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第五节　离散型随机变量的分布列及数字特征
课标解读 考向预测
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 预计2025年高考仍将以条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值与方差的计算、统计为核心，整合构建综合解答题.
【知识梳理】
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称__为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．两点分布的分布列及其数字特征
若X服从两点分布，则分布列如下：
X 0 1
P 1－p p
期望E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．
6．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
【常用结论】
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．
3．均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　)
(2)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布．(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(　　)
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
2．小题热身
(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a，i＝1，2，3，则a的值为(　　)
A． B．
C． D．
(3)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
(4)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
【考点探究】
考点一　离散型随机变量分布列的性质
例1　已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
【通性通法】
离散型随机变量分布列的性质的应用
应用一 利用“概率之和为1”可以求相关参数的值
应用二 利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率
应用三 可以根据性质判断所得分布列结果是否正确
【巩固迁移】
1．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求随机变量Y＝|X－1|的分布列．
考点二　求离散型随机变量的分布列(多考向探究)
考向1　与互斥事件、独立事件有关的分布列
例2　甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立．
(1)求甲校以3∶1获胜的概率；
(2)记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列．
【通性通法】
在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．
【巩固迁移】
2．(2023·广东潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校联考)在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片3次．
(1)求3次摸出卡片的数字之和为奇数的概率；
(2)记这3次中摸出卡片的最大编号数为随机变量X，求X的分布列．
考向2　与古典概型有关的分布列
例3　(2024·江苏连云港模拟)某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名，高二年级的参赛选手5名，其中男生3名．从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛．
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列．
【通性通法】
(1)求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的个数及事件A包含的样本点的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．
(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
【巩固迁移】
3．有编号为1，2，3，…，n的n名学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每名学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列．
考点三　离散型随机变量的数字特征(多考向探究)
考向1　数字特征的计算
例4　某班元旦联欢晚会上，设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求A同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为A同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
【通性通法】
求离散型随机变量X的数字特征的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由均值的定义求E(X)．
(5)由方差的定义求D(X)．
注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
【巩固迁移】
4．(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
考向2　数字特征的应用
例5　(2024·山西太原模拟)某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【通性通法】
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【巩固迁移】
5．某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第五节　离散型随机变量的分布列及数字特征
课标解读 考向预测
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 预计2025年高考仍将以条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值与方差的计算、统计为核心，整合构建综合解答题.
【知识梳理】
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称__为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．两点分布的分布列及其数字特征
若X服从两点分布，则分布列如下：
X 0 1
P 1－p p
期望E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．
6．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
【常用结论】
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．
3．均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　)
(2)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布．(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(　　)
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．小题热身
(1)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
答案　C
解析　A，B表述的都是随机事件；D是确定的值2，并不随机；C是随机变量，可能取值为0，1，2.
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a，i＝1，2，3，则a的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由题意a＝1，a＝.
(3)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　)
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
答案　D
解析　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
(4)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
答案　0
解析　因为P(X＝c)＝1，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
【考点探究】
考点一　离散型随机变量分布列的性质
例1　已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
答案　　
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.故公差d的取值范围是.
【通性通法】
离散型随机变量分布列的性质的应用
应用一 利用“概率之和为1”可以求相关参数的值
应用二 利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率
应用三 可以根据性质判断所得分布列结果是否正确
【巩固迁移】
1．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求2X＋1的分布列；
(2)求随机变量Y＝|X－1|的分布列．
解　(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由(1)知m＝0.3，列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
所以P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(Y＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(Y＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故Y＝|X－1|的分布列为
Y 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
考点二　求离散型随机变量的分布列(多考向探究)
考向1　与互斥事件、独立事件有关的分布列
例2　甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立．
(1)求甲校以3∶1获胜的概率；
(2)记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布列．
解　(1)甲校以3∶1获胜，则甲校在第四局获胜，前三局胜两局，
P＝C××××＋××＝＋＝.
(2)ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝＋C××××＋××＝，
P(ξ＝3)＝1－－＝，
故ξ的概率分布列为
ξ 1 2 3
P
【通性通法】
在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．
【巩固迁移】
2．(2023·广东潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校联考)在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片3次．
(1)求3次摸出卡片的数字之和为奇数的概率；
(2)记这3次中摸出卡片的最大编号数为随机变量X，求X的分布列．
解　(1)依题意，摸一次编号为奇数的概率为，编号为偶数的概率为，
要使3次摸出卡片的数字之和为奇数，则有1次或3次摸出的为奇数卡片，
所以概率P＝C××＋＝.
(2)依题意，X的所有可能取值为1，2，3，4，5，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝C××＋C××＋C×＝，
P(X＝3)＝C××＋C××＋C×＝，
P(X＝4)＝C××＋C××＋C×＝，
P(X＝5)＝C××＋C××＋C×＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
考向2　与古典概型有关的分布列
例3　(2024·江苏连云港模拟)某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名，高二年级的参赛选手5名，其中男生3名．从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛．
(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列．
解　(1)由题意可知，从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛共有C＝210种选法，
事件A的选法共有CC＋CC＝40种，
故P(A)＝＝.
(2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由于P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)，
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
【通性通法】
(1)求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的个数及事件A包含的样本点的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．
(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
【巩固迁移】
3．有编号为1，2，3，…，n的n名学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每名学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列．
解　(1)因为当X＝2时，有C种方法，
又C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意可知X的可能取值为0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的分布列为
X 0 2 3 4
P
考点三　离散型随机变量的数字特征(多考向探究)
考向1　数字特征的计算
例4　某班元旦联欢晚会上，设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1)求A同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为A同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
解　(1)设“A同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)＝＝，
故A同学摸球三次后停止摸球的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2，
方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝.
【通性通法】
求离散型随机变量X的数字特征的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由均值的定义求E(X)．
(5)由方差的定义求D(X)．
注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．
【巩固迁移】
4．(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
解　(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，
先确定3个不同数字的小球，有C种方法，
然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法，
所以P(M)＝＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3，
当X＝1时，有两种情况：只有一个数字为1的小球，有两个数字为1的小球，
所以P(X＝1)＝＝；
当X＝2时，有两种情况：只有一个数字为2的小球，有两个数字为2的小球，
所以P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，有两种情况：只有一个数字为3的小球，有两个数字为3的小球，
所以P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
考向2　数字特征的应用
例5　(2024·山西太原模拟)某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
解　(1)记“甲、乙两家公司共答对2道题”为事件A，它是甲、乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有P(A)＝×C＋×＝，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.
(2)设甲公司答对题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X 1 2 3
P
期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，方差D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.
(3)设乙公司答对题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C××＝，
P(Y＝3)＝＝，
则Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2，
方差D(Y)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，
显然E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲公司竞标成功的可能性更大．
【通性通法】
随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
【巩固迁移】
5．某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
解　(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，4，10，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，
P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列为
X 0 4 10
P 0.2 0.24 0.56
(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：
由(1)可知，小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为
E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，
若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，6，10，
P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，
P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，
P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，
则Y的均值为E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为E(X)>E(Y)，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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