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第一节　两个计数原理、排列与组合
课标解读 考向预测
1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 4.能利用排列组合解决简单的实际问题. 在近几年的高考中，排列与组合考查的频率较高，常以社会热点问题为背景，考查考生利用排列组合知识解决问题的能力．预计2025年高考将会以小题形式单独考查排列与组合的应用问题或与统计概率综合命题.
【知识梳理】
1．两个计数原理
(1)分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2．排列与组合
(1)排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
(2)排列数与组合数
①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3)排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！． (2)C＝C；C＝C＋C
【常用结论】
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(4)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　　)
2．小题热身
(1)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　)
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
(2)(人教A选择性必修第三册习题6.2 T4(2)改编)现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是(　　)
A．20 B．90
C．120 D．240
(3)(人教A选择性必修第三册习题6.1 T8(2)改编)3个班分别从5处风景点中选择一处游览，不同的选法有________种．
(4)(人教A选择性必修第三册习题6.2 T13改编)某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人去外地培训，则至少有1名医生被选中的选法共有________种．
【考点探究】
考点一　两个计数原理
例1　(1)若m，n∈N，m>0，n>0，且m＋n≤8，则平面上的点(m，n)共有(　　)
A．21个 B．20个
C．28个 D．30个
(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
(3)用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．
(4)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”共有________个．
(5)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案共有________种．
【通性通法】
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么；
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
(3)弄清分步、分类的标准是什么；
(4)利用两个计数原理求解．
【巩固迁移】
1．设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．
2．如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________．
3.现要将5种不同的花卉种植在如图所示的5个区域上，要求相邻的区域不能种植同一种花卉，则不同的种植方法有________种．
考点二　排列问题
例2　(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(　　)
A．576 B．288
C．144 D．48
(2)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．
【通性通法】
求解排列问题的四种常用方法
【巩固迁移】
4．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．16
考点三　组合问题
例3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中选取2种有C＝561种，所以某一种假货必须在内的不同的取法有561种．
(2)从34种可选商品中选取3种有C＝5984种，所以某一种假货不能在内的不同的取法有5984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，
有CC＝2100种，
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，
共有CC＋C＝2100＋455＝2555种，
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．
(5)从35种商品中选取3种有C种，选取3种假货有C种，因此共有C－C＝6545－455＝6090种．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．
【通性通法】
组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【巩固迁移】
5．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
考点四　排列、组合问题的综合应用(多考向探究)
考向1　相邻、不相邻问题
例4　某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“雨水”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为(　　)
A．24 B．48
C．144 D．244
【通性通法】
相邻与不相邻问题的解决方法
(1)“相邻”问题：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)“不相邻”问题：元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
【巩固迁移】
6．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是(　　)
A．72 B．144
C．240 D．288
考向2　特殊元素(位置)问题
例5　(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
【通性通法】
解决特殊元素、特殊位置问题的原则与方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
【巩固迁移】
7．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA
考向3　分组、分配问题
例6　(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(　　)
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分配方法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有90种分配方法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分配方法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分配方法
【通性通法】
解决分组分配问题的策略
(1)对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题．
(2)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(3)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
【巩固迁移】
8．(2024·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为(　　)
A．60 B．90
C．120 D．150
9．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A．A种 B．CCC34种
C.43种 D．CCC43种
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第一节　两个计数原理、排列与组合
课标解读 考向预测
1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 4.能利用排列组合解决简单的实际问题. 在近几年的高考中，排列与组合考查的频率较高，常以社会热点问题为背景，考查考生利用排列组合知识解决问题的能力．预计2025年高考将会以小题形式单独考查排列与组合的应用问题或与统计概率综合命题.
【知识梳理】
1．两个计数原理
(1)分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2．排列与组合
(1)排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
(2)排列数与组合数
①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
(3)排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)． 特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！． (2)C＝C；C＝C＋C
【常用结论】
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列与组合问题的四大原则
(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．
(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(　　)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(4)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　)
A．3种 B．6种
C．7种 D．9种
答案　C
解析　买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本，有1种方案．因此共有3＋3＋1＝7种方案．
(2)(人教A选择性必修第三册习题6.2 T4(2)改编)现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是(　　)
A．20 B．90
C．120 D．240
答案　C
解析　共有A＝120种不同的选派方案．
(3)(人教A选择性必修第三册习题6.1 T8(2)改编)3个班分别从5处风景点中选择一处游览，不同的选法有________种．
答案　125
解析　因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步乘法计数原理可得，不同的选法有5×5×5＝125种．
(4)(人教A选择性必修第三册习题6.2 T13改编)某医院计划从3名医生和4名护士中任选3人去外地培训，则至少有1名医生被选中的选法共有________种．
答案　31
解析　至少有1名医生被选中的选法共有C－C＝31种．
【考点探究】
考点一　两个计数原理
例1　(1)若m，n∈N，m>0，n>0，且m＋n≤8，则平面上的点(m，n)共有(　　)
A．21个 B．20个
C．28个 D．30个
答案　C
解析　根据题意，m可取的值为1，2，3，4，5，6，7，当m＝1时，n可取的值为1，2，3，4，5，6，7，共7种；当m＝2时，n可取的值为1，2，3，4，5，6，共6种；当m＝3时，n可取的值为1，2，3，4，5，共5种；当m＝4时，n可取的值为1，2，3，4，共4种；当m＝5时，n可取的值为1，2，3，共3种；当m＝6时，n可取的值为1，2，共2种；当m＝7时，n可取的值为1，共1种．则平面上的点(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28个．
(2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
答案　120
解析　因为每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4＝120种不同的报名方法．
(3)用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．
答案　420
解析　要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步．
第一类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有3×4×5×4＝240种取法；
第二类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有3×3×5×4＝180种取法．
根据分类加法计数原理，共可以组成240＋180＝420个无重复数字的四位偶数．
(4)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”共有________个．
答案　36
解析　在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成6×4＝24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成6×2＝12个“正交线面对”，所以共有24＋12＝36个“正交线面对”．
(5)如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案共有________种．
答案　720
解析　解法一：依题意，分五步进行．第一步，涂湖北有5种方法；第二步，涂江西有4种方法；第三步，涂安徽有3种方法；第四步，涂湖南有3种方法；第五步，涂陕西有4种方法．根据分步乘法计数原理，不同的涂色方案共有5×4×3×3×4＝720种．
解法二：依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，最后涂湖南有3种方法，由分步乘法计数原理得，不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180种；若安徽与陕西涂不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有3种方法，由分步乘法计数原理得，不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540种．所以由分类加法计数原理得，不同的涂色方案共有180＋540＝720种．
【通性通法】
利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么；
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
(3)弄清分步、分类的标准是什么；
(4)利用两个计数原理求解．
【巩固迁移】
1．设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．
答案　9
解析　对子集A分类讨论：当A是二元集{1，2}时，B可以为{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4种情况；当A是三元集{1，2，3}时，B可以为{1，2，4}，{1，2}，共2种情况；当A是三元集{1，2，4}时，B可以为{1，2，3}，{1，2}，共2种情况；当A是四元集{1，2，3，4}时，B取{1，2}，有1种情况．根据分类加法计数原理，共有4＋2＋2＋1＝9种结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．
2．如果一个三位正整数形如“a1a2a3”满足a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________．
答案　240
解析　若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，凸数为120与121，共2个；若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则凸数有2×3＝6个；若a2＝4，满足条件的凸数有3×4＝12个；…；若a2＝9，满足条件的凸数有8×9＝72个．所以所有凸数的个数为2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240.
3.现要将5种不同的花卉种植在如图所示的5个区域上，要求相邻的区域不能种植同一种花卉，则不同的种植方法有________种．
答案　420
解析　由题意，可以种植相同花卉的区域为2，4和3，5.若都不相同，则有5×4×3×2×1＝120种；若只有2，4相同，则有5×4×3×2＝120种；若只有3，5相同，则有5×4×3×2＝120种；若2，4与3，5分别相同，则有5×4×3＝60种．由分类加法计数原理知，共有120＋120＋120＋60＝420种不同的种植方法．
考点二　排列问题
例2　(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为(　　)
A．576 B．288
C．144 D．48
答案　B
解析　根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A＝6种情况，而4个项目之间的排法有A＝24种顺序，则有2×6×24＝288种展示方案．
(2)用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．
答案　110
解析　①当千位上排1或3时，符合题意的数共有AAA个；②当千位上排2时，符合题意的数共有AA个；③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个符合题意，形如41××的偶数有AA个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110个数符合题意．
【通性通法】
求解排列问题的四种常用方法
【巩固迁移】
4．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．16
答案　C
解析　的值的个数即为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数，即A＝4×3＝12.
考点三　组合问题
例3　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解　(1)从余下的34种商品中选取2种有C＝561种，所以某一种假货必须在内的不同的取法有561种．
(2)从34种可选商品中选取3种有C＝5984种，所以某一种假货不能在内的不同的取法有5984种．
(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，
有CC＝2100种，
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．
(4)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，
共有CC＋C＝2100＋455＝2555种，
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．
(5)从35种商品中选取3种有C种，选取3种假货有C种，因此共有C－C＝6545－455＝6090种．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．
【通性通法】
组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【巩固迁移】
5．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
答案　64
解析　由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有CC种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有CC种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有CC种方案．综上，不同的选课方案共有CC＋CC＋CC＝64种．
考点四　排列、组合问题的综合应用(多考向探究)
考向1　相邻、不相邻问题
例4　某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“惊蛰”“雨水”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为(　　)
A．24 B．48
C．144 D．244
答案　C
解析　根据题意，先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”“谷雨”排列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空，所以不同的放置方式有AAA＝144种．
【通性通法】
相邻与不相邻问题的解决方法
(1)“相邻”问题：元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．
(2)“不相邻”问题：元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
【巩固迁移】
6．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是(　　)
A．72 B．144
C．240 D．288
答案　D
解析　首先，选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有CA＝6种排法，则现在共有5个位置，若这对夫妻在左数第一个位置，共有CAA＝8种情况，若这对夫妻在左数第二个位置，则共有CC＝8种情况，若这对夫妻在中间位置共有CCAA＝16种情况，左数第四个和第二个情况一样，第五个和第一个情况一样，所以三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法有6×(2×8＋2×8＋16)＝288种．故选D.
考向2　特殊元素(位置)问题
例5　(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
答案　B
解析　因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看作一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有A种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插入方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有A×2×2＝24种不同的排列方式．故选B.
【通性通法】
解决特殊元素、特殊位置问题的原则与方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．
【巩固迁移】
7．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　　)
A．CA B．CA
C．CA D．CA
答案　C
解析　先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种，有C种选法，再排剩余的瓶子，有A种方法，故不同的放法共有CA种．故选C.
考向3　分组、分配问题
例6　(多选)有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(　　)
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分配方法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有90种分配方法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分配方法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分配方法
答案　ABC
解析　对于A，先从6本书中分给甲2本，有C种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有C种方法；最后的2本书给丙，有C种方法，所以不同的分配方法有CCC＝90种，A正确；对于B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有C种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CA＝90种，B正确；对于C，6本不同的书先分给甲、乙每人各2本，有CC种方法；其余2本分给丙、丁，有A种方法，所以不同的分配方法有CCA＝180种，C正确；对于D，先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有·种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有··A＝1080种，D错误．
【通性通法】
解决分组分配问题的策略
(1)对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题．
(2)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(3)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
【巩固迁移】
8．(2024·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为(　　)
A．60 B．90
C．120 D．150
答案　D
解析　满足条件的分法可分为两类：第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有CA种，即60种；第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有·A种，即90种．由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为60＋90＝150.
9．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A．A种 B．CCC34种
C.43种 D．CCC43种
答案　B
解析　解法一：首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法．根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34种．
解法二：根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34＝CCC34种．
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