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第一节　集合
课标解读 考向预测
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合. 2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义. 3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，常联系不等式的解集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.
【知识梳理】
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
(5)集合的分类：有限集和无限集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
3．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
【常用结论】
1．空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
3．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
5．集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)∈Q.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
答案　C
(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．8 D．7
答案　D
(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}
C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}
答案　A
解析　由图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，2}．故选A.
(4)(人教A必修第一册习题1.3 T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则 R(A∪B)＝________，( R A)∩B＝________．
答案　{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或7≤x＜10}
【考点探究】
考点一　集合的基本概念
例1 (1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四个命题正确的是(　　)
A．10以内的素数集合是{1，3，5，7}
B．0与{0}表示同一个集合
C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}
D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
答案　D
解析　10以内的素数有2，3，5，7，A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确．故选D.
(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________．
答案　0或1
解析　①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}；②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，舍去；③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}．综上，a＝0或1.
【通性通法】
与集合中元素有关问题的三个关键点
【巩固迁移】
1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2 A，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}
C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}
答案　C
解析　由题意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故选C.
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
答案　A
解析　集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．故选A.
3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2024＋b2024＝________．
答案　2
解析　由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2024＝1＋1＝2.
考点二　集合间的基本关系
例2 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
答案　B
解析　因为A B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
答案　(－∞，3]
解析　∵B A，∴若B＝ ，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠ ，则解得2≤m≤3.综上，实数m的取值范围为(－∞，3]．
【通性通法】
1．判断集合间关系的三种方法
列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．
注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．
【巩固迁移】
4．设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是(　　)
A．M＝P B．P∈M
C．M?P D．P?M
答案　D
解析　因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以P?M.
5．(2024·湖南湘潭模拟)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为________．
答案　[－2，2)
解析　若B＝ ，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
考点三　集合的基本运算(多考向探究)
考向1 集合间的交、并、补运算
例3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
答案　C
解析　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C.
(2)(2024·山东潍坊高三上学期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，则A∪B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(－2，0) D．(－1，2)
答案　B
解析　由题意，A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
答案　A
解析　由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则 U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确； UM＝{x|x≥1}，则N∪ UM＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1【通性通法】
解决集合运算问题的三个技巧
看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
【巩固迁移】
6．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
答案　D
解析　由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以 U(A∪B)＝{－2，0}．故选D.
7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
答案　D
解析　因为M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，N＝{x|3x≥1}＝，所以M∩N＝.故选D.
8.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰·韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“Venn图”．则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．A∩B∩C B．( UA)∩B∩C
C．A∩( UB)∩C D．A∩B∩( UC)
答案　D
解析　由图可知，阴影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故图中的阴影部分表示的集合为A∩B∩( UC)．故选D.
考向2利用集合的运算求参数
例4 (2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
C．(0，3] D．(0，3)
答案　C
解析　由集合A＝{x∈Z|－1【通性通法】
利用集合的运算求参数的方法
注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．
【巩固迁移】
9．(2023·河北衡水中学高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝.若M∪N＝R，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，4]
答案　B
解析　由x2－3x－4>0，得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，因为M∪N＝R，M＝(－∞，m]，所以m≥4，即实数m的取值范围为[4，＋∞)．故选B.
10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1答案　(－∞，－1)∪(0，3)
解析　由题意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因为A∩B≠ ，所以或解得a<－1或0考向3集合语言与思想的运用
例5 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
答案　8
解析　设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．
【通性通法】
(1)运用集合语言及思想解决实际问题时，注意Venn图的应用，它是解决集合交、并、补运算的有力工具，先利用Venn图表示交、并、补的区域，如果在集合外，那么与集合的补集运算有关，如果在公共部分，那么与集合的交集运算有关．
(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理运用．
【巩固迁移】
11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56%
C．46% D．42%
答案　C
解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
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第一节　集合
课标解读 考向预测
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合. 2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义. 3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，常联系不等式的解集，试题难度较低.2025年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.
【知识梳理】
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b A.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
(5)集合的分类：有限集和无限集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
3．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
【常用结论】
1．空集的性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
3．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
5．集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)∈Q.(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　)
2．小题热身
(1)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．M∩N＝
(2)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．3 B．4
C．8 D．7
D
(3)已知全集U＝R，集合A＝{－2，－1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．{－2，1，2} B．{－1，4，6}
C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6}
(4)(人教A必修第一册习题1.3 T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则 R(A∪B)＝________，( R A)∩B＝________．
【考点探究】
考点一　集合的基本概念
例1 (1)(2024·河南漯河高三摸底)下列四个命题正确的是(　　)
A．10以内的素数集合是{1，3，5，7}
B．0与{0}表示同一个集合
C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2}
D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________．
【通性通法】
与集合中元素有关问题的三个关键点
【巩固迁移】
1．已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2 A，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤4} B．{a|a≥4}
C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4}
2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2024＋b2024＝________．
考点二　集合间的基本关系
例2 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C. D．－1
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
【通性通法】
1．判断集合间关系的三种方法
列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．
注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解．
【巩固迁移】
4．设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是(　　)
A．M＝P B．P∈M
C．M?P D．P?M
5．(2024·湖南湘潭模拟)若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B A，则实数m的取值范围为________．
考点三　集合的基本运算(多考向探究)
考向1 集合间的交、并、补运算
例3(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．2
(2)(2024·山东潍坊高三上学期月考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|ex<1}，则A∪B＝(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(－2，0) D．(－1，2)
(3)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1A． U(M∪N) B．N∪ UM
C． U(M∩N) D．M∪ UN
【通性通法】
解决集合运算问题的三个技巧
看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键
对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决
应用数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解
【巩固迁移】
6．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{1，3} B．{0，3}
C．{－2，1} D．{－2，0}
7．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
8.用图形直观表示集合的运算关系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形称为“欧拉图”．后来，英国逻辑学家约翰·韦恩在欧拉图的基础上创建了世人所熟知的“Venn图”．则图中的阴影部分表示的集合为(　　)
A．A∩B∩C B．( UA)∩B∩C
C．A∩( UB)∩C D．A∩B∩( UC)
考向2利用集合的运算求参数
例4 (2024·江苏无锡天一中学高三模拟)已知集合A＝{x∈Z|－1A．(0，4) B．(0，4]
【通性通法】
利用集合的运算求参数的方法
注意：确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集．
【巩固迁移】
9．(2023·河北衡水中学高三一模)已知集合M＝{x|x≤m}，N＝.若M∪N＝R，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，4]
10．已知集合A＝{x|x2＋x－6>0}，B＝{x|2a－1考向3集合语言与思想的运用
例5 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
【通性通法】
(1)运用集合语言及思想解决实际问题时，注意Venn图的应用，它是解决集合交、并、补运算的有力工具，先利用Venn图表示交、并、补的区域，如果在集合外，那么与集合的补集运算有关，如果在公共部分，那么与集合的交集运算有关．
(2)注意公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的合理运用．
【巩固迁移】
11．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56%
C．46% D．42%
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