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第二节　常用逻辑用语
课标解读 考向预测
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识结合考查.
【知识梳理】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
p与q的关系 结论
p q p是q的充分条件，q是p的必要条件
p q且qp p是q的充分不必要条件
p q且q p p是q的必要不充分条件
p q p是q的充要条件
p q且q p p是q的既不充分也不必要条件
2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件．
3．全称量词命题与存在量词命题及其否定
名称 形式 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
【常用结论】
1．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围．
2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　)
(3)“ x∈M，p(x)”与“ x∈M， p(x)”的真假性相反．(　　)
2．小题热身
(1)(2024·四川绵阳南山中学模拟)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
(2)已知p：x>a是q：2(3)(人教A必修第一册习题1.5 T6改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
(4)设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为________．
【考点探究】
考点一　充分条件、必要条件的判断
例1(1)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
(2)(2023·河北石家庄模拟)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(多选)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(　　)
A．xc2>yc2 B.<<0
C．|x|>|y| D．ln x>ln y
【通性通法】
充分、必要条件的两种常用判断方法
【巩固迁移】
1．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(多选)(2023·广东广州华南师大附中模拟)函数f(x)＝sin为偶函数的一个充分条件是(　　)
A．φ＝－ B．φ＝－
C．φ＝ D．φ＝
考点二　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
【通性通法】
由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
注意：考虑空集的情况．
【巩固迁移】
3．(2023·福建福州四校联考)已知p：A＝，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
考点三　含有量词的命题的否定及真假判断
例3 (1)设命题p：平行四边形对角线相等，则 p为(　　)
A．平行四边形对角线不相等
B．有的平行四边形对角线相等
C．有的平行四边形对角线不相等
D．不是平行四边形对角线就不相等
(2)(2024·湖北百校高三联考)设命题p： x∈(0，4)，2x＋＝18；命题q：每个三角形都有内切圆，则(　　)
A．命题p的否定： x∈(0，4)，2x＋＝18
B．命题p是真命题
C．命题q的否定：存在一个三角形没有内切圆
D．命题q是假命题
【通性通法】
1．含有量词命题的否定与不含量词命题的否定
含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可．
2．含有量词命题真假判断的策略
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
【巩固迁移】
4．(多选)(2024·河北沧州部分学校高三联考)命题p： x∈(0，2)，x3>x6；命题q：每个大于2的素数都是奇数．关于这两个命题，下列判断正确的是(　　)
A．p是真命题
B． p： x∈(0，2)，x3C．q是真命题
D． q：存在一个大于2的素数不是奇数
5．(2024·湖北部分学校高三联考)已知p： m∈{m|－2考点四　根据命题的真假求参数的取值范围
例4(1)已知p： x∈[3，4)，x2－a≥0，则p成立的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a<9 B．a>9
C．a<16 D．a>16
(2)(2024·山东聊城一中高三期中)若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
【通性通法】
由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成 p的真假求参数的范围．
【巩固迁移】
6．若命题“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(　　)
A．[－4，－3] B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞) D．[－4，0]
7．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________．
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第二节　常用逻辑用语
课标解读 考向预测
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识结合考查.
【知识梳理】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
p与q的关系 结论
p q p是q的充分条件，q是p的必要条件
p q且qp p是q的充分不必要条件
p q且q p p是q的必要不充分条件
p q p是q的充要条件
p q且q p p是q的既不充分也不必要条件
2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A?B，则p是q的必要不充分条件．
3．全称量词命题与存在量词命题及其否定
名称 形式 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
【常用结论】
1．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围．
2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　)
(3)“ x∈M，p(x)”与“ x∈M， p(x)”的真假性相反．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√
2．小题热身
(1)(2024·四川绵阳南山中学模拟)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
答案　必要不充分
解析　若α＝，β＝，则满足sinα＝sinβ，而不满足α＝β；当α＝β时，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ ”是“α＝β ”的必要不充分条件．
(2)已知p：x>a是q：2答案　(－∞，2]
解析　由已知可得{x|2a}，所以a≤2.
(3)(人教A必修第一册习题1.5 T6改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
答案　(3，＋∞)
解析　因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“ x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)．
(4)设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为________．
答案　
解析　若命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈.又p，q均为真命题，所以实数m的取值范围为{m|m≤4}∩＝.
【考点探究】
考点一　充分条件、必要条件的判断
例1(1)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案　B
解析　当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B.
(2)(2023·河北石家庄模拟)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若a＝b＝c，则a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋bc＋ac＝3a2，即a＝b＝c a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，满足充分性；若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，则2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，所以a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，则a＝b＝c，满足必要性．故选C.
(3)(多选)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(　　)
A．xc2>yc2 B.<<0
C．|x|>|y| D．ln x>ln y
答案　ABD
解析　对于A，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A符合题意．对于B，由<<0可得yy，但x>y不能推出<<0(因为x，y的正负不确定)，所以“<<0”是“x>y”的充分不必要条件，故B符合题意．对于C，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意．对于D，若ln x>ln y，则x>y>0，反之x>y得不出ln x>ln y，所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，故D符合题意．
【通性通法】
充分、必要条件的两种常用判断方法
【巩固迁移】
1．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C.
2．(多选)(2023·广东广州华南师大附中模拟)函数f(x)＝sin为偶函数的一个充分条件是(　　)
A．φ＝－ B．φ＝－
C．φ＝ D．φ＝
答案　BD
解析　由题意得φ＋＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，令k＝－1，则φ＝－；令k＝0，则φ＝.故选BD.
考点二　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
答案　(1)(0，3]　(2)[9，＋∞)
解析　(1)因为p是q的必要不充分条件，所以或解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3]．
(2)因为p是q的充分不必要条件，所以或解得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞)．
【通性通法】
由充分、必要条件求参数范围的策略
巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形
端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍
注意：考虑空集的情况．
【巩固迁移】
3．(2023·福建福州四校联考)已知p：A＝，q：B＝{x|x－a<0}，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案　D
解析　由题意得A＝{x|(x－2)(x－1)≥0且x≠1}＝{x|x≥2或x<1}，B＝{x|x考点三　含有量词的命题的否定及真假判断
例3 (1)设命题p：平行四边形对角线相等，则 p为(　　)
A．平行四边形对角线不相等
B．有的平行四边形对角线相等
C．有的平行四边形对角线不相等
D．不是平行四边形对角线就不相等
答案　C
解析　因为命题p为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以 p：有的平行四边形对角线不相等．故选C.
(2)(2024·湖北百校高三联考)设命题p： x∈(0，4)，2x＋＝18；命题q：每个三角形都有内切圆，则(　　)
A．命题p的否定： x∈(0，4)，2x＋＝18
B．命题p是真命题
C．命题q的否定：存在一个三角形没有内切圆
D．命题q是假命题
答案　C
解析　命题p的否定应为“ x∈(0，4)，2x＋≠18”，所以A错误；因为f(x)＝2x＋在x∈(0，4)上单调递增，所以f(x)【通性通法】
1．含有量词命题的否定与不含量词命题的否定
含有量词命题的否定与不含量词命题的否定有一定的区别，含有量词命题的否定是将全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而不含量词命题的否定需先将量词加上再按照含有量词命题的否定解答即可．
2．含有量词命题真假判断的策略
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
【巩固迁移】
4．(多选)(2024·河北沧州部分学校高三联考)命题p： x∈(0，2)，x3>x6；命题q：每个大于2的素数都是奇数．关于这两个命题，下列判断正确的是(　　)
A．p是真命题
B． p： x∈(0，2)，x3C．q是真命题
D． q：存在一个大于2的素数不是奇数
答案　ACD
解析　若x＝，则x3>x6，所以p是真命题，A正确； p： x∈(0，2)，x3≤x6，B错误；每个大于2的素数都是奇数，q是真命题，C正确； q：存在一个大于2的素数不是奇数，D正确．故选ACD.
5．(2024·湖北部分学校高三联考)已知p： m∈{m|－2答案　 m∈{m|－2解析　根据存在量词命题的否定为全称量词命题，可得 p： m∈{m|－2考点四　根据命题的真假求参数的取值范围
例4(1)已知p： x∈[3，4)，x2－a≥0，则p成立的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a<9 B．a>9
C．a<16 D．a>16
答案　A
解析　若p为真命题，则a≤x2在区间[3，4)上恒成立，所以a≤9，所以p成立的一个充分不必要条件可以是a<9.故选A.
(2)(2024·山东聊城一中高三期中)若命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2，1)
解析　因为命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，所以命题“ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2【通性通法】
由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与 p的关系，转化成 p的真假求参数的范围．
【巩固迁移】
6．若命题“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(　　)
A．[－4，－3] B．(－∞，－4)
C．[－4，＋∞) D．[－4，0]
答案　D
解析　若“ x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则“ x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命题，即m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，因为y＝x2－4x在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0.
7．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________．
答案　[1，＋∞)
解析　因为p为假命题，所以命题p的否定： x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1.
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