资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性
【考点探究】
考点一　三角函数的周期性
例1 (1)函数f(x)＝atan的最小正周期是(　　)
A．πa B．π|a|
C． D．
(2)函数f(x)＝cosx＋2cosx的一个周期为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
【通性通法】
求三角函数周期的常用方法
【巩固迁移】
1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cosx|
C．y＝cos D．y＝tan
2．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．
考点二　三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)
考向1奇偶性
例2 (1)下列函数中周期是π的偶函数是(　　)
A．y＝|cosx| B．y＝|cos2x|
C．y＝－sinx D．y＝sinx＋1
(2)(2024·广东茂名模拟)已知f(x)＝sin(x－α)＋cosx是奇函数，则tanα＝(　　)
A．1 B．±1
C． D．±
【通性通法】
三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值，则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
【巩固迁移】
3．(2024·北京房山模拟)已知函数f(x)＝2cos2(x＋θ)－1，则“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f(x)＝sinx＋cosx，若y＝f(x＋θ)是偶函数，则cosθ＝________．
考向2对称性
例3 (2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则函数f(x)的图象关于(　　)
A．点对称 B．点对称
C．直线x＝对称 D．直线x＝对称
【通性通法】
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sinx图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
【巩固迁移】
5．函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x的图象的一个对称中心是(　　)
A． B．(0，3)
C． D．
6．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
考点三　三角函数的图象与性质的综合
例4 (多选)(2024·厦门模拟)已知函数f(x)＝cos2－cos2x，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0，2π]上有4个零点
【通性通法】
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asinωx＋bcosωx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【巩固迁移】
7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)
A．函数f为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为直线x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间单调递增
D．f(x)的最小值为－2
第2课时　三角函数的周期性、奇偶性与对称性
【考点探究】
考点一　三角函数的周期性
例1 (1)函数f(x)＝atan的最小正周期是(　　)
A．πa B．π|a|
C． D．
答案　B
解析　对于函数f(x)＝atan，显然a≠0，所以函数的最小正周期T＝＝π|a|.故选B.
(2)函数f(x)＝cosx＋2cosx的一个周期为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案　D
解析　易知y1＝cosx，y2＝2cosx的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f(x)的一个周期．故选D.
【通性通法】
求三角函数周期的常用方法
【巩固迁移】
1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|cosx|
C．y＝cos D．y＝tan
答案　ABC
解析　对于A，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；对于B，由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；对于C，y＝cos的最小正周期T＝＝π；对于D，y＝tan的最小正周期T＝.
2．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．
答案　1
解析　因为f(x)＝2＝2sin，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1.
考点二　三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)
考向1奇偶性
例2 (1)下列函数中周期是π的偶函数是(　　)
A．y＝|cosx| B．y＝|cos2x|
C．y＝－sinx D．y＝sinx＋1
答案　A
解析　对于A，y＝|cosx|为偶函数，且最小正周期为π，所以A符合题意；对于B，y＝|cos2x|为偶函数，最小正周期为，所以B不符合题意；对于C，y＝－sinx为奇函数，所以C不符合题意；对于D，y＝sinx＋1为非奇非偶函数，所以D不符合题意．故选A.
(2)(2024·广东茂名模拟)已知f(x)＝sin(x－α)＋cosx是奇函数，则tanα＝(　　)
A．1 B．±1
C． D．±
答案　B
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即sin(－α)＋cos0＝0，解得sinα＝，所以cosα＝±，此时f(x)＝sinxcosα－cosxsinα＋cosx＝sinxcosα＝±sinx，是奇函数，所以tanα＝±1.故选B.
【通性通法】
三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y＝Asin(ωx＋φ)中代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大或最小值，则为偶函数．若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
【巩固迁移】
3．(2024·北京房山模拟)已知函数f(x)＝2cos2(x＋θ)－1，则“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为f(x)＝2cos2(x＋θ)－1＝cos(2x＋2θ)，若函数f(x)为奇函数，则2θ＝＋kπ(k∈Z)，解得θ＝＋(k∈Z)，因为?，因此“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)为奇函数”的充分不必要条件．故选A.
4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f(x)＝sinx＋cosx，若y＝f(x＋θ)是偶函数，则cosθ＝________．
答案　±
解析　f(x)＝sinx＋cosx＝sin，由y＝f(x＋θ)是偶函数，得f(－x＋θ)＝f(x＋θ)，即sin＝sin，所以θ＋－x＝θ＋＋x＋2kπ，k∈Z恒成立或θ＋－x＋θ＋＋x＝π＋2kπ，k∈Z恒成立．显然θ＋－x＝θ＋＋x＋2kπ，k∈Z不恒成立，故由θ＋－x＋θ＋＋x＝π＋2kπ，k∈Z，得θ＝＋kπ，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，cosθ＝cos＝cos＝；当k＝2n＋1，n∈Z时，cosθ＝cos＝cos＝－.所以cosθ＝±.
考向2对称性
例3 (2023·武汉模拟)已知函数f(x)＝3sin，则函数f(x)的图象关于(　　)
A．点对称 B．点对称
C．直线x＝对称 D．直线x＝对称
答案　C
解析　由题意，设2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．设2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋(k∈Z)，通过对比选项可知，f(x)的图象关于直线x＝对称．故选C.
【通性通法】
三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sinx图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
【巩固迁移】
5．函数f(x)＝sin＋cos＋2cos2x的图象的一个对称中心是(　　)
A． B．(0，3)
C． D．
答案　C
解析　f(x)＝sin＋cos＋2cos2x＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋cos2x－sin2x＋2cos2x＝cos2x＋(1＋cos2x)＝2cos2x＋.由2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，此时f(x)＝，所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的一个对称中心为.故选C.
6．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　D
解析　由题意，＝－＝，不妨设ω>0，则T＝π，ω＝＝2，当x＝时，f(x)取得最小值，则2·＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0，则f(x)＝sin，则f＝sin＝.故选D.
考点三　三角函数的图象与性质的综合
例4 (多选)(2024·厦门模拟)已知函数f(x)＝cos2－cos2x，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0，2π]上有4个零点
答案　ACD
解析　f(x)＝－cos2x＝＋－cos2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，则f(x)的最小正周期为π，A正确；易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为，B错误；令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即为f(x)图象的对称轴方程，C正确；由f(x)＝sin＋＝0，得sin＝－，当x∈[0，2π]时，2x－∈，作出函数y＝sinx的图象，如图所示．由图可知方程sin＝－在[0，2π]上有4个不同的实根，即f(x)在[0，2π]上有4个零点，D正确．
【通性通法】
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y＝f(x)化为y＝asinωx＋bcosωx的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
【巩固迁移】
7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)
A．函数f为偶函数
B．曲线y＝f(x)的对称轴为直线x＝kπ，k∈Z
C．f(x)在区间单调递增
D．f(x)的最小值为－2
答案　AC
解析　f(x)＝sin＋cos＝sin2xcos＋sincos2x＋cos2xcos－sin2xsin＝－sin2x＋cos2x－cos2x－sin2x＝－sin2x，即f(x)＝－sin2x.对于A，f＝－sin＝cos2x，易知为偶函数，故A正确；对于B，令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故B错误；对于C，当x∈时，2x∈，y＝sin2x单调递减，则f(x)＝－sin2x单调递增，故C正确；对于D，因为sin2x∈[－1，1]，所以f(x)∈[－，]，故D错误．故选AC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑