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第三节　随机事件与概率
课标解读 考向预测
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件的并、交运算. 4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式. 5.理解古典概型及其概率计算公式. 近几年的高考以考查随机事件的频率与概率、古典概型为主，其中古典概型常与排列组合知识交汇考查．预计2025年高考以上题型均可能出现，其中随机事件的频率与概率的题目以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及古典概型以选择题、填空题的形式出现，难度中档.
【知识梳理】
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
3．事件的关系
定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，则A与B互斥
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
4.概率与频率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
7．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
【常用结论】
1．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　)
(3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型．(　　)
(4)若A∪B是必然事件，则事件A与B是对立事件．(　　)
(5)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A必修第二册习题10.1 T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
(2)一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”．则在上述事件中，互斥而不对立的事件是(　　)
A．A1与A2 B．A1与A3
C．A2与A3 D．以上都不对
(3)把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为(　　)
A． B．1
C． D．
【考点探究】
考点一　随机事件(多考向探究)
考向1　随机事件的关系及运算
例1　(1)(2024·广东梅州中学月考)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”．则(　　)
A．A与C是互斥事件
B．B与D是对立事件
C．B与C是对立事件
D．C与D是互斥事件
(2)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是(　　)
A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥
C．D3 F D．E (D1∩D2)
【通性通法】
事件关系判断的策略
判断事件的互斥、对立关系 一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生
判断事件的交、并关系 一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件
【巩固迁移】
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
考向2　随机事件的频率与概率
例2　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
【通性通法】
频率与概率的关系
区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值
联系 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率
【巩固迁移】
2．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
频数 4 12 42 32 10
(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润．
解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96，
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.
用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68元．
考点二　互斥事件与对立事件的概率
例3　(1)人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为(　　)
A．0.31 B．0.48
C．0.65 D．0.69
(2)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________．
【通性通法】
求互斥事件概率的一般方法
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算
间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便
【巩固迁移】
3．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A∪B)＝0.5，则P(C)＝(　　)
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围为________．
考点三　古典概型
例4　(1)(2024·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是(　　)
A． B．
C． D．
(3)已知m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
【通性通法】
公式法求解古典概型问题的步骤
【巩固迁移】
5．将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(　　)
A． B．
C． D．
6．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
7．已知函数y＝x2，集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，现从A中任意取出若干个元素组成函数y＝x2的定义域D，则函数y＝x2的值域为{1，4}的概率为________．
考点四　古典概型与统计的交汇问题
例5　为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
新药 疲乏症状 合计
无疲乏症状 有疲乏症状
未使用新药 150 25 t
使用新药 x y 100
合计 225 m 275
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否判断有无疲乏症状与是否使用该新药有关？
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
零假设为H0：有无疲乏症状与是否使用该新药无关．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝≈4.911＞3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有无疲乏症状与是否使用该新药有关．
(2)从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为＝，则抽取有疲乏症状的人数为×25＝1，无疲乏症状的人数为3，
记“这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件M，于是P(M)＝＝，所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是.
【通性通法】
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．
【巩固迁移】
8．为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b.
(1)求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)
(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．
解　(1)依题意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，
所以中位数为70＋≈75.14.
(2)依题意，知分数在[50，60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70)的员工抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，
所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28种，
其中满足条件的有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13种，
设“至少有1人的分数在[50，60)”为事件A，则P(A)＝.
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第三节　随机事件与概率
课标解读 考向预测
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别. 2.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 3.了解随机事件的并、交与互斥的含义，会求随机事件的并、交运算. 4.掌握随机事件概率的运算法则，了解两个互斥事件的概率加法公式. 5.理解古典概型及其概率计算公式. 近几年的高考以考查随机事件的频率与概率、古典概型为主，其中古典概型常与排列组合知识交汇考查．预计2025年高考以上题型均可能出现，其中随机事件的频率与概率的题目以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及古典概型以选择题、填空题的形式出现，难度中档.
【知识梳理】
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．事件的运算
定义 表示法 图示
并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B)
交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB)
3．事件的关系
定义 表示法 图示
包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A (或A B)
互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝ ，则A与B互斥
对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝ ，且A∪B＝Ω，则A与B对立
4.概率与频率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．古典概型
具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个．
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
7．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
【常用结论】
1．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．(　　)
(3)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型．(　　)
(4)若A∪B是必然事件，则事件A与B是对立事件．(　　)
(5)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能事件．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．小题热身
(1)(人教A必修第二册习题10.1 T14改编)从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
答案　B
解析　由题意知该同学的身高小于160 cm的概率、该同学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率和该同学的身高超过175 cm的概率和为1，故所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
(2)一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”．则在上述事件中，互斥而不对立的事件是(　　)
A．A1与A2 B．A1与A3
C．A2与A3 D．以上都不对
答案　B
解析　射手进行射击时，事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1与A2互斥且对立，A不正确；事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1与A3互斥不对立，B正确；事件A2与A3可以同时发生，即事件A2与A3不互斥不对立，C不正确，显然D不正确．
(3)把语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，则语文书和英语书不相邻的概率为(　　)
A． B．1
C． D．
答案　C
解析　根据题意，语文、数学、英语、物理4本书从左到右排成一行，有A＝24种不同的排法，若语文书和英语书不相邻，其排法有AA＝12种，则语文书和英语书不相邻的概率P＝＝.
【考点探究】
考点一　随机事件(多考向探究)
考向1　随机事件的关系及运算
例1　(1)(2024·广东梅州中学月考)“黑匣子”是飞机专用的电子记录设备之一，黑匣子有两个，分别为驾驶舱语音记录器和飞行数据记录器．某兴趣小组对黑匣子内部构造进行相关课题研究，记事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”，事件B为“至少研究一个黑匣子”，事件C为“至多研究一个黑匣子”，事件D为“两个黑匣子都研究”．则(　　)
A．A与C是互斥事件
B．B与D是对立事件
C．B与C是对立事件
D．C与D是互斥事件
答案　D
解析　事件A为“只研究驾驶舱语音记录器”；事件B为“至少研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”；事件C为“至多研究一个黑匣子”，包含“研究驾驶舱语音记录器”或“研究飞行数据记录器”，或“两个黑匣子都不研究”；事件D为“两个黑匣子都研究”，即“研究驾驶舱语音记录器和研究飞行数据记录器”．对于A，事件A与事件C不是互斥事件，故A不正确；对于B，事件B与事件D不是对立事件，故B不正确；对于C，事件B与事件C不是对立事件，故C不正确；对于D，事件C和事件D不能同时发生，故C与D是互斥事件，故D正确．故选D.
(2)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是(　　)
A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥
C．D3 F D．E (D1∩D2)
答案　BC
解析　对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点数是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故B正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生时F一定发生，所以D3 F，故C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E (D1∩D2)不正确，故D不正确．
【通性通法】
事件关系判断的策略
判断事件的互斥、对立关系 一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生
判断事件的交、并关系 一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件
【巩固迁移】
1．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　)
A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
答案　D
解析　对于A，A∪B与C是互斥事件，但不对立，因为P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A错误；对于B，B∪C与D是互斥事件，但不对立，因为P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B错误；对于C，A∪C与B∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C错误；对于D，A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件，因为P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正确．
考向2　随机事件的频率与概率
例2　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
【通性通法】
频率与概率的关系
区别 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值
联系 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率
【巩固迁移】
2．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]
频数 4 12 42 32 10
(1)分别估计用A配方、B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品中每件产品的平均利润．
解　(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为＝0.96，
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率约为0.96.
用B配方生产的100件产品中每件产品的平均利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68元．
考点二　互斥事件与对立事件的概率
例3　(1)人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；③X→AB.已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为(　　)
A．0.31 B．0.48
C．0.65 D．0.69
答案　D
解析　若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为0.41＋0.28＝0.69.
(2)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33名成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一名成员，则他至少参加2个小组的概率为________，他至多参加2个小组的概率为________．
答案　　
解析　记“恰好参加2个小组”为事件A，“恰好参加3个小组”为事件B，随机选取一名成员，恰好参加2个小组的概率P(A)＝＋＋＝，恰好参加3个小组的概率P(B)＝＝，则至少参加2个小组的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，至多参加2个小组的概率为1－P(B)＝1－＝.
【通性通法】
求互斥事件概率的一般方法
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算
间接法 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法比较简便
【巩固迁移】
3．已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立．若P(A∪B)＝0.5，则P(C)＝(　　)
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．0.8
答案　C
解析　由题意可知，P(A)＝＝0.2.因为A与B互斥且P(A∪B)＝0.5，所以P(B)＝0.3.又因为随机事件C与B对立，所以P(C)＝1－0.3＝0.7.
4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　由题意可知
即即解得＜a≤.故实数a的取值范围为.
考点三　古典概型
例4　(1)(2024·南通质检)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　大于3且不超过20的素数为5，7，11，13，17，19，共6个，随机选取2个不同的数，分别为(5，7)，(5，11)，(5，13)，(5，17)，(5，19)，(7，11)，(7，13)，(7，17)，(7，19)，(11，13)，(11，17)，(11，19)，(13，17)，(13，19)，(17，19)，共15种选法，其中恰好是一组孪生素数的有(5，7)，(11，13)，(17，19)，共3种，故随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为＝.
(2)已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝(a，b)，n＝(1，1)，则向量m与n所成的角为锐角的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　向量m与n所成的角为锐角等价于m·n>0，且m与n的方向不同，即m·n＝(a，b)·(1，1)＝a＋b>0，且a≠b，则满足条件的向量m有(－1，2)，(1，2)，(2，－1)，(2，1)，共4种，又m的取法共有4×4＝16种，则向量m与n所成的角为锐角的概率是＝.
(3)已知m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．
答案　
解析　方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0，有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共6种，在题设条件下，方程有A＝12种，所以所求概率为P＝＝.
【通性通法】
公式法求解古典概型问题的步骤
【巩固迁移】
5．将3名男生、1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　分配方案的总数为CA，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CA种，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是P＝＝.
6．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
答案　
解析　从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C＝70种取法，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12种取法，故所求概率P＝＝＝.
7．已知函数y＝x2，集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，现从A中任意取出若干个元素组成函数y＝x2的定义域D，则函数y＝x2的值域为{1，4}的概率为________．
答案　
解析　易知集合A的非空子集有27－1＝127个，即样本点的总数为127，记“函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M，“D中含有2个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M1，“D中含有3个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M2，“D中含有4个元素且函数y＝x2的值域为{1，4}”为事件M3，易知M1＋M2＋M3＝M，则M1中含有的样本点为(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，共4个；M2中含有的样本点为(－1，－2，1)，(－1，－2，2)，(－2，1，2)，(－1，1，2)，共4个；M3中含有的样本点为(－2，－1，1，2)，只有1个．所以P(M)＝P(M1＋M2＋M3)＝P(M1)＋P(M2)＋P(M3)＝＋＋＝.
考点四　古典概型与统计的交汇问题
例5　为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用．为了了解使用该种新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，得到统计数据如表：
新药 疲乏症状 合计
无疲乏症状 有疲乏症状
未使用新药 150 25 t
使用新药 x y 100
合计 225 m 275
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，t的值，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否判断有无疲乏症状与是否使用该新药有关？
(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽出4人，再从这4人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)由数表知，x＝225－150＝75，y＝100－75＝25，m＝275－225＝50，t＝150＋25＝175，所以x＝75，y＝25，m＝50，t＝175，
零假设为H0：有无疲乏症状与是否使用该新药无关．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝≈4.911＞3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为有无疲乏症状与是否使用该新药有关．
(2)从使用新药的100人中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人的抽样比为＝，则抽取有疲乏症状的人数为×25＝1，无疲乏症状的人数为3，
记“这2人中恰有1人有疲乏症状”为事件M，于是P(M)＝＝，所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是.
【通性通法】
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型．概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键．复杂事件的概率问题可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．
【巩固迁移】
8．为了调查国企员工对现行个税法的满意程度，研究人员在某地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b.
(1)求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)
(2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从[50，60)，[60，70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50，60)的概率．
解　(1)依题意，得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，
所以中位数为70＋≈75.14.
(2)依题意，知分数在[50，60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60，70)的员工抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，
所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共28种，
其中满足条件的有(a，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5)，(a，6)，(b，1)，(b，2)，(b，3)，(b，4)，(b，5)，(b，6)，共13种，
设“至少有1人的分数在[50，60)”为事件A，则P(A)＝.
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