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第二节　二项式定理
课标解读 考向预测
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 近几年的高考中考查了二项展开式的通项的应用、二项式定理的正用和逆用，二项式系数的性质与各项的和．预计2025年高考可能会以二项式、三项式或两因式乘积的形式呈现，考查特定项或特定项的系数，难度中档.
【知识梳理】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
【常用结论】
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，还与a，b的值有关．
(6)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数一定不同．(　　)
(4)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b的值无关．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　)
A．C B．－C
C．C D．－C
答案　D
解析　T6＝Cx5(－1)5，所以第6项的系数是－C.
(2)(人教B选择性必修第二册习题3－3A T2改编)的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－45 B．－10
C．10 D．45
答案　D
解析　的展开式的通项为Tk＋1＝C·(－)k＝(－1)kCx，令k－10＝2，解得k＝8，所以x2的系数为(－1)8C＝45.
(3)(多选)(2024·江苏南京宁海中学模拟)关于的展开式，下列结论正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为0
C．常数项为－20
D．系数最大的项为第3项
答案　BC
解析　所有项的二项式系数和为26＝64，故A错误；令x＝1得所有项的系数和为0，故B正确；常数项为Cx3＝－20，故C正确；Tk＋1＝Cx6－k，系数为(－1)kC，最大为C或C，为第3项或第5项，故D错误．
(4)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝(　　)
A．31 B．32
C．15 D．16
答案　A
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.
【考点探究】
考点一　二项展开式的通项及其应用(多考向探究)
考向1　求二项展开式中的特定项(或系数)
例1　(1)二项式的展开式中的常数项是(　　)
A．－45 B．－10
C．45 D．65
答案　C
解析　由二项式定理得Tk＋1＝C·(－x2)k＝(－1)kCx，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45.
(2)(2023·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________．
答案　60
解析　解法一：二项式展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－kCx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60.
解法二：将二项式看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－，相乘，即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系数为60.
【通性通法】
求二项展开式中特定项的步骤
【巩固迁移】
1．(2023·江苏无锡江阴模拟)二项式(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展开式中，含x2项的二项式系数为(　　)
A．84 B．56
C．35 D．21
答案　B
解析　含x2项的二项式系数为C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝56.
2．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
答案　16　5
解析　由题意，得(＋x)9的通项为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0，1，2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个．
考向2　已知两个因式之积求其特定项
(或系数)
例2　(1)(2024·湖南益阳质量检测)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，则a2的值为(　　)
A．－20 B．20
C．40 D．60
答案　B
解析　因为(1＋2x)(1－2x)5＝(1－2x)5＋2x(1－2x)5，所以展开式中x2的系数a2＝C(－2)2＋2×C(－2)1＝40－20＝20.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案　－28
解析　展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6.
【通性通法】
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题．
【巩固迁移】
3．(2024·湖南名校大联考)(x3＋2)的展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．160
C．240 D．320
答案　D
解析　(x3＋2)＝x3·＋2，展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k·＝C·26－k·(－1)k·x6－3k，当6－3k＝－3时，k＝3，当6－3k＝0时，k＝2，则原展开式中的常数项为x3·C23(－1)3x－3＋2C24(－1)2＝－160＋480＝320.
考向3　已知三项式求其特定项(或系数)
例3　(1)(2023·佛山模拟)(x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为(　　)
A．80 B．40
C．－80 D．－40
答案　D
解析　(x－y＋2)5＝[x－(y－2)]5的展开式中含x3的项为Cx3(y－2)2，(y－2)2的展开式中含y的项为Cy(－2)，所以(x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为CC(－2)＝－40.
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
答案　30
解析　解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2，其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.
解法二：(x2＋x＋y)5表示5个因式(x2＋x＋y)之积．所以x5y2可从两个因式中取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余两个取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
【通性通法】
求三项展开式中特定项(系数)的方法
【巩固迁移】
4.的展开式中常数项为(　　)
A．－61 B．－59
C．－57 D．－55
答案　B
解析　将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项为C＋CC(－2)＋CC(－2)2＝－59.
考点二　二项式系数与各项的系数和问题
例4　(1)(多选)(2024·盐城调研)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
答案　ABD
解析　在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)6－k·＝C(－1)k36－k·x6－k，令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝C(－1)4·32＝135，故D正确．
(2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
答案　B
解析　令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B.
【通性通法】
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【巩固迁移】
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960
C．1120 D．1680
答案　C
解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C.
6．已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________．
答案　－2
解析　记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
考点三　二项展开式中的系数最值问题
例5　(2023·江苏南京模拟)若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为________．
答案　[2，3]
解析　2n＝512，n＝9，T6＝C24(ax)5，T5＝C25(ax)4，T7＝C23(ax)6，∵第6项的系数最大，∴则2≤a≤3.故a的取值范围为[2，3]．
【通性通法】
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.
2．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用注意解出k后要检验首末两项．
【巩固迁移】
7．(多选)(2024·唐山模拟)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　)
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
答案　ACD
解析　展开式的通项为Tk＋1＝C·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；对于B，由通项知，若要系数最大，k的所有可能取值为0，2，4，6，∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展开式第5项的系数最大，B错误；对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．
考点四　二项式定理的综合应用
例6　(1)(2023·湖北荆州中学模拟)已知m>0，且152024＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　　)
A．1 B．12
C．7 D．27
答案　D
解析　∵152024＋m＝(1＋14)2024＋m＝1＋C141＋C142＋C143＋…＋C142024＋m，故若152024＋m恰能被14整除，只需要1＋m能被14整除即可，又m>0，∴m的取值可以是13，27等．故选D.
(2)(2024·广东佛山模拟)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
答案　B
解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.故选B.
【通性通法】
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【巩固迁移】
8．(2023·四川绵阳中学模拟)2424被5除的余数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　由题意可知，2424＝(25－1)24，则其展开式的通项为Tk＋1＝C·2524－k·(－1)k(k＝0，1，2，…，24)，由通项可得，只有k＝24时，T25＝C×250×(－1)24＝1不能被5整除，其余项均能被5整除．故2424被5除的余数为1.故选A.
9．(2024·湖南长沙一中阶段考试)估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的结果，精确到0.01的近似值为(　　)
A．30.84 B．31.84
C．30.40 D．32.16
答案　A
解析　原式＝(1＋0.998)5－1＝(2－0.002)5－1＝C25－C24×0.002＋C23×0.0022－…－C×0.0025－1≈32－0.16－1＝30.84.故选A.
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第二节　二项式定理
课标解读 考向预测
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 近几年的高考中考查了二项展开式的通项的应用、二项式定理的正用和逆用，二项式系数的性质与各项的和．预计2025年高考可能会以二项式、三项式或两因式乘积的形式呈现，考查特定项或特定项的系数，难度中档.
【知识梳理】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
【常用结论】
(a＋b)n的展开式形式上的特点：
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
(5)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，还与a，b的值有关．
(6)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数一定不同．(　　)
(4)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b的值无关．(　　)
2．小题热身
(1)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　)
A．C B．－C
C．C D．－C
(2)(人教B选择性必修第二册习题3－3A T2改编)的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－45 B．－10
C．10 D．45
(3)(多选)(2024·江苏南京宁海中学模拟)关于的展开式，下列结论正确的是(　　)
A．所有项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为0
C．常数项为－20
D．系数最大的项为第3项
(4)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝(　　)
A．31 B．32
C．15 D．16
【考点探究】
考点一　二项展开式的通项及其应用(多考向探究)
考向1　求二项展开式中的特定项(或系数)
例1　(1)二项式的展开式中的常数项是(　　)
A．－45 B．－10
C．45 D．65
(2)(2023·天津高考)在的展开式中，x2的系数是________．
解法二：将二项式看成6个多项式相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－，相乘，即C(2x3)2×C＝60x2，所以x2的系数为60.
【通性通法】
求二项展开式中特定项的步骤
【巩固迁移】
1．(2023·江苏无锡江阴模拟)二项式(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展开式中，含x2项的二项式系数为(　　)
A．84 B．56
C．35 D．21
2．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
考向2　已知两个因式之积求其特定项
(或系数)
例2　(1)(2024·湖南益阳质量检测)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，则a2的值为(　　)
A．－20 B．20
C．40 D．60
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
【通性通法】
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题．
【巩固迁移】
3．(2024·湖南名校大联考)(x3＋2)的展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．160
C．240 D．320
考向3　已知三项式求其特定项(或系数)
例3　(1)(2023·佛山模拟)(x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为(　　)
A．80 B．40
C．－80 D．－40
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
【通性通法】
求三项展开式中特定项(系数)的方法
【巩固迁移】
4.的展开式中常数项为(　　)
A．－61 B．－59
C．－57 D．－55
考点二　二项式系数与各项的系数和问题
例4　(1)(多选)(2024·盐城调研)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
(2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　)
A．40 B．41
C．－40 D．－41
【通性通法】
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【巩固迁移】
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960
C．1120 D．1680
6．已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________．
考点三　二项展开式中的系数最值问题
例5　(2023·江苏南京模拟)若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为________．
【通性通法】
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.
2．二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用注意解出k后要检验首末两项．
【巩固迁移】
7．(多选)(2024·唐山模拟)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　)
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
考点四　二项式定理的综合应用
例6　(1)(2023·湖北荆州中学模拟)已知m>0，且152024＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　　)
A．1 B．12
C．7 D．27
(2)(2024·广东佛山模拟)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
【通性通法】
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【巩固迁移】
8．(2023·四川绵阳中学模拟)2424被5除的余数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
9．(2024·湖南长沙一中阶段考试)估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的结果，精确到0.01的近似值为(　　)
A．30.84 B．31.84
C．30.40 D．32.16
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