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第六节　二项分布、超几何分布、正态分布
课标解读 考向预测
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 4.了解正态分布的均值、方差及其含义. 预计2025年高考可能将二项分布或超几何分布与数字特征综合起来呈现，也可能将正态分布与数据的统计分析综合起来呈现.
【知识梳理】
1．伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)二项分布的均值、方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．其均值E(X)＝，D(X)＝.
3．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴围成的面积为1；
⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(4)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
【常用结论】
1．二项分布当n＝1时就是两点分布．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．(　　)
(2)正态分布是对连续型随机变量而言的．(　　)
(3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　)
(4)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　　)
(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　　)
2．小题热身
(1)(人教B选择性必修第二册 4.2.4练习A T4改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
(2)(人教B选择性必修第二册 4.2.5练习B T2改编)随机变量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，则P(X>9)＝(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
(3)设某实验成功率是失败率的3倍，3次实验成功的次数为随机变量ξ，则P(ξ＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
(4)已知随机变量X服从二项分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3，则D(aX－3)＝________．
【考点探究】
考点一　二项分布及其应用
例1　(2023·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是.
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
【通性通法】
二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：
(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；
(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；
(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
【巩固迁移】
1．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．
(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；
(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及均值．
考点二　超几何分布及其应用
例2　(2023·天津模拟)某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
【通性通法】
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2．求超几何分布的分布列的步骤
步骤一 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值
步骤二 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率
步骤三 列出分布列
【巩固迁移】
2．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员(其中男性120名，女性80名)就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
有兴趣 无兴趣 合计
男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装是否感兴趣与性别有关”；
(2)按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X名，求X的分布列与数学期望．
参考公式：χ2＝.
临界值表：
α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
考点三　正态分布及其应用(多考向探究)
考向1　正态曲线及正态分布的概率计算
例3　(1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．
【通性通法】
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．
【巩固迁移】
3．(2024·惠州调研)若随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)，则有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100，102)，则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为(　　)
A．1587 B．228
C．455 D．3174
4.(多选)(2023·石家庄模拟)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是(　　)
A．－P(X≤0)
B．－P(X≥2)
C．P(X≤2)－P(X≤0)
D．－P(1≤X≤2)
考向2　正态分布的实际应用
例4　(2023·山东潍坊模拟)2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布X～N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分．第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为p(0(1)令η＝，则η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η(2)第10轮比赛中，记1班排球队3∶1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题．
①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的分布列；
②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
【通性通法】
正态分布出现在解答题中，通常与二项分布、超几何分布相结合．解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴为直线x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
【巩固迁移】
5．在某大学举行的自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下所示的频数分布表：
组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2＝161)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的约有多少人？附：≈12.7，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.
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第六节　二项分布、超几何分布、正态分布
课标解读 考向预测
1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 4.了解正态分布的均值、方差及其含义. 预计2025年高考可能将二项分布或超几何分布与数字特征综合起来呈现，也可能将正态分布与数据的统计分析综合起来呈现.
【知识梳理】
1．伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)二项分布的均值、方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．其均值E(X)＝，D(X)＝.
3．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴围成的面积为1；
⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
(4)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
【常用结论】
1．二项分布当n＝1时就是两点分布．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．(　　)
(2)正态分布是对连续型随机变量而言的．(　　)
(3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　)
(4)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．(　　)
(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2．小题热身
(1)(人教B选择性必修第二册 4.2.4练习A T4改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　A
解析　由题意知，X服从超几何分布，则E(X)＝＝4.
(2)(人教B选择性必修第二册 4.2.5练习B T2改编)随机变量X～N(8，σ2)，若P(7≤X≤9)＝0.4，则P(X>9)＝(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
答案　D
解析　∵随机变量X～N(8，σ2)，P(7≤X≤9)＝0.4，∴P(X>8)＝0.5，P(89)＝0.3.
(3)设某实验成功率是失败率的3倍，3次实验成功的次数为随机变量ξ，则P(ξ＝2)＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由于成功率是失败率的3倍，所以成功率是，失败率是，所以P(ξ＝2)＝C××＝.故选A.
(4)已知随机变量X服从二项分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3，则D(aX－3)＝________．
答案　9
解析　因为X～B(12，0.25)，所以E(X)＝12×0.25＝3，D(X)＝12×0.25×(1－0.25)＝，又E(aX－3)＝aE(X)－3＝3，即3a－3＝3，解得a＝2，所以D(aX－3)＝D(2X－3)＝22D(X)＝4×＝9.
【考点探究】
考点一　二项分布及其应用
例1　(2023·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是.
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
解　(1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C××＋C×＝.
(2)由(1)可知X～B，
则P(X＝0)＝C×＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C×＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
【通性通法】
二项分布概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：
(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；
(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；
(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
【巩固迁移】
1．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．
(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；
(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及均值．
解　用Ai表示第i位同学选择A组合，用Bi表示第i位同学选择B组合，用Ci表示第i位同学选择C组合，i＝1，2，3.
由题意可知，Ai，Bi，Ci互相独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.
(1)三位同学恰好选择互不相同的组合共有A＝6种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择互不相同的组合的概率
P＝6P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)由题意知，η的所有可能取值为0，1，2，3，且η～B，
所以P(η＝0)＝C××＝，
P(η＝1)＝C××＝，
P(η＝2)＝C××＝，
P(η＝3)＝C××＝，
所以η的分布列为
η 0 1 2 3
P
E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
考点二　超几何分布及其应用
例2　(2023·天津模拟)某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及期望．
解　(1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教，样本点总数n＝C，
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，事件A包含的样本点个数m＝CC＋CC，
则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【通性通法】
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2．求超几何分布的分布列的步骤
步骤一 验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值
步骤二 根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率
步骤三 列出分布列
【巩固迁移】
2．第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员(其中男性120名，女性80名)就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：
有兴趣 无兴趣 合计
男性运动员 80 40 120
女性运动员 40 40 80
合计 120 80 200
(1)是否有99%的把握认为“外国运动员对唐装是否感兴趣与性别有关”；
(2)按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有X名，求X的分布列与数学期望．
参考公式：χ2＝.
临界值表：
α 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解　(1)由已知χ2＝＝≈5.556<6.635，
故没有99%的把握认为“外国运动员对唐装是否感兴趣与性别有关”．
(2)按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员有4名，女性运动员有2名，则X＝1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
考点三　正态分布及其应用(多考向探究)
考向1　正态曲线及正态分布的概率计算
例3　(1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
答案　AC
解析　X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，结合正态曲线可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝________．
答案　0.14
解析　因为X～N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
【通性通法】
利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意活用下面两个结论：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－σ)＝P(X>μ＋σ)．
【巩固迁移】
3．(2024·惠州调研)若随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)，则有P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545.现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100，102)，则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为(　　)
A．1587 B．228
C．455 D．3174
答案　C
解析　由题意可知μ＝100，σ＝10，记本次数学测试成绩为随机变量X，由于P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，所以P(80≤X≤120)≈0.9545，因此本次数学测试成绩在120分以上的学生约有20000×＝455人．
4.(多选)(2023·石家庄模拟)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是(　　)
A．－P(X≤0)
B．－P(X≥2)
C．P(X≤2)－P(X≤0)
D．－P(1≤X≤2)
答案　ABC
解析　根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称，所以题图中阴影部分的面积为－P(X≤0)，A正确；根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，所以题图中阴影部分的面积可表示为P(0≤X≤1)＝－P(X≤0)＝－P(X≥2)，B正确；阴影部分的面积也可以表示为，C正确；阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正确．
考向2　正态分布的实际应用
例4　(2023·山东潍坊模拟)2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球MIKASA_V200W.已知这种球的质量指标ξ(单位：g)服从正态分布X～N(μ，σ2)，其中μ＝270，σ＝5.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分．第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为p(0(1)令η＝，则η～N(0，1)，且Φ(a)＝P(η(2)第10轮比赛中，记1班排球队3∶1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p0，并以p0作为p的值，解决下列问题．
①在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为X，求X的分布列；
②已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
参考数据：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
解　(1)Φ(－2)＝P(η<－2)＝P(ξ<260)，
又P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，
所以Φ(－2)＝P(ξ<260)≈0.5－＝0.5－0.47725＝0.02275.
因为Φ(－2)＝P(η<－2)，根据正态曲线对称性，Φ(－2)＝P(η<－2)＝P(η>2)，
又因为Φ(2)＝P(η<2)＝1－P(η≥2)，
所以Φ(－2)＋Φ(2)＝1.
(2)f(p)＝Cp3(1－p)＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)．
令f′(p)＝0，得p＝.
当p∈时，f′(p)>0，f(p)在上为增函数；
当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上为减函数．
所以f(p)的最大值点p0＝，从而p＝.
①X的所有可能取值为3，2，1，0.
P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)p＝，
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2p＝，
P(X＝1)＝Cp2(1－p)3＝，
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)3＝，
所以X的分布列为
X 3 2 1 0
P
②若X＝3，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，29>28，所以1班如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P(X＝3)＝.
【通性通法】
正态分布出现在解答题中，通常与二项分布、超几何分布相结合．解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴为直线x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
【巩固迁移】
5．在某大学举行的自主招生考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下所示的频数分布表：
组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 5 18 28 26 17 6
(1)求抽取样本的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2＝161)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的约有多少人？附：≈12.7，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.
解　(1)由所得数据列成的频数分布表，得
＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70.
(2)由(1)知Z～N(70，161)，
所以P(70－12.7≤Z≤70＋12.7)≈0.6827，
所以P(Z>82.7)≈＝0.15865，
所以在这2000名考生中，能进入复试的约有2000×0.15865≈317人．
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