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第一节　函数的概念及其表示
课标解读 考向预测
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏上．预计2025年高考函数的定义域、值域、解析式仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，分段函数的考查比较灵活，各种题型都可能涉及.
【知识梳理】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(3)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(3)各段函数的定义域区间端点应不重不漏．
【常用结论】
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
4．判断两个函数是否相同，要抓住的两点
(1)定义域是否相同．
(2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性．
5．常见函数的定义域
(1)一次函数、二次函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母不等于0.
(3)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(4)零次幂的底数不能为0.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)函数f(x)＝＋的定义域为 .(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　)
2．小题热身
(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
(2)设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．16 B．18
C．21 D．24
(3)(人教A必修第一册3.1.1例3改编)下列函数中与函数y＝x(x∈R)是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝
(4)函数f(x)＝＋的定义域是________．
【考点探究】
考点一　函数的概念
例1(1)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图象中，能表示集合M到集合N的函数关系的是(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②(2)(多选)(2023·山东济南高三期末)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
【通性通法】
(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
【巩固迁移】
1．下列四个图象中，是函数图象的是(　　)
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②③④
2．(2024·黑龙江佳木斯四校联合体高三第一次调研)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝x－2024
D．f(x)＝与g(x)＝
考点二　函数的定义域(多考向探究)
考向1具体函数的定义域
例2(1)(2024·湖北部分省级示范高中高三期中联考)函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是________．
【通性通法】
1．已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
3．已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
【巩固迁移】
3．(2024·江苏淮安高三期中联考)函数f(x)＝＋的定义域是________．
4．若函数y＝＋ln (x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝________．
考向2抽象函数的定义域
例3(1)已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；
(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域；
(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．
解　(1)由1≤2x＋1≤2，得0≤x≤，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为.
(2)因为y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，
所以3≤2x＋1≤5，即函数f(x)的定义域为[3，5]．
(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，所以3≤2x＋1≤5.由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2，3]．
【通性通法】
求抽象函数的定义域的策略
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围，即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
口诀：定义域指的是x的范围，括号内范围相同．
【巩固迁移】
5．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[1，3]，则函数y＝f(log3x)的定义域为(　　)
A．[0，1] B．[1，9]
C．[0，2] D．[0，9]
6．(2024·黑龙江牡丹江三中高三月考)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
考点三 函数的解析式
例4(1)已知f(|x－1|)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(cosx－1)＝cos2x－1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)(配凑法)因为f(|x－1|)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＝|x－1|2＋2，所以f(x)＝x2＋2(x≥0)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(换元法)f(cosx－1)＝cos2x－1＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2，
设cosx－1＝t，则cosx＝t＋1，由cosx∈[－1，1]知t∈[－2，0]，
故原函数可转化为f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2，0]，即f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0)．
(4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
【通性通法】
求函数解析式的常用方法
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法
换元法 主要用于解决已知复合函数f(g(x))的解析式，求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t解出x并用含t的代数式表示x，然后代入f(x)中即可求得f(t)，从而求得f(x)，要注意新元的取值范围
解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
【巩固迁移】
7．已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2，x≥0
B．f(x)＝(x－1)2，x≥1
C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0
D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1
8．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为________．
9．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________．
10．(2024·福建泉州高三模拟)设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2f＝3x，则f(2024)＝________．
考点四　分段函数(多考向探究)
考向1分段函数求值问题
例5(1)(2024·福建三明高三模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________．
(2)已知函数f(x)＝若f(m)＝3，则m＝________．
【通性通法】
“分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下：
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
【巩固迁移】
11．已知f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　)
A．2 B.
C．1 D．0
考向2分段函数与方程、不等式问题
例6(1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________．
【通性通法】
求参数或自变量的值(范围)的解题思路
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
【巩固迁移】
12．(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1，1)
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．若M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝－x2}，则M∩N＝(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，0]
C．(－∞，0] D．[0，1]
2．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)
C．(0，3] D．(0，1)∪(1，3]
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝，g(x)＝x－2
C．f(x)＝，g(x)＝sinx
D．f(x)＝|x|，g(x)＝
5．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，那么函数f(x＋2)的定义域和值域分别是(　　)
A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4]
C．[－2，－1]，[1，2] D．[－1，2]，[3，4]
6．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，2) B．(－1，2]
C．[－1，2] D．[－1，2)
7．(2023·广东深圳光明中学一模)已知函数f(x)＝若f(a)＝1，则f(a＋1)＝(　　)
A．－1 B．－
C．0 D．1
8．若函数f(x)＝的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是(　　)
A．(0，1] B．(0，1)
C．(1，4) D．(2，4)
二、多项选择题
9．下列对应关系f满足函数定义的是(　　)
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cosx)＝x D．f(ex)＝x
10．若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则(　　)
A．f＝15
B．f(2)＝－
C．f(x)＝－1(x≠0)
D．f＝－1(x≠0且x≠1)
11．(2024·湖北十堰月考)函数D(x)＝被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是(　　)
A．函数D(x)的值域为[0，1]
B．若D(x0)＝1，则D(x0＋1)＝1
C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q
D． x∈R，D(x＋)＝1
三、填空题
12．(2023·湖北黄冈高三联考)若函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数y＝f(2x)ln (x＋1)的定义域为________．
13．已知函数f(x)满足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________．
14．(2023·湖南湘潭高三模拟)已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝若f(f(－1))＝2，则a＝________，f(x)≤4的解集为________．
【B组 素养提升】
15．(2024·安徽合肥八中高三质检)已知函数f(x)＝则满足f(a)＞f的a的取值范围是(　　)
A.
B．(－∞，－1]∪
C.
D.∪(1，＋∞)
16．(多选)设函数f(x)的定义域为D， x∈D， y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝ln (2x＋3)
D．f(x)＝2x＋3
17．(多选)(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，x，y∈R，则(　　)
A．f(0)＝0
B．f(k)＝kf(1)(k∈Z)
C．f(x)＝kf(k≠0)
D．f(－x)f(x)＜0
18．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若f＝f，则的取值范围为________．
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第一节　函数的概念及其表示
课标解读 考向预测
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏上．预计2025年高考函数的定义域、值域、解析式仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，分段函数的考查比较灵活，各种题型都可能涉及.
【知识梳理】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(3)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(3)各段函数的定义域区间端点应不重不漏．
【常用结论】
1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
4．判断两个函数是否相同，要抓住的两点
(1)定义域是否相同．
(2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性．
5．常见函数的定义域
(1)一次函数、二次函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母不等于0.
(3)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(4)零次幂的底数不能为0.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　)
(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(3)函数f(x)＝＋的定义域为 .(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　A中函数的定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数的值域不是[0，2]．故选B.
(2)设f(x)＝则f(5)的值为(　　)
A．16 B．18
C．21 D．24
答案　B
(3)(人教A必修第一册3.1.1例3改编)下列函数中与函数y＝x(x∈R)是同一个函数的是(　　)
A．y＝()2 B．u＝
C．y＝ D．m＝
答案　B
解析　对于A，两函数定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两函数对应关系、定义域都相同，所以是同一个函数；对于C，y＝＝|x|＝当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于D，两函数定义域不相同，所以不是同一个函数．故选B.
(4)函数f(x)＝＋的定义域是________．
答案　(－4，4]
【考点探究】
考点一　函数的概念
例1(1)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图象中，能表示集合M到集合N的函数关系的是(　　)
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②
答案　C
解析　对于①，定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意；对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义；②③符合题意．故选C.
(2)(多选)(2023·山东济南高三期末)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
解析　同一个函数应满足①定义域相同，②对应关系相同，只有A，C满足．
【通性通法】
(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
(2)构成函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
【巩固迁移】
1．下列四个图象中，是函数图象的是(　　)
A．①② B．①②③
C．①③④ D．①②③④
答案　C
解析　根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有②不满足．故选C.
2．(2024·黑龙江佳木斯四校联合体高三第一次调研)下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝
C．f(x)＝与g(x)＝x－2024
D．f(x)＝与g(x)＝
答案　D
解析　对于A，二者定义域不同，不是同一个函数；对于B，二者定义域不同，不是同一个函数；对于C，因为f(x)＝＝|x－2024|与g(x)＝x－2024的对应关系不同，故二者不是同一个函数；对于D，g(x)＝＝＝与f(x)＝的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一个函数．故选D.
考点二　函数的定义域(多考向探究)
考向1具体函数的定义域
例2(1)(2024·湖北部分省级示范高中高三期中联考)函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由得1≤x<，故所求函数的定义域为.故选C.
(2)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是________．
答案　(－12，0]
解析　由题意可知ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12【通性通法】
1．已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
3．已知函数的定义域求参数问题的解题步骤
(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题．
(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．
【巩固迁移】
3．(2024·江苏淮安高三期中联考)函数f(x)＝＋的定义域是________．
答案　(－∞，1)∪(1，2]
解析　由已知，得解得x≤2且x≠1，即函数f(x)＝＋的定义域是(－∞，1)∪(1，2]．
4．若函数y＝＋ln (x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝________．
答案　－3
解析　由得则上式的解集为[1，＋∞)，所以x＝1为方程x2＋2x＋a＝0的一个根，即1＋2＋a＝0，解得a＝－3.经检验符合题意，故a＝－3.
考向2抽象函数的定义域
例3(1)已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域；
(2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域；
(3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域．
解　(1)由1≤2x＋1≤2，得0≤x≤，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为.
(2)因为y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，
所以3≤2x＋1≤5，即函数f(x)的定义域为[3，5]．
(3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，所以3≤2x＋1≤5.由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2，3]．
【通性通法】
求抽象函数的定义域的策略
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围，即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
口诀：定义域指的是x的范围，括号内范围相同．
【巩固迁移】
5．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[1，3]，则函数y＝f(log3x)的定义域为(　　)
A．[0，1] B．[1，9]
C．[0，2] D．[0，9]
答案　B
解析　由x∈[1，3]，得x－1∈[0，2]，所以log3x∈[0，2]，所以x∈[1，9]．故选B.
6．(2024·黑龙江牡丹江三中高三月考)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
答案　[0，1)
解析　由题意知解得0≤x<1，所以g(x)的定义域是[0，1)．
考点三 函数的解析式
例4(1)已知f(|x－1|)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(cosx－1)＝cos2x－1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)(配凑法)因为f(|x－1|)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＝|x－1|2＋2，所以f(x)＝x2＋2(x≥0)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(换元法)f(cosx－1)＝cos2x－1＝2cos2x－1－1＝2cos2x－2，
设cosx－1＝t，则cosx＝t＋1，由cosx∈[－1，1]知t∈[－2，0]，
故原函数可转化为f(t)＝2(t＋1)2－2＝2t2＋4t，t∈[－2，0]，即f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋4x(－2≤x≤0)．
(4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①
所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
【通性通法】
求函数解析式的常用方法
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式
待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法
换元法 主要用于解决已知复合函数f(g(x))的解析式，求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t解出x并用含t的代数式表示x，然后代入f(x)中即可求得f(t)，从而求得f(x)，要注意新元的取值范围
解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)
【巩固迁移】
7．已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝(x－1)2，x≥0
B．f(x)＝(x－1)2，x≥1
C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0
D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1
答案　B
解析　f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故选B.
8．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1
解析　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以解得或故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.
9．已知f(x6)＝log2x，则f(8)＝________．
答案　
解析　令x6＝t，t>0，则x＝t，则f(t)＝log2t＝log2t，故f(8)＝log28＝＝.
10．(2024·福建泉州高三模拟)设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2f＝3x，则f(2024)＝________．
答案　－2022
解析　∵f(x)＋2f＝3x，∴f＋2f(x)＝，联立，得－3f(x)＝3x－，∴f(x)＝－x＋，∴f(2024)＝－2024＋2＝－2022.
考点四　分段函数(多考向探究)
考向1分段函数求值问题
例5(1)(2024·福建三明高三模拟)已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________．
答案　－2
解析　f(f(－2))＝f(3－2)＝log33－2＝－2.
(2)已知函数f(x)＝若f(m)＝3，则m＝________．
答案　9
解析　由题意可知或解得m＝9.
【通性通法】
“分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下：
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
【巩固迁移】
11．已知f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　)
A．2 B.
C．1 D．0
答案　B
解析　由题意知a－3≤0，a＋2>0，所以a－3＋3＝，即a2＝a＋2且a≥0，解得a＝2，所以f(a)＝f(2)＝.故选B.
考向2分段函数与方程、不等式问题
例6(1)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
答案　A
解析　∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2.当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3；当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解．综上，a＝－3.故选A.
(2)已知函数f(x)＝则f＝________；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________．
答案　　3＋
解析　由已知得f＝－＋2＝，f＝＋－1＝，所以f＝.当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1【通性通法】
求参数或自变量的值(范围)的解题思路
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
【巩固迁移】
12．(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1，1)
答案　AC
解析　当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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