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2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. (5分)已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2. (5分)已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3. (5分)下列命题为真命题的是(　　)
A. 若a>b>0,则 B. 若a>b>0,则
C. 若a4. (5分)已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. (5分)使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
6. (5分)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. (5分)若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. (5分)已知集合则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. (6分)下列命题为假命题的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
C. 若命题某班所有男生都爱踢足球，则某班至少有一个女生爱踢足球
D. “”是一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件
10. (6分)下列说法正确的是（ ）
A. 若都是正数，且，则的最小值是3
B. 若，则
C. 若，则的最小值为2
D. 已知，且，则
11. (6分)已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则的最小值为3
D. 若，，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. (5分)若，则的最小值为__________.
13. (5分)对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则__________.
14. (5分)设且，则的最小值为______．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)设集合，．
（1）若时，求；
（2）若，求m的取值范围．
17. (15分)已知不等式的解集为.
（1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
（2）解关于不等式：.
18. (17分)如图，居民小区要建一座八的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m 的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m ；在四个相同的矩形(图中阴影部分) 上铺花岗岩地坪，造价为210元/m ；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m .设总造价为S(单位:元),AD长为x(单位:m).当x为何值时，S最小 并求出这个最小值.
19．（17分）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
（1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. (5分)已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可得，，则，
所以
，
当且仅当，即时，取得等号.
故选：C.
2. (5分)已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】关于的不等式的解集是，
和是方程的两个实数根，且，
则，解得，
所以不等式等价于（），即，
解得：，
所以不等式的解集是.
故选：B.
3. (5分)下列命题为真命题的是(　　)
A. 若a>b>0,则 B. 若a>b>0,则
C. 若a【答案】B
【解析】
B成立;
对于C, ∴C不成立;
对于D, ∴D不成立.
4. (5分)已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】因为，
所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，
所以集合的个数为.
故选：C.
5. (5分)使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式成立的一个充分不必要条件是，
是的必要不充分条件，是的非充分非必要条件，
是的充分必要条件.
故选：A. 【难度】基础题
6. (5分)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
7. (5分)若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，
根据已知结合二次函数性质，作图，
则有，
解得.
故选：C.
8. (5分)已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，解得，即，
所以.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. (6分)下列命题为假命题的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “和都是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
C. 若命题某班所有男生都爱踢足球，则某班至少有一个女生爱踢足球
D. “”是一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴”的既不充分也不必要条件
【答案】BCD
【解析】时一定有成立，但时还可能有，A正确；
和都是无理数时可能是有理数，如，，
反之是无理数时，中也可能有有理数，
如，是无理数，但 是有理数，B错；
命题“某班所有男生都爱踢足球”的否定应是：某班存在男生不爱足球，C错；
一次函数“的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，
则，即，
反之也成立，故它们是互为充要条件，D错．
故选：BCD.
10. (6分)下列说法正确的是（ ）
A. 若都是正数，且，则的最小值是3
B. 若，则
C. 若，则的最小值为2
D. 已知，且，则
【答案】ABD
【解析】对于A，都是正数，且，故，
所以
，当且仅当，
即时等号成立，
所以，的最小值是，故A选项正确；
对于B，由得，所以，故B选项正确；
对于C，，则，故，
当且仅当，即时等号成立，显然无解，
故，C选项错误；
对于D，由，且得，所以，
故，即，故D选项正确.
故选：ABD.
11. (6分)已知正实数a，b满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则的最小值为3
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】因为，
对于A，当时，，则，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，则，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，当时，，则，
则
，
当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于C，当时，，解得（舍负），
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：ACD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. (5分)若，则的最小值为__________.
【答案】2
【解析】由，可得，
则两边同除以，得，
又因，
当且仅当，即或时等号成立，
所以.
故答案为：2.
13. (5分)对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则__________.
【答案】
【解析】由差集的定义，，，
则.
故答案为：.
14. (5分)设且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当即时等号成立，
故，故的最小值为.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (13分)设集合，．
（1）若时，求；
（2）若，求m的取值范围．
【答案】解：（1），，
.
（2），，
①当是空集时，，解得，
②当不是空集时，则，，
综上所述：或.
16. (15分)已知实数，均为正实数．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值．
【答案】解：（1）因为实数，均为正实数，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9.
（2）由题意得，解得或（舍去），
则，当且仅当时等号成立，
则的最小值为25.
17. (15分)已知不等式的解集为.
（1）若，且不等式有且仅有10个整数解，求的取值范围；
（2）解关于不等式：.
【答案】解：（1），原不等式等价于恒成立，
且的解集为，故方程的2个根为2，3，
故由韦达定理，
恒成立，
可得恒成立，所以，
解得，
，
故，
不等式有且仅有10个整数解，故，
所以的取值范围为.
（2）当时，由（1）得时，
，
即：，
①当时，原不等式解集为；
②当时，原不等式解集为；
③当时，原不等式解集为，
当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，
由韦达定理：恒成立，
解得，
，
该不等式解集为或，
当时，，则无解，
当时，，则，
综上：当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
18. (17分)如图，居民小区要建一座八的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m 的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200元/m ；在四个相同的矩形(图中阴影部分) 上铺花岗岩地坪，造价为210元/m ；再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m .设总造价为S(单位:元),AD长为x(单位:m).当x为何值时，S最小 并求出这个最小值.
【答案】解　设AM=y m,
则
从而
于是
当且仅当
即 舍去)时等号成立，由上可知，当AD为 时，休闲场所总造价S取最小值,为118 000元.
19．（17分）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
（1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．
【解析】（1）若，有，由，则，
满足，集合A是的恰当子集；
（2）是的恰当子集，则，
，由则或，
时，，此时，，满足题意；
时，，此时，，满足题意；
，或，.
（3）若存在A是的恰当子集，并且，
当时，，有，满足，
所以是的恰当子集，
当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或，
时，设，经检验没有这样的满足；
当时，设，经检验没有这样的满足，
因此不存在A是的恰当子集，并且，
所以存在A是的恰当子集，并且的n的最大值为10.
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