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第2课时　简单的三角恒等变换
【考点探究】
考点一　三角函数式的化简
例1 2＋＝(　　)
A．2cos2 B．2sin2
C．4sin2＋2cos2 D．2sin2＋4cos2
【通性通法】
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
【巩固迁移】
1．(2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知0<θ<π，则＝________．
考点二　三角函数式的求值(多考向探究)
考向1给角求值问题
例2 (1)cos(－75°)的值是(　　)
A． B．
C． D．
(2)化简：＝(　　)
A． B．2
C． D．－1
(3)cos20°cos40°cos100°＝________．
【通性通法】
解决给角求值问题的技巧
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
(3)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(4)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【巩固迁移】
2．若tanα＝2tan10°，则＝________．
考向2给值求值问题
例3 已知cos＝－，－π<α<0，则cosα＝(　　)
A． B．－
C． D．－
【通性通法】
给值求值问题的求解思路
【巩固迁移】
3．已知α∈，cos2α＝，则sin2＝(　　)
A． B．
C． D．
考向3给值求角问题
例4 已知cosα＝，sinβ＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
已知三角函数值求角的解题步骤
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
【巩固迁移】
4．若cosα＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为(　　)
A． B．
C． D．
例5 设m为实数，已知sinα－cosα＝m－1，则m的取值范围是________．
【通性通法】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
【巩固迁移】
5．已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cosθ＝，θ∈，求f的值．
第2课时　简单的三角恒等变换
【考点探究】
考点一　三角函数式的化简
例1 2＋＝(　　)
A．2cos2 B．2sin2
C．4sin2＋2cos2 D．2sin2＋4cos2
答案　B
解析　2＋＝2＋＝2＋＝2|sin2＋cos2|＋2|cos2|.∵<2<π，∴cos2<0，∵sin2＋cos2＝sin，0<2＋<π，∴sin2＋cos2>0，∴原式＝2(sin2＋cos2)－2cos2＝2sin2.故选B.
【通性通法】
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
【巩固迁移】
1．(2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知0<θ<π，则＝________．
答案　－cosθ
解析　原式＝＝cos·＝.因为0<θ<π，所以0<<，即cos>0，所以原式＝－cosθ.
考点二　三角函数式的求值(多考向探究)
考向1给角求值问题
例2 (1)cos(－75°)的值是(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝×＋×＝.故选C.
(2)化简：＝(　　)
A． B．2
C． D．－1
答案　A
解析　＝＝
＝＝.故选A.
(3)cos20°cos40°cos100°＝________．
答案　－
解析　cos20°cos40°cos100°＝－cos20°cos40°cos80°
＝－
＝－＝－＝－＝－＝－.
【通性通法】
解决给角求值问题的技巧
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
(3)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(4)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
【巩固迁移】
2．若tanα＝2tan10°，则＝________．
答案　3
解析　∵tanα＝2tan10°，
∴＝＝
＝＝
＝＝3.
考向2给值求值问题
例3 已知cos＝－，－π<α<0，则cosα＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　D
解析　因为－π<α<0，所以－<＋α<，又cos＝－<0，所以－<＋α<－，所以sin＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.故选D.
【通性通法】
给值求值问题的求解思路
【巩固迁移】
3．已知α∈，cos2α＝，则sin2＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　∵α∈，∴2α∈，又cos2α＝，∴sin2α＝＝＝，∴sin2＝＝＝＝.故选D.
考向3给值求角问题
例4 已知cosα＝，sinβ＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　∵α∈，β∈，∴sinα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选B.
【通性通法】
已知三角函数值求角的解题步骤
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
【巩固迁移】
4．若cosα＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π，由cosα＝，sin(α＋β)＝，得sinα＝，cos(α＋β)＝±.若cos(α＋β)＝，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝×－×<0，与sinβ>0矛盾，故舍去；若cos(α＋β)＝－，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝，又β∈，∴β＝.故选A.
考点三　三角恒等变换的综合应用
例5 设m为实数，已知sinα－cosα＝m－1，则m的取值范围是________．
答案　[－1，3]
解析　sinα－cosα＝2＝2sin＝m－1，因为－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，则m的取值范围是[－1，3]．
【通性通法】
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asinx＋bcosx转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
【巩固迁移】
5．已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cosθ＝，θ∈，求f的值．
解　(1)由题意得f(x)＝sin＋cos＝×＝－sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cosθ＝，θ∈，
所以sinθ＝－，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－，
cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin
＝－sin＝－(sin2θ－cos2θ)
＝(cos2θ－sin2θ)＝×＝.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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