量检测)某品牌为了研究旗下某产品在甲、乙两个平台的销售状况，统计了2023年7月到12月甲、乙官方平台的月营业额(单位：万元)，得到如图所示的折线图．下列说法错误的是(　　)
A．乙平台的月营业额的平均值在[31，32]内
B．甲平台的月营业额总体呈上升趋势
C．乙平台的月营业额极差比甲平台的月营业额极差小
D．10、11、12月份的总营业额甲平台比乙平台少
答案　D
解析　对于A，乙平台的月营业额的平均值＝≈31.7∈[31，32]，A正确；对于B，由题图可知正确；对于C，乙平台的月营业额极差为52－14＝38，甲平台的月营业额极差为53－7＝46，C正确；对于D，甲平台10、11、12月份的总营业额为33＋44＋53＝130，乙平台10、11、12月份的总营业额为30＋52＋47＝129，D错误．
考向3　频率分布直方图
例5　某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，则分数在[70，80)内的频率为________；根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，则估计获奖的学生至少需要________分．
答案　0.25　88
解析　设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，可得(0.010＋0.015＋0.020＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分数在[70，80)内的频率为0.25，因为分数在[80，90)内的频率为0.25，在[90，100]内的频率为0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，所以设排名前10%的分界点为90－a，则0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的学生至少需要88分．
【通性通法】
频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．
(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．
【巩固迁移】
5．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案　C
解析　由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，故C错误；由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．故选C.
考向4　雷达图
例6　(多选)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分)．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象能力指标值为4，乙的数学抽象能力指标值为5，则下列说法正确的是(　　)
A．甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值高于乙的直观想象能力指标值
C．甲的数学运算能力指标值高于甲的直观想象能力指标值
D．甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平
答案　AD
解析　对于A，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值，故A正确；对于B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学建模能力指标值低于乙的直观想象能力指标值，故B错误；对于C，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值低于甲的直观想象能力指标值，所以C错误；对于D，甲的六维能力指标值的平均值为＝，乙的六维能力指标值的平均值为＝4>，所以甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平，所以D正确．
【通性通法】
雷达图可以在同一坐标系内展示多指标的分析比较情况，它是由一组坐标和多个同心圆组成的图表．雷达图分析法是综合评价中常用的一种方法，尤其适用于对多属性体系结构描述的对象作出全局性、整体性评价，在数据可视化中经常会用到．
【巩固迁移】
6．(多选)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃，下面叙述正确的是(　　)
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．八月的平均温差比十一月的平均温差大
C．平均最高气温高于20 ℃的月份有4个
D．四月和十一月的平均最低气温基本相同
答案　ABD
解析　对于A，由题图可知，各月的平均最低气温都在0 ℃以上，故A正确；对于B，由题图可知，八月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离大于十一月的平均最高气温点与平均最低气温点之间的距离，故B正确；对于C，由题图可知，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月和八月，只有两个月份，故C错误；对于D，由题图可知，四月和十一月的平均最低气温均为5 ℃，D正确．
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第一节　随机抽样、常用统计图表
课标解读 考向预测
1.了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法. 2.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法. 3.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题. 4.能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性. 在近几年的高考中，抽样方法、频率分布直方图考查的较多，常结合样本的数字特征出题，这部分出题比较灵活，多结合实际问题出题，考查分析问题的能力，以及处理数据的能力．预计2025年的高考仍以此形式呈现，可以是选择题、填空题，也可以是解答题，在解答题中常与概率等联合出题.
【知识梳理】
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法有很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
2．分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
3．统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
【常用结论】
1．在比例分配的分层随机抽样中，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
2．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)
(2)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)
(3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
(4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　)
2．小题热身
(1)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　)
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．样本是指1000名学生的数学成绩
C．样本量指的是1000名学生
D．个体指的是1000名学生中的每一名学生
(2)(人教A必修第二册习题9.1 T5改编)为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配的分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，三个年级学生数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为(　　)
A．240 B．300
C．360 D．400
(3)(人教B必修第二册5.1.1练习A T2改编)从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为(　　)
注：表为随机数表的第1行与第2行
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A．24 B．36
C．46 D．47
(4)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图．
①直方图中x的值为________；
②在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
【考点探究】
考点一　简单随机抽样
例1　(2024·河南部分中学高三联考)已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行编号．现提供随机数表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 56 57 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个样本编号是(　　)
A．07 B．12
C．39 D．44
【通性通法】
(1)简单随机抽样需满足：总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取．
(2)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)．
【巩固迁移】
1．用不放回简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
考点二　比例分配的分层随机抽样
例2　(1)(2024·河南襄城三模)现有300名老年人、500名中年人、400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取n人，若抽取的老年人与青年人共21名，则n的值为(　　)
A．15 B．30
C．32 D．36
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(　　)
A．C·C种 B．C·C种
C．C·C种 D．C·C种
【通性通法】
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据比例分配的分层随机抽样，列比例式进行计算．
【巩固迁移】
2．某区域大型城市、中型城市、小型城市的数量之比为2∶m∶1，为了解该区域城市的空气质量情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为n的样本．在样本中，中型城市比大型城市多4个，比小型城市多8个，则n＝(　　)
A．24 B．28
C．32 D．36
考点三　统计图表(多考向探究)
考向1　扇形图、条形图
例3　(多选)某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图(如图)和前200名中高一学生排名分布的频率条形图(如图)，则下列说法正确的是(　　)
A．成绩前200名的200人中，高一学生人数比高二学生人数多30
B．成绩第1～100名的100人中，高一学生人数不超过一半
C．成绩第1～50名的50人中，高三最多有32人
D．成绩第51～100名的50人中，高二学生人数比高一的多
【通性通法】
(1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
(2)条形图直观描述不同类别或分组数据的频数．
【巩固迁移】
3．(多选)(2024·广东梅州三模)某公司经营五种产业，为应对市场变化，在五年前进行了产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比五年前增加了一倍，调整前后各产业利润占总利润的比例如图所示，则下列结论错误的是(　　)
A．调整后传媒的利润增量小于杂志
B．调整后房地产的利润有所下降
C．调整后试卷的利润增加不到一倍
D．调整后图书的利润增长了一倍以上
考向2　折线图
例4　(多选)(2024·河北唐山二模)2023年的夏季，全国多地迎来罕见极端高温天气．某课外小组通过当地气象部门统计了当地七月份前20天每天的最高气温与最低气温，得到如下图表，根据图表，下列判断正确的是(　　)
A．七月份前20天最低气温的中位数低于25 ℃
B．七月份前20天中最高气温的极差大于最低气温的极差
C．七月份前20天最高气温的平均数高于40 ℃
D．七月份前10天(1～10日)最高气温的方差大于最低气温的方差
【通性通法】
折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
【巩固迁移】
4．(2024·安徽滁州教学质量检测)某品牌为了研究旗下某产品在甲、乙两个平台的销售状况，统计了2023年7月到12月甲、乙官方平台的月营业额(单位：万元)，得到如图所示的折线图．下列说法错误的是(　　)
A．乙平台的月营业额的平均值在[31，32]内
B．甲平台的月营业额总体呈上升趋势
C．乙平台的月营业额极差比甲平台的月营业额极差小
D．10、11、12月份的总营业额甲平台比乙平台少
考向3　频率分布直方图
例5　某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，则分数在[70，80)内的频率为________；根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，则估计获奖的学生至少需要________分．
【通性通法】
频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．
(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数．
【巩固迁移】
5．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　)
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
考向4　雷达图
例6　(多选)为比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分)．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象能力指标值为4，乙的数学抽象能力指标值为5，则下列说法正确的是(　　)
A．甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值高于乙的直观想象能力指标值
C．甲的数学运算能力指标值高于甲的直观想象能力指标值
D．甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平
【通性通法】
雷达图可以在同一坐标系内展示多指标的分析比较情况，它是由一组坐标和多个同心圆组成的图表．雷达图分析法是综合评价中常用的一种方法，尤其适用于对多属性体系结构描述的对象作出全局性、整体性评价，在数据可视化中经常会用到．
【巩固迁移】
6．(多选)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃，下面叙述正确的是(　　)
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．八月的平均温差比十一月的平均温差大
C．平均最高气温高于20 ℃的月份有4个
D．四月和十一月的平均最低气温基本相同
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