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1.4.2　充要条件
第一章 1.4　充分条件与必要条件
课标要求
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
引入
课时精练
一、充要条件
二、充要条件的证明
三、充要条件的应用
课堂达标
内容索引
充要条件
一
探究1 给出以下两个“若p，则q”形式的命题：
①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.
(1)你能判断这两个命题的真假吗？
提示　命题①是真命题，②是真命题.
(2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？
探究2 在上述探究1的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？
提示　p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p?q且q?p”(即p?q)，p是q的充要条件.
1.充要条件
知识梳理
命题真假 “若p，则q”为____命题；“若q，则p”为____命题
推出关系 p____q
条件关系 p既是q的______条件，也是q的______条件，我们说p是q的__________条件，简称为充要条件
真
真
?
充分
必要
充分必要
温馨提示
对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”.
(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件.
2.条件关系判定的常用结论
例1
角度1　条件关系的判断
(链接教材P21例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3.
(2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B.
(2)在△ABC中，大边对大角，故AB>AC?∠C>∠B，
则p是q的充要条件.
(3)p：A?B，q：A∪B＝B.
若A?B，则A∪B＝B，
反之若A∪B＝B，则A?B，
所以p是q的充要条件.
判定条件关系：(1)分清楚条件是什么，结论是什么；(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(或举反例)；(3)下结论.
思维升华
角度2　条件关系的探求
例2
(链接教材P22练习T2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5},B＝{x|3≤x≤22},则A?(A∩B)的充要条件为_____；一个充分不必要条件可为____________________.
a≤9
6≤a≤9(答案不唯一)
A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}.
综上可知，A?(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
探求充要条件的两种方法：
(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的.
(2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明.
思维升华
训练1
√
(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是
A.ab＝0 B.ab>0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
a2＋b2>0，则a，b不同时为零；
a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
√
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么
A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分又不必要条件
如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
充要条件的证明
二
例3
(链接教材P23T5)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长)
(1)必要性　由△ABC为等边三角形，得a＝b＝c，
所以a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
(2)充分性　由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，
得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，
则a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形.
根据(1)(2)知，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
思维升华
1.要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的.
3.证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
训练2
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.
综上知：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根的充要条件是ac<0.
充要条件的应用
三
例4
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，
迁移
本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
若p是q的充要条件，
思维升华
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
训练3
已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|1≤x≤a}?{x|1≤x≤2}，
所以1≤a<2.
所以当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件.
(2)当a为何值时，p是q的充要条件？
因为p是q的充要条件，
所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，所以a＝2.
所以当a＝2时，p是q的充要条件.
【课堂达标】
1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.
故“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
√
2.下列说法正确的是
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B.“x≥1”是“x2≥1”的充要条件
C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件
D.“1对于A，当c＝0时，满足ac＝bc，此时存在a≠b，故A错误.
对于B，x2≥1等价于x≥1或x≤－1，故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件，故B错误.
对于C，“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件，故C错误.
对于D，“13.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
m＝－2
4.已知“p：x>m＋3或x因为p是q成立的必要不充分条件，
{m|m≤－7或m≥1}
所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
【课时精练】
√
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形.
√
2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
又当0≤x≤2时，一定有x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
√
选项中只有x∈{－1，3，5}是使
√
4.等式|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是
A.ab＝0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0
|a＋b|＝|a|＋|b|?(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?ab＝|ab|?ab≥0.
√
5.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0由于{a|0故“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分不必要条件.
6.p：两个三角形的两组对应角相等，q：两个三角形相似，则p是q的________条件.
p?q，q?p，故p是q的充要条件.
充要
充要
－1
8.若“x≤－1或x≥1”是“x“x≤－1或x≥1”是“x则由“x但由“x≤－1或x≥1”推不出“x所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
9.指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
故p是q的充分不必要条件.
(2)三角形为等腰三角形?三角形存在两角相等，所以p是q的充要条件.
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件.
10.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
√
11.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是
对于A，因为当a2＝b2时，a2c2＝b2c2成立，
A.“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
√
而当c2＝0，a2c2＝b2c2时，a2＝b2不一定成立，所以“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充分不必要条件，故A错误.
对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误.
对于C，由a<3?a<5，∴“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确.
显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.
12.(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是
√
√
由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.
13.在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以存在a，a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
14.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由.
“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.
理由如下；
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，
即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有－根为－1”的充要条件.1.4.2　充要条件
课标要求　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
【引入】 上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
一、充要条件
探究1 给出以下两个“若p，则q”形式的命题：
①若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等.
②若m≤，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实数根.
(1)你能判断这两个命题的真假吗？
提示　命题①是真命题，②是真命题.
(2)你能写出它们的逆命题，并判断其真假吗？
提示　①逆命题：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，是真命题.②逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0有实数根，则m≤，是真命题.
探究2 在上述探究1的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？你能用数学语言概括出来吗？
提示　p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件.“p?q且q?p”(即p?q)，p是q的充要条件.
【知识梳理】
1.充要条件
命题真假 “若p，则q”为真命题；“若q，则p”为真命题
推出关系 p?q
条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件
温馨提示　对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”.
(2)p是q的充要条件，则q也是p的充要条件.
2.条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论
p?q，且qp p是q的充分不必要条件
q?p，且pq p是q的必要不充分条件
p?q，且q?p，即p?q p是q的充要条件
pq，且qp p是q的既不充分也不必要条件
角度1　条件关系的判断
例1 (链接教材P21例3)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
(1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3.
(2)p：在△ABC中，AB>AC，q：在△ABC中，∠C>∠B.
(3)p：A?B，q：A∪B＝B.
解　(1)当|x|＝|y|时，x＝±yx3＝y3，
但x3＝y3?x＝y?|x|＝|y|，
故p不是q的充要条件(p是q的必要不充分条件).
(2)在△ABC中，大边对大角，
故AB>AC?∠C>∠B，
则p是q的充要条件.
(3)若A?B，则A∪B＝B，
反之若A∪B＝B，则A?B，
所以p是q的充要条件.
思维升华　判定条件关系：(1)分清楚条件是什么，结论是什么；(2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(或举反例)；(3)下结论.
角度2　条件关系的探求
例2 (链接教材P22练习T2)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A?(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________.
答案　a≤9　6≤a≤9(答案不唯一)
解析　A?(A∩B)?A?B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝?，则2a＋1>3a－5，解得a<6；
若A≠?，则A?B??6≤a≤9.
综上可知，A?(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
思维升华　探求充要条件的两种方法：
(1)等价法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的.
(2)非等价法：先寻找必要条件，再找充分条件，从必要性和充分性两方面说明.
训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分又不必要条件
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；
a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
(2)如图所
示，∵甲是乙的必要条件，∴乙?甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙?乙，但乙丙.
综上，有丙?乙?甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
二、充要条件的证明
例3 (链接教材P23T5)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a，b，c是△ABC的三边边长)
证明　(1)必要性　由△ABC为等边三角形，
得a＝b＝c，
所以a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
(2)充分性　由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，
得2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，
则a＝b＝c，
所以△ABC是等边三角形.
根据(1)(2)知，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
思维升华　1.要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的.
3.证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
训练2 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，
∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0.
充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.
综上知：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根的充要条件是ac<0.
三、充要条件的应用
例4 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又因为m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0迁移 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解　若p是q的充要条件，
则m不存在.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
思维升华　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
训练3 已知p：1≤x≤a(a≥1)，q：1≤x≤2.
(1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
(2)当a为何值时，p是q的充要条件？
解　(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以{x|1≤x≤a}?{x|1≤x≤2}，
所以1≤a<2.
所以当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件.
(2)因为p是q的充要条件，
所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，所以a＝2.
所以当a＝2时，p是q的充要条件.
【课堂达标】
1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若x＝1，则x2－2x＋1＝0；
若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，则x＝1.
故“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.
2.下列说法正确的是(　　)
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
B.“x≥1”是“x2≥1”的充要条件
C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件
D.“1答案　D
解析　对于A，当c＝0时，满足ac＝bc，此时存在a≠b，故A错误.
对于B，x2≥1等价于x≥1或x≤－1，故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件，故B错误.
对于C，“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要不充分条件，故C错误.
对于D，“13.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.
答案　m＝－2
解析　函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2；
反之， 当m＝－2时，则函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称.
4.已知“p：x>m＋3或x答案　{m|m≤－7或m≥1}
解析　因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
一、基础巩固
1.设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　a2＋b2＝c2?△ABC为直角三角形.
2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
又当0≤x≤2时，一定有x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.
3.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3
答案　C
解析　选项中只有x∈{－1，3，5}是使
“x∈”成立的一个充分不必要条件.
4.等式|a＋b|＝|a|＋|b|成立的充要条件是(　　)
A.ab＝0 B.ab<0
C.ab≥0 D.ab≤0
答案　C
解析　|a＋b|＝|a|＋|b|?(a＋b)2＝(|a|＋|b|)2?a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2?ab＝|ab|?ab≥0.
5.“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，则Δ＝4a2－4a<0，解得0由于{a|0故“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分不必要条件.
6.p：两个三角形的两组对应角相等，q：两个三角形相似，则p是q的________条件.
答案　充要
解析　p?q，q?p，故p是q的充要条件.
7.“x＝3或x＝4”是“x－3＝”的________条件.
答案　充要
解析　由x－3＝，得x＝3或x＝4.
显然x＝3或x＝4时，x－3＝，
故“x＝3或x＝4”是“x－3＝”的充要条件.
8.若“x≤－1或x≥1”是“x答案　－1
解析　“x≤－1或x≥1”是“x则由“x但由“x≤－1或x≥1”推不出“x所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
9.指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，
故p是q的充分不必要条件.
(2)三角形为等腰三角形?三角形存在两角相等，所以p是q的充要条件.
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件.
10.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
二、综合运用
11.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是(　　)
A.“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
答案　CD
解析　对于A，因为当a2＝b2时，a2c2＝b2c2成立，
而当c2＝0，a2c2＝b2c2时，a2＝b2不一定成立，所以“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充分不必要条件，故A错误.
对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误.
对于C，由a<3?a<5，∴“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确.
显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.
12.(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
答案　BD
解析　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.
13.在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
解　由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以存在a，a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
三、创新拓展
14.已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由.
解　“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.
理由如下；
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，
即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有－根为－1”的充要条件.1.4.2　充要条件
课标要求　通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
【引入】 上节课,我们学习了充分条件与必要条件,让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构,其实在我们数学上,也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧!
一、充要条件
探究1 给出以下两个“若p,则q”形式的命题:
①若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.
②若m≤,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根.
(1)你能判断这两个命题的真假吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)你能写出它们的逆命题,并判断其真假吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 在上述探究1的两个命题中,p是q的什么条件 q是p的什么条件 你能用数学语言概括出来吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.充要条件
命题真假 “若p,则q”为　　　　命题;“若q,则p”为　　　　命题
推出关系 p　　　　q
条件关系 p既是q的　　　　条件,也是q的　　　　条件,我们说p是q的　　　　　　条件,简称为充要条件
温馨提示　对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
2.条件关系判定的常用结论
条件p与结论q的关系 结论
p q,且q /p p是q的充分不必要条件
q p,且p /q p是q的必要不充分条件
p q,且q p,即p q p是q的充要条件
p /q,且q /p p是q的既不充分也不必要条件
角度1　条件关系的判断
例1 (链接教材P21例3)判断下列各题中,p是否为q的充要条件
(1)p:|x|=|y|,q:x3=y3.
(2)p:在△ABC中,AB>AC,q:在△ABC中,∠C>∠B.
(3)p:A B,q:A∪B=B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判定条件关系:(1)分清楚条件是什么,结论是什么;(2)尝试用条件推结论,或用结论推条件(或举反例);(3)下结论.
角度2　条件关系的探求
例2 (链接教材P22练习T2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A (A∩B)的充要条件为　　　　;一个充分不必要条件可为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　探求充要条件的两种方法:
(1)等价法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的.
(2)非等价法:先寻找必要条件,再找充分条件,从必要性和充分性两方面说明.
训练1 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 (　　)
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
(2)如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 (　　)
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙是甲的既不充分又不必要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、充要条件的证明
例3 (链接教材P23T5)求证:△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.(这里a,b,c是△ABC的三边边长)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的.
3.证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
训练2 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、充要条件的应用
例4 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
训练3 已知p:1≤x≤a(a≥1),q:1≤x≤2.
(1)当a为何值时,p是q的充分不必要条件
(2)当a为何值时,p是q的充要条件
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 (　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.下列说法正确的是 (　　)
A.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
B.“x≥1”是“x2≥1”的充要条件
C.“四边形对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的充要条件
D.“13.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.
4.已知“p:x>m+3或x(分值:100分)
单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,则“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的 (　　)
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
2.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的 (　　)
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
3.使“x∈”成立的一个充分不必要条件是 (　　)
x≥0 x<0或x>2
x∈{-1,3,5} x≤-或x≥3
4.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 (　　)
ab=0 ab<0
ab≥0 ab≤0
5.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的 (　　)
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
6.p:两个三角形的两组对应角相等,q:两个三角形相似,则p是q的　　　　条件.
7.“x=3或x=4”是“x-3=”的　　　　条件.
8.若“x≤-1或x≥1”是“x9.(10分)指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0;
(2)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等;
(3)p:a>b,q:a+c>b+c.
10.(10分)求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.
二、综合运用
11.(多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是 (　　)
“a2=b2”是“a2c2=b2c2”的充要条件
“a>b”是“a2>b2”的充分条件
“a<5”是“a<3”的必要条件
“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
12.(多选)设计如图所示的四个电路图,若p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是 (　　)
A B
C D
13.(13分)在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由.
问题:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的　　　　
三、创新拓展
14.(15分)已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件 并说明理由.
1.C　[a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形.]
2.B　[由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，
又当0≤x≤2时，一定有x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件.]
3.C　[选项中只有x∈{－1，3，5}是使
“x∈”成立的一个充分不必要条件.]
4.C　[|a＋b|＝|a|＋|b| (a＋b)2＝(|a|＋|b|)2 a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2 ab＝|ab| ab≥0.]
5.A　[函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，
则Δ＝4a2－4a<0，解得0由于{a|0故“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分不必要条件.]
6.充要　[p q，q p，故p是q的充要条件.]
7.充要　[由x－3＝，得x＝3或x＝4.
显然x＝3或x＝4时，x－3＝，
故“x＝3或x＝4”是“x－3＝”的充要条件.]
8.－1　[“x≤－1或x≥1”是“x则由“x但由“x≤－1或x≥1”推不出“x所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.]
9.解　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，
故p是q的充分不必要条件.
(2)三角形为等腰三角形 三角形存在两角相等，所以p是q的充要条件.
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要条件.
10.证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.
11.CD　[对于A，因为当a2＝b2时，a2c2＝b2c2成立，而当c2＝0，a2c2＝b2c2时，a2＝b2不一定成立，所以“a2＝b2”是“a2c2＝b2c2”的充分不必要条件，故A错误.
对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误.
对于C，由a<3 a<5，∴“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确.
显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.]
12.BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；
电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；
电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；
电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.]
13.解　由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以存在a，a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
14.解　“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件.
理由如下；
当a，b，c∈R，a≠0时，
若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，
即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，
若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，
则“a－b＋c＝0”，
故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有－根为－1”的充要条件.

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