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第三节　三角恒等变换
第2课时　简单的三角恒等变换 课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
2．设0<θ<，若(sinθ＋cosθ)2＋cos2θ＝3，则sin2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
3．已知tanα＝3，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．已知θ∈，且sinθ－cosθ＝－，则＝(　　)
A． B．
C． D．
5．(2023·广东梅州统考一模)已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
6．若α∈，2cos2α＝sin，则sin2α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
7．已知α∈，且sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
8．(2024·湖北襄阳五中模拟)若<θ<π，tanθ＝－3，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
二、多项选择题
9．下列各式中与tanα相等的是(　　)
A． B．
C． D．
10．若函数f(x)＝2cosx(cosx－sinx)，则(　　)
A．f(x)的最大值是4
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．f(x)在区间上单调递减
三、填空题
11．已知sin＝，θ∈[0，π]，则cos2θ＝________．
12．(2024·广西桂林模拟)若sin＝，则sin＝________．
13．已知α，β均为锐角，cosα＝，sinβ＝，则cos2α＝________，2α－β＝________．
14．若函数f(x)＝Asinx－cosx的一个零点为，则f＝________．
四、解答题
15．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
【B组 素养提升】
16．(多选)(2024·长沙模拟)已知0<β<α<，且sin(α－β)＝，tanα＝5tanβ，则(　　)
A．sinαcosβ＝ B．sinβcosα＝
C．sin2αsin2β＝ D．α＋β＝
17．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．sin15°sin30°sin75°＝
C．＝
D．2sin18°cos36°＝
18．(2024·江苏南京模拟)已知0<α<，cos＝.
(1)求sinα的值；
(2)若－<β<0，cos＝，求α－β的值．
19.(2023·重庆模拟)如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点(不包括A，B)，点M，N分别在半径OA，OB上．
(1)若四边形PMON为矩形，求其面积的最大值；
(2)若△PBN和△PAM均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　因为cosα＝1－2sin2＝，而α为锐角，解得sin＝＝＝.故选D.
2．设0<θ<，若(sinθ＋cosθ)2＋cos2θ＝3，则sin2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　由题意(sinθ＋cosθ)2＋cos2θ＝3，则1＋2sinθcosθ＋cos2θ＝3，即sin2θ＋cos2θ＝2，故2sin＝2，即sin＝1，由于0<θ<，所以2θ＋∈，则2θ＋＝，即θ＝，故sin2θ＝sin＝.故选B.
3．已知tanα＝3，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　C
解析　cos＝－sin2α＝－2sinαcosα＝＝＝＝－.
4．已知θ∈，且sinθ－cosθ＝－，则＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　sinθ－cosθ＝－平方得1－sin2θ＝，∴sin2θ＝，∵θ∈，∴2θ∈，∴cos2θ＝＝，＝＝＝.故选D.
5．(2023·广东梅州统考一模)已知sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　由－2α＝π－2，可得cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－，即cos＝－.故选A.
6．若α∈，2cos2α＝sin，则sin2α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　A
解析　因为2cos2α＝sin，所以2(cos2α－sin2α)＝sincosα＋cossinα，所以2(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝(cosα＋sinα)，因为α∈，所以cosα＋sinα≠0，所以cosα－sinα＝，所以(cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝.故选A.
7．已知α∈，且sin＝，则cos＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　B
解析　∵2－＝，∴cos＝cos＝sin＝2sincos，∵α∈，∴α＋∈，则cos＝－＝－，∴2sincos＝2××＝－.故选B.
8．(2024·湖北襄阳五中模拟)若<θ<π，tanθ＝－3，则＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
答案　C
解析　因为<θ<π，tanθ＝－3，所以cosθ<0，sinθ>0，所以＝
＝
＝＝cos2θ－sin2θ
＝＝＝＝－.
故选C.
二、多项选择题
9．下列各式中与tanα相等的是(　　)
A． B．
C． D．
答案　BC
解析　对于A，＝＝tan≠tanα；对于B，＝＝tanα；对于C，＝＝tanα；对于D，＝＝≠tanα.故选BC.
10．若函数f(x)＝2cosx(cosx－sinx)，则(　　)
A．f(x)的最大值是4
B．f(x)的最小正周期是π
C．f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．f(x)在区间上单调递减
答案　BC
解析　f(x)＝2cos2x－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＋1＝cos＋1，∴f(x)的最大值为＋1，最小正周期为π，A错误，B正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，C正确；由y＝cosx在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，有kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，易知?(k∈Z)，D错误．故选BC.
三、填空题
11．已知sin＝，θ∈[0，π]，则cos2θ＝________．
答案　－
解析　由于sin＝，θ∈[0，π]，则θ＋∈，所以cos＝－＝－，cos2θ＝sin＝2sincos＝2××＝－.
12．(2024·广西桂林模拟)若sin＝，则sin＝________．
答案　
解析　令θ＝＋α，得α＝θ－，故sinθ＝，则sin＝sin＝sin＝cos2θ＝1－2sin2θ＝.
13．已知α，β均为锐角，cosα＝，sinβ＝，则cos2α＝________，2α－β＝________．
答案　　
解析　因为cosα＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sinβ＝，所以sinα＝，cosβ＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝，所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
14．若函数f(x)＝Asinx－cosx的一个零点为，则f＝________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝Asinx－cosx的一个零点为，∴f＝Asin－cos＝A－＝0，∴A＝，函数f(x)＝sinx－cosx＝2sin，∴f＝2sin＝2sin＝.
四、解答题
15．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．
解　(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin，因为x∈，则2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝时，f(x)取得最小值－1.
所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin，
又因为f(x0)＝，所以sin＝，
由x0∈，得2x0＋∈，
从而cos＝－＝－，
所以cos2x0＝cos＝coscos＋sinsin＝.
【B组 素养提升】
16．(多选)(2024·长沙模拟)已知0<β<α<，且sin(α－β)＝，tanα＝5tanβ，则(　　)
A．sinαcosβ＝ B．sinβcosα＝
C．sin2αsin2β＝ D．α＋β＝
答案　ABD
解析　由sin(α－β)＝ sinαcosβ－sinβcosα＝　①，由tanα＝5tanβ ＝ sinαcosβ＝5sinβcosα　②，由①②解得所以A，B正确；sin2αsin2β＝2sinαcosα×2sinβcosβ＝4××＝，所以C错误；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋sinβcosα＝，因为0<β<α<，所以α＋β∈，所以α＋β＝，所以D正确．故选ABD.
17．(多选)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．sin15°sin30°sin75°＝
C．＝
D．2sin18°cos36°＝
答案　BD
解析　对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝，所以A错误；对于B，sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cos15°＝sin15°cos15°＝sin30°＝，所以B正确；对于C，＝＝＝＝，所以C错误；对于D，2sin18°·cos36°＝2cos72°cos36°＝2××＝＝，所以D正确．故选BD.
18．(2024·江苏南京模拟)已知0<α<，cos＝.
(1)求sinα的值；
(2)若－<β<0，cos＝，求α－β的值．
解　(1)因为0<α<，所以<α＋<，又cos＝，所以sin＝＝，所以sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＝.
(2)因为cos＝，sinβ＝cos＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，
又－<β<0，所以cosβ＝＝，
由(1)知，cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
因为0<α<，－<β<0，
所以0<α－β<π，所以α－β＝.
19.(2023·重庆模拟)如图有一块半径为4，圆心角为的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点(不包括A，B)，点M，N分别在半径OA，OB上．
(1)若四边形PMON为矩形，求其面积的最大值；
(2)若△PBN和△PAM均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
解　(1)设∠POA＝x，
∴PM＝4sinx，OM＝4cosx，S四边形PMON＝PM·OM＝
16sinxcosx＝8sin2x≤8，
等号成立时x＝，
∴矩形的最大面积为8.
(2)BN＝OB－PM＝4－4sinx，AM＝OA－OM＝4－4cosx，
S△PBN＝BN·PN＝8cosx(1－sinx)，S△PAM＝AM·PM＝8sinx(1－cosx)，
∴S＝S△PBN＋S△PAM＝8(sinx＋cosx)－16sinxcosx，x∈，
令t＝sinx＋cosx＝sin，
∵x∈，
∴t∈(1，]，2sinxcosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1，
∴S＝8t－8(t2－1)＝－8t2＋8t＋8，
∴S∈[8－8，8)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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