资源简介

(共46张PPT)
第一章 1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
课标要求
1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演，这1 000名学生符合下列条件：
引入
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(1)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线.
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”， 这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
课时精练
一、全称量词与全称量词命题
二、存在量词与存在量词命题
三、依据含量词命题的真假求参数范围
课堂达标
内容索引
全称量词与全称量词命题
一
探究1 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
探究2 对于上述探究1中的(3)，(4)，你能判定它们的真假吗？
提示　(3)中，取x＝2，不满足x>3，命题(3)是假命题.
(4)中，任意x∈Z，则2x为整数，所以2x＋1是整数，(4)为真命题.
1.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“____”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
知识梳理
全称量词
?
2.全称量词命题：含有__________的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为____________________.
全称量词
?x∈M，p(x)
温馨提示
(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
例1
下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假.
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)?x∈R，x2>0；
(3)矩形的对角线相等.
(1)是，省略全称量词“任意一个”，真命题.
(2)是，全称量词“?”，假命题.
(3)是，省略全称量词“任意一个”，真命题.
判断一个语句是全称量词命题以及真假的思路
1.判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别.
2.判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立.
思维升华
(链接教材P27例1)判断下列全称量词命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)?x∈R，|x|＋1≥1；
(3)对任意Rt△ABC的两锐角A，B都有sin A＝cosB.
训练1
(1)2是素数，但2不是奇数，假命题.
(2)?x∈R，|x|≥0，则|x|＋1≥1.
所以全称量词命题“?x∈R，|x|＋1≥1”是真命题.
(3)设Rt△ABC的角A，B，C的对边为a，b，c，
存在量词与存在量词命题
二
探究3 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)2x＋1＝3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.
提示　容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.
探究4 对于上述探究3中的语句(3)(4)，你能判断它们的真假吗？
提示　(3)是真命题，(4)是真命题.
知识梳理
存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 ____
存在量词命题 含有__________的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为
“________________”
?
存在量词
?x∈M，p(x)
例2
(链接教材P28例2)下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存在量词，并判断其真假.
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0；
是，存在量词是“存在一个”.
因为存在一个实数对(－1，－2)，使得2×(－1)＋3×(－2)＋3<0，
所以存在量词命题“存在一个实数对(x，y)，
使2x＋3y＋3<0”是真命题.
(2)?x∈R，(2x－3)2≥0；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除.
(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0.
(2)是，存在量词是“?”.
因为?x∈R，(2x－3)2≥0，所以存在量词命题“?x∈R，(2x－3)2≥0”是真命题.
(3)是，存在量词是“有些”.
因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，
所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题.
(4)是，存在量词是“有一个”.
由于Δ＝4－4×4<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实根，假命题.
思维升华
1.判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别.
2.要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)有一些二次函数的图象过原点；
训练2
(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.
如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(3)任何实数都有算术平方根.
该命题是全称量词命题.
依据含量词命题的真假求参数范围
三
例3
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?，若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
解得2≤m≤3.
故m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
迁移
把本例中命题p改为“?x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
p为真，则A∩B≠?，因为B≠?，所以m≥2.
思维升华
依据含量词命题的真假求参数取值范围：
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
训练3
若命题“?x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
∵命题“?x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
∴实数a的取值范围是{a|a≤4}.
【课堂达标】
1.下列命题中形式不同于其他三个的是
A.?x∈Z，x2－9C.每一个正数的倒数都大于0 D.?x<2，x－3<0
√
ACD均为全称量词命题，B为存在量词命题.
√
2.(多选)下列命题中是假命题的是
A.?x∈Z，1<4x<3 B.?x∈Z，2x2－3x＋1＝0
C.?x∈R，x2－1＝0 D.?x∈R，x2＋2x＋2>0
√
3.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成存在量词命题为_______________________.
存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”.
?x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
4.已知命题p：?x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________.
由p为真命题，知a≤x.
{a|a≤1}
又1≤x≤3，因此a≤1.
【课时精练】
√
1.(多选)下列命题是全称量词命题的是
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D.?x∈R，x2＋1＝0
选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题.
√
选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题.
√
2.下列命题中存在量词命题的个数是
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；
④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
命题①含有存在量词；
命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；
命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；
而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
√
3.下列全称量词命题中真命题的个数为
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2 C.3 D.4
①②③为真命题.
√
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
①为真命题；
对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；
对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；
④为真命题.
√
5.(多选)命题p：存在实数x∈R，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为
A.{3，4，5} B.{x|x>2}
C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}
因为中位数为3，所以x≥3，
√
√
因此选项A，C，D均满足要求.
6.给出下列三个命题：
①?x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
②省略了量词“所有的”.
①②
7.给出下列命题：
(1)?x∈R，x2>0；
(2)?x∈R，x＋1≤0；
(3)?a∈( RQ)，b∈( R Q)，使得a＋b∈Q.
其中真命题的个数为________.
(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；
2
8.已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________.
依题意，方程x2＋2x－a＝0无实根，
{a|a<－1}
∴Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)?x∈N，2x＋1是奇数；
(1)是全称量词命题.
10.已知命题“?－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，
√
11.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是
A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；
12.已知命题p：?x∈{x|1≤x≤2}，x2＋1≥a，命题q：?x∈{x|－1≤x≤1}，使得2x＋a－1>0成立.若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为__________.
当p是真命题时，a≤(x2＋1)min，
{a|a≤－1}
又1≤x≤2，知a≤2.
当q为真命题时，则a>(1－2x)min，
由于－1≤x≤1，知a>－1.
13.设语句q(x)：|x－1|＝1－x.
(1)写出q(1)，q(2)，并判断它们是不是真命题；
(2)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题；
(3)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题.
(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题.
q(2)：|2－1|＝1－2，因为|2－1|＝1，1－2＝－1,所以|2－1|≠1－2,假命题.
(2)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(2)为假命题，
所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为假命题.
(3)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(1)为真命题，
所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题.
14.若?x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，
所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，
即m2＋4a＋4≥0恒成立.
设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
课标要求　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.
2.理解存在量词、存在量词命题的定义.
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.
【引入】 学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演，这1 000名学生符合下列条件：
(1)所有学生都来自高二年级；
(2)至少有30名学生来自高二(1)班；
(3)每一个学生都有固定表演路线.
上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”， 这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？
一、全称量词与全称量词命题
探究1 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)x>3；
(2)2x＋1是整数；
(3)对所有的x∈R，x>3；
(4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
提示　语句(1)(2)中含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
探究2 对于上述探究1中的(3)，(4)，你能判定它们的真假吗？
提示　(3)中，取x＝2，不满足x>3，命题(3)是假命题.
(4)中，任意x∈Z，则2x为整数，所以2x＋1是整数，(4)为真命题.
【知识梳理】
1.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
2.全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x).
温馨提示　(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.
例1 下列命题是否为全称量词命题？若是，请指出全称量词，并判断其真假.
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)?x∈R，x2>0；
(3)矩形的对角线相等.
解　(1)是，省略全称量词“任意一个”，真命题.
(2)是，全称量词“?”，假命题.
(3)是，省略全称量词“任意一个”，真命题.
思维升华　判断一个语句是全称量词命题以及真假的思路
1.判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别.
2.判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立.
训练1 (链接教材P27例1)判断下列全称量词命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；
(2)?x∈R，|x|＋1≥1；
(3)对任意Rt△ABC的两锐角A，B都有sin A＝cosB.
解　(1)2是素数，但2不是奇数，假命题.
(2)?x∈R，|x|≥0，则|x|＋1≥1.
所以全称量词命题“?x∈R，|x|＋1≥1”是真命题.
(3)设Rt△ABC的角A，B，C的对边为a，b，c，
则sin A＝，cos B＝，所以sin A＝cos B.
故全称量词命题(3)是真命题.
二、存在量词与存在量词命题
探究3 下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)2x＋1＝3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.
提示　容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此(3)(4)是命题.
探究4 对于上述探究3中的语句(3)(4)，你能判断它们的真假吗？
提示　(3)是真命题，(4)是真命题.
【知识梳理】
存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 ?
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
例2 (链接教材P28例2)下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存在量词，并判断其真假.
(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0；
(2)?x∈R，(2x－3)2≥0；
(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除.
(4)有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0.
解　(1)是，存在量词是“存在一个”.
因为存在一个实数对(－1，－2)，使得2×(－1)＋3×(－2)＋3<0，
所以存在量词命题“存在一个实数对(x，y)，
使2x＋3y＋3<0”是真命题.
(2)是，存在量词是“?”.
因为?x∈R，(2x－3)2≥0，所以存在量词命题“?x∈R，(2x－3)2≥0”是真命题.
(3)是，存在量词是“有些”.
因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，
所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题.
(4)是，存在量词是“有一个”.
由于Δ＝4－4×4<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实根，假命题.
思维升华　1.判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别.
2.要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)有一些二次函数的图象过原点；
(2)?x∈R，2x2＋x＋1<0；
(3)任何实数都有算术平方根.
解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.
如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
∵2x2＋x＋1＝2＋≥>0，
∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.
故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.
取x＝－1∈R，但无意义，故该命题是假命题.
三、依据含量词命题的真假求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?，若命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
解　由于命题p：“?x∈B，x∈A”是真命题，
所以B?A，又B≠?，所以
解得2≤m≤3.
故m的取值范围为{m|2≤m≤3}.
迁移 把本例中命题p改为“?x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
解　p为真，则A∩B≠?，因为B≠?，所以m≥2.
所以或
解得2≤m≤4.
故实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}.
思维升华　依据含量词命题的真假求参数取值范围：
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
训练3 若命题“?x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
解　∵命题“?x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
∴实数a的取值范围是{a|a≤4}.
【课堂达标】
1.下列命题中形式不同于其他三个的是(　　)
A.?x∈Z，x2－9B.?x∈R，x2－2x＋1≠0
C.每一个正数的倒数都大于0
D.?x<2，x－3<0
答案　B
解析　ACD均为全称量词命题，B为存在量词命题.
2.(多选)下列命题中是假命题的是(　　)
A.?x∈Z，1<4x<3
B.?x∈Z，2x2－3x＋1＝0
C.?x∈R，x2－1＝0
D.?x∈R，x2＋2x＋2>0
答案　AC
解析　由1<4x<3，得由2x2－3x＋1＝0得x＝或x＝1，故B为真命题；
由x2－1＝0得x＝±1，故C为假命题；
由x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故D为真命题.
3.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“?”写成存在量词命题为________.
答案　?x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为
“?x∈M，p(x)”.
4.已知命题p：?x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________.
答案　{a|a≤1}
解析　由p为真命题，知a≤x.
又1≤x≤3，因此a≤1.
一、基础巩固
1.(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　)
A.任意一个自然数都是正整数
B.有的菱形是正方形
C.梯形有两边平行
D.?x∈R，x2＋1＝0
答案　AC
解析　选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题.
选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题.
2.下列命题中存在量词命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.
A.0 B.1
C.2 D.3
答案　B
解析　命题①含有存在量词；
命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；
命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；
而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.
3.下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)
①对于任意实数x，都有x＋2>x；
②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立；
③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　①②③为真命题.
4.下列四个命题：
①一切实数均有相反数；②?a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形.
其中，真命题的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　①为真命题；
对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；
对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；
④为真命题.
5.(多选)命题p：存在实数x∈R，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　)
A.{3，4，5} B.{x|x>2}
C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}
答案　ACD
解析　因为中位数为3，所以x≥3，
因此选项A，C，D均满足要求.
6.给出下列三个命题：
①?x∈R，x2＋1≠0；②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1.
其中全称量词命题是________(填序号).
答案　①②
解析　②省略了量词“所有的”.
7.给出下列命题：
(1)?x∈R，x2>0；
(2)?x∈R，x＋1≤0；
(3)?a∈( RQ)，b∈( R Q)，使得a＋b∈Q.
其中真命题的个数为________.
答案　2
解析　(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；
(2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，是真命题；
(3)当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题.
8.已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________.
答案　{a|a<－1}
解析　依题意，方程x2＋2x－a＝0无实根，
∴Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
(1)?x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0.
解　(1)是全称量词命题.
因为?x∈N，2x＋1都是奇数，
所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.
因为不存在x∈R，使＝0成立，
所以该命题是假命题.
10.已知命题“?－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围.
解　由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，
∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，
∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤，
故实数a的取值范围是.
二、综合运用
11.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案　B
解析　A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；
B中，x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
C中，由于＋(－)＝0，知C为假命题；
D中，对?x<0, 都有<0，知D为假命题.
12.已知命题p：?x∈{x|1≤x≤2}，x2＋1≥a，命题q：?x∈{x|－1≤x≤1}，使得2x＋a－1>0成立.若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为________.
答案　{a|a≤－1}
解析　当p是真命题时，a≤(x2＋1)min，
又1≤x≤2，知a≤2.
当q为真命题时，则a>(1－2x)min，
由于－1≤x≤1，知a>－1.
故当p真q假时，有得a≤－1.
13.设语句q(x)：|x－1|＝1－x.
(1)写出q(1)，q(2)，并判断它们是不是真命题；
(2)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题；
(3)写出“?a∈R，q(a)”，并判断它是不是真命题.
解　(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题.
q(2)：|2－1|＝1－2，因为|2－1|＝1，1－2＝－1，所以|2－1|≠1－2，假命题.
(2)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(2)为假命题，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为假命题.
(3)?a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(1)为真命题，所以“?a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题.
三、创新拓展
14.若?x∈R，函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
解　因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，
所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，
即m2＋4a＋4≥0恒成立.
设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.1.5　全称量词与存在量词
1.5.1　全称量词与存在量词
课标要求　1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.
【引入】 学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演,这1 000名学生符合下列条件:
(1)所有学生都来自高二年级;
(2)至少有30名学生来自高二(1)班;
(3)每一个学生都有固定表演路线.
上述条件中包含以下短语:“所有”“至少有”和“每一个”, 这些短语在逻辑上称为什么 含有这些短语的命题称作什么命题
一、全称量词与全称量词命题
探究1 下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)x>3;
(2)2x+1是整数;
(3)对所有的x∈R,x>3;
(4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2 对于上述探究1中的(3),(4),你能判定它们的真假吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做　　　　　　,并用符号“　　　　”表示.
(2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
2.全称量词命题:含有　　　　　　的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为　　　　　　.
温馨提示　(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.
(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.
例1 下列命题是否为全称量词命题 若是,请指出全称量词,并判断其真假.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2) x∈R,x2>0;
(3)矩形的对角线相等.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断一个语句是全称量词命题以及真假的思路
1.判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的,任意一个,一切”等表示全体的量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别.
2.判断真假时用直接法或间接法,直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立,间接法就是找到一个元素使结论不成立.
训练1 (链接教材P27例1)判断下列全称量词命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数;
(2) x∈R,|x|+1≥1;
(3)对任意Rt△ABC的两锐角A,B都有sin A=cos B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、存在量词与存在量词命题
探究3 下列语句是命题吗 比较(1)和(3),(2)和(4),它们之间有什么关系
(1)2x+1=3;
(2)x能被2和3整除;
(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;
(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究4 对于上述探究3中的语句(3)(4),你能判断它们的真假吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 　　　　　　　
存在量词命题 含有　　　　　　　　的命题
形式 “存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“　　　　　　　　”
例2 (链接教材P28例2)下列命题是否为存在量词命题 若是,请指出存在量词,并判断其真假.
(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0;
(2) x∈R,(2x-3)2≥0;
(3)有些整数既能被2整除,又能被3整除.
(4)有一个实数x,使x2+2x+4=0.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有表示部分的量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别.
2.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.
训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1)有一些二次函数的图象过原点;
(2) x∈R,2x2+x+1<0;
(3)任何实数都有算术平方根.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、依据含量词命题的真假求参数范围
例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠ ,若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移 把本例中命题p改为“ x∈A,x∈B”,求m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　依据含量词命题的真假求参数取值范围:
(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.
(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
训练3 若命题“ x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.下列命题中形式不同于其他三个的是 (　　)
A. x∈Z,x2-9B. x∈R,x2-2x+1≠0
C.每一个正数的倒数都大于0
D. x<2,x-3<0
2.(多选)下列命题中是假命题的是 (　　)
A. x∈Z,1<4x<3
B. x∈Z,2x2-3x+1=0
C. x∈R,x2-1=0
D. x∈R,x2+2x+2>0
3.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为　　　　.
4.已知命题p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 第一章　课时精练9　全称量词与存在量词
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　　)
任意一个自然数都是正整数
有的菱形是正方形
梯形有两边平行
x∈R,x2+1=0
2.下列命题中存在量词命题的个数是 (　　)
①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|x|≥0.
0 1
2 3
3.下列全称量词命题中真命题的个数为 (　　)
①对于任意实数x,都有x+2>x;
②对任意的实数a,b,都有若|a|>|b|,则a2>b2成立;
③二次函数y=x2-ax-1与x轴恒有交点;
④ x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
1 2
3 4
4.下列四个命题:
①一切实数均有相反数;
② a∈N,使得方程ax+1=0无实数根;
③梯形的对角线相等;
④有些三角形不是等腰三角形.
其中,真命题的个数为 (　　)
1 2
3 4
5.(多选)命题p:存在实数x∈R,使得数据1,2,3,x,6的中位数为3.若命题p为真命题,则实数x的取值集合可以为 (　　)
{3,4,5} {x|x>2}
{x|x≥3} {x|3≤x≤6}
6.给出下列三个命题:
① x∈R,x2+1≠0;②矩形都不是梯形;
③ x,y∈R,x2+y2≤1.
其中全称量词命题是　　　　(填序号).
7.给出下列命题:
(1) x∈R,x2>0;
(2) x∈R,x+1≤0;
(3) a∈( RQ),b∈( RQ),使得a+b∈Q.
其中真命题的个数为　　　　.
8.已知命题p: x∈R,x2+2x-a=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1) x∈N,2x+1是奇数;
(2)存在一个x∈R,使=0.
10.(10分)已知命题“ -3≤x≤2,3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
二、综合运用
11.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 (　　)
锐角三角形的内角是锐角或钝角
至少有一个实数x,使x2≤0
两个无理数的和必是无理数
存在一个负数x,使>2
12.已知命题p: x∈{x|1≤x≤2},x2+1≥a,命题q: x∈{x|-1≤x≤1},使得2x+a-1>0成立.若p是真命题,q是假命题,则实数a的取值范围为　　　　.
13.(13分)设语句q(x):|x-1|=1-x.
(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;
(2)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;
(3)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.
三、创新拓展
14.(15分)若 x∈R,函数y=x2+mx-1-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.
1.AC　[选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题.选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题.]
2.B　[命题①含有存在量词；
命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；
命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；
而命题④是全称量词命题.故有一个存在量词命题.]
3.C　[①②③为真命题.]
4.C　[①为真命题；
对于②，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；
对于③，等腰梯形的对角线相等，故③错误；
④为真命题.]
5.ACD　[因为中位数为3，所以x≥3，
因此选项A，C，D均满足要求.]
6.①②　[②省略了量词“所有的”.]
7.2　[(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题；
(2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，是真命题；
(3)当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题.]
8.{a|a<－1}　[依题意，方程x2＋2x－a＝0无实根，∴Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.]
9.解　(1)是全称量词命题.
因为 x∈N，2x＋1都是奇数，
所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.
因为不存在x∈R，使＝0成立，
所以该命题是假命题.
10.解　由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，
∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3，
∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤，
故实数a的取值范围是.
11.B　[A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；
B中，x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
C中，由于＋(－)＝0，知C为假命题；
D中，对 x<0, 都有<0，知D为假命题.]
12.{a|a≤－1}　[当p是真命题时，
a≤(x2＋1)min，又1≤x≤2，知a≤2.
当q为真命题时，则a>(1－2x)min，
由于－1≤x≤1，知a>－1.
故当p真q假时，有得a≤－1.]
13.解　(1)q(1)：|1－1|＝1－1，真命题.
q(2)：|2－1|＝1－2，因为|2－1|＝1，1－2＝－1，所以|2－1|≠1－2，假命题.
(2) a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(2)为假命题，所以“ a∈R，|a－1|＝1－a”为假命题.
(3) a∈R，|a－1|＝1－a，由(1)知，q(1)为真命题，所以“ a∈R，|a－1|＝1－a”为真命题.
14.解　因为函数y＝x2＋mx－1－a的图象和x轴恒有公共点，
所以Δ＝m2＋4(1＋a)≥0恒成立，
即m2＋4a＋4≥0恒成立.
设y1＝m2＋4a＋4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1＝02－4(4a＋4)≤0，可得a≥－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥－1}.

展开更多......

收起↑