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第一章 1.1　集合的概念
第一课时　集合的含义
课标要求
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
我校2024级高一新生入学军训的时候，随着教官一声口令“高一(1)班集合”，高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近，不是高一(1)班的同学会自动走开，这里的“集合”是一个动词，但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象(高一(1)班各位同学)聚集在一起了”，这就是本节课研究的数学重要概念——集合.
引入
课时精练
一、元素与集合的概念
二、集合中元素的特征
三、元素和集合之间的关系
课堂达标
内容索引
元素与集合的概念
一
探究1 阅读下面的例子，并回答提出的问题：
(2)哪个语句中的对象不确定？为什么？
提示　③中的对象不确定，因为“性格开朗”没有明确的划分标准，其他①、②、④中的对象均是确定的.
(3)上述问题实例中的①、②、④有什么共同的特点？
提示　三个实例中均指“所有的”，即某种研究对象的全体.
1.元素：一般地，我们把研究______统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
2.集合：把一些元素组成的______叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
知识梳理
对象
总体
温馨提示
通过探究1的问题(2)可知构成集合中的一组对象必须是明确的，即须有明确的判断标准.
例1
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合，方程只有两个实根3和－3；
(3)“高科技”无明确的标准，对于一个产品是不是高科技产品无法客观判断.因此不能构成一个集合；
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
思维升华
训练1 (多选) (链接教材P5练习T1)下列所给对象能构成集合的是
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.著名的艺术大师
D.某校高一年级的16岁以下的学生
训练1
√
√
A，D能构成集合，二者有确定的判断标准.
A中元素是“到原点的距离等于1的点”，D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.
B，D项的对象不能构成集合，因为“难题”与“著名”标准不明确.
集合中元素的特征
二
探究2 英文单词good的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？
提示　能.因为集合中的元素是确定的；三个元素.因为集合中的元素是互不相同的.
探究3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？
提示　两集合相等.集合中的元素没有先后顺序(无序的).
知识梳理
1.集合中元素的特征：________、互异性与________.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是________，则称两个集合相等.
确定性
无序性
一样的
温馨提示
集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，相同的元素在同一集合中只能出现一次.
例2
(1)已知集合A含有两个元素1和a2，若a是集合A中的元素，则实数a＝________.
依题意a＝1或a＝a2，
0
当a＝1时，a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，
所以a≠1，因此a＝a2，
所以a＝0或a＝1(舍去)，综上可知，实数a＝0.
由A＝B的意义及a≠0，
1
迁移1
若例题(1)中题目的条件变为：集合A中含有两个元素a和a2，试求实数a的取值范围.
依据集合元素的互异性，a≠a2，
所以a≠0且a≠1.
迁移2
若例题(1)中题目的条件变为：集合A中含有两个元素a和a2，若元素1是A中的元素，则a＝________.
－1
依题意a＝1或a2＝1，
若a＝1，则a2＝1，与元素的互异性矛盾，
∴a≠1，从而a2＝1，得a＝－1，
此时，集合A中有两个元素－1和1满足题意.
综上可知a＝－1.
思维升华
1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点：(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值；(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
2.若两个集合相等，则两集合的元素相同，但元素不一定按顺序对应相等.
已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P的元素，则实数a
的值为________.
训练2
依题意2a＋1＝0或a2－1＝0，
元素和集合之间的关系
三
探究4 如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？
提示　是男生就去，不是男生就不去.
探究5 非负整数集与正整数集有何区别？
提示　非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0.
知识梳理
1.元素和集合之间的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 ________ a不属于集合A
a∈A
a A
2.常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ N*或N＋ ____ ____ ____
N
Z
Q
R
温馨提示
符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向.
例3
(1)(多选)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是
√
√
∈
∈
思维升华
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现.
(2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
训练3
(1)(链接教材P5练习T2)下列结论中，不正确的是
A.若a∈N，则－a N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈R，则a3∈R
当a＝0时，a∈N，且－a∈N，知A不正确.显然选项B，C，D正确.
√
已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则实数a的取值范围为____________.
因为1 A，2∈A，
－4【课堂达标】
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有
A.某一天到商场买过商品的顾客 B.小于0的实数
C.(2 024，1)与(1，2 024) D.中国卓越的数学家
√
A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；
√
√
B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；
C中(2 024，1)与(1，2 024)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D中中国卓越的数学家对象不具备确定性，不能构成一个集合.
√
2.下列元素与集合的关系判断正确的是
∵N，Z，Q，R分别是自然数集、整数集、有理数集、实数集，
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
3.方程x2－1＝0和x2－x＝0的实数根组成的集合中元素的个数为________.
方程x2－1＝0的实根为－1，1，
方程x2－x＝0的实根为0，1，
由于集合中的元素具有互异性，
故集合中的元素为－1，0，1，共3个.
3
4.已知集合A中有两个元素a2和a－1，集合B中有两个元素0和－1，若A＝B，则a＝________.
由于A＝B，且a2≥0，
0
【课时精练】
√
1.(多选)给出下列说法，其中正确的有
A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.
A.中国的所有直辖市可以构成一个集合
B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合
C.正偶数的全体可以构成一个集合
D.大于2 024且小于2 030的所有整数不能构成集合
√
B中高一(1)班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.
D中的元素能构成集合，D错误.
√
√
3.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是
由于A中P，Q的元素完全相同，
所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，
所以P与Q不能表示同一个集合.
√
4.(多选)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是
由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，
A.1 B.－2 C.－1 D.2
√
√
解得a≠±2，且a≠1，
所以a的取值不可能是1，2与－2.
√
5.下列说法中正确的是
N中最小的数为0，所以A错；
A.集合N中最小的数为1
B.若－a∈R，则a∈R
C.若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2
D.所有小的正数组成一个集合
易知B对；
若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以C错；
“小”的正数没有明确的标准，所以D错.
6.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－2x－3＝0的根为元素的集合中共有________个元素.
方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，
3
方程x2－2x－3＝0的根是－1，3.
根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.
7.设集合A是关于x的不等式3x－m－1<0的解集，若1∈A，则实数m的取值范围是________.
m>2
1
8.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝______；y＝______.
0
9.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合.
(1)0是否是集合A中的元素？
将x＝0代入方程，则02－0－5≠0，
所以0不是集合A中的元素.
(2)若－5∈A，求实数a的值.
若－5∈A，则(－5)2＋5a－5＝0，
所以5a＝－20，则a＝－4.
10.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
由集合中元素的互异性可得x≠3，
(2)若－2∈A，求实数x的值.
若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，
所以x＝－2.
经检验，知x＝－2时三个元素符合互异性.
故x＝－2.
√
11.下列说法中正确的是
A.与定点A，B等距离的点不能构成集合
B.由title中的字母构成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等边三角形
D.高中学生中的游泳能手能构成集合
A项中，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，可以构成集合，因此选项A错误；
B项中，由title中字母构成的集合的元素有4个，B错误；
C项中，由集合互异性可知，a，b，c互不相等，故△ABC不是等边三角形，故C正确；
D项中，“游泳能手”不具有确定性，不能构成集合，D错误.
12.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是
√
集合A中的元素为y，是数集，
A.2∈A，且2∈B B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B D.(3，10)∈A，且2∈B
又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，
且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B.
13.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________；b＝________.
因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，
－3
2
所以1∈B，2∈B，
(2)证明集合A不可能是单元素集.第一章 集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
第一课时　集合的含义
课标要求　1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
【引入】 我校2024级高一新生入学军训的时候，随着教官一声口令“高一(1)班集合”，高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近，不是高一(1)班的同学会自动走开，这里的“集合”是一个动词，但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象(高一(1)班各位同学)聚集在一起了”，这就是本节课研究的数学重要概念——集合.
一、元素与集合的概念
探究1 阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体；
②方程x2－2 024＝0的所有实数根；
③某校高一(1)班所有性格开朗的女生；
④不等式组的所有整数解.
(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么？
提示　分别为点、实数根、女生、整数解.
(2)哪个语句中的对象不确定？为什么？
提示　③中的对象不确定，因为“性格开朗”没有明确的划分标准，其他①、②、④中的对象均是确定的.
(3)上述问题实例中的①、②、④有什么共同的特点？
提示　三个实例中均指“所有的”，即某种研究对象的全体.
【知识梳理】
1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
温馨提示　通过探究1的问题(2)可知构成集合中的一组对象必须是明确的，即须有明确的判断标准.
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)未来世界的高科技产品；
(4)的近似值的全体.
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合，方程只有两个实根3和－3；
(3)“高科技”无明确的标准，对于一个产品是不是高科技产品无法客观判断.因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
思维升华　判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
训练1 (多选) (链接教材P5练习T1)下列所给对象能构成集合的是(　　)
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.著名的艺术大师
D.某校高一年级的16岁以下的学生
答案　AD
解析　A，D能构成集合，二者有确定的判断标准.
A中元素是“到原点的距离等于1的点”，D中元素是“某校高一年级的16岁以下的学生”.
B，D项的对象不能构成集合，因为“难题”与“著名”标准不明确.
二、集合中元素的特征
探究2 英文单词good的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？
提示　能.因为集合中的元素是确定的；三个元素.因为集合中的元素是互不相同的.
探究3 分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的元素有没有先后顺序？
提示　两集合相等.集合中的元素没有先后顺序(无序的).
【知识梳理】
1.集合中元素的特征：确定性、互异性与无序性.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，则称两个集合相等.
温馨提示　集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，相同的元素在同一集合中只能出现一次.
例2 (1)已知集合A含有两个元素1和a2，若a是集合A中的元素，则实数a＝________.
(2)设a，b是两个实数，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________.
答案　(1)0　(2)1
解析　(1)依题意a＝1或a＝a2，
当a＝1时，a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，
所以a≠1，因此a＝a2，
所以a＝0或a＝1(舍去)，综上可知，实数a＝0.
(2)由A＝B的意义及a≠0，
得a＋b＝0，则＝－1，
因此b＝1，所以a＝－1，
故a＋2b＝1.
迁移1 若例题(1)中题目的条件变为：集合A中含有两个元素a和a2，试求实数a的取值范围.
解　依据集合元素的互异性，a≠a2，
所以a≠0且a≠1.
迁移2 若例题(1)中题目的条件变为：集合A中含有两个元素a和a2，若元素1是A中的元素，则a＝________.
答案　－1
解析　依题意a＝1或a2＝1，
若a＝1，则a2＝1，与元素的互异性矛盾，
∴a≠1，从而a2＝1，得a＝－1，
此时，集合A中有两个元素－1和1满足题意.
综上可知a＝－1.
思维升华　1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点：(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值；(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
2.若两个集合相等，则两集合的元素相同，但元素不一定按顺序对应相等.
训练2 已知集合P有三个元素－1，2a＋1，a2－1，若元素0是集合P的元素，则实数a的值为________.
答案　－或1
解析　依题意2a＋1＝0或a2－1＝0，
解得a＝－或a＝±1.
当a＝－时，a2－1＝－，符合题意；
当a＝1时，2a＋1＝3，符合题意；
当a＝－1时，2a＋1＝－1，不满足元素的互异性，舍去.
综上，实数a的值为－或1.
三、元素和集合之间的关系
探究4 如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？
提示　是男生就去，不是男生就不去.
探究5 非负整数集与正整数集有何区别？
提示　非负整数集包括元素0，而正整数集不包括元素0.
【知识梳理】
1.元素和集合之间的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 a?A a不属于集合A
2.常用数集及其记法
名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
温馨提示　符号“∈”“?”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向.
例3 (1)(多选)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　　)
A.∈M B.0∈M
C.1∈M D.－∈M
(2)(链接教材P5习题1.1复习巩固T1)用符号“∈”或“?”填空：
①设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1＋________B；
②设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C，5________C.
答案　(1)BD　(2)①?　∈　②?　∈
解析　(1)>1，故A错误；－2<0<1，故B正确；1?M，故C错误；－2<－<1，故D正确.
(2)①∵2＝>，∴2?B.
∵(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，
∴1＋<，∴1＋∈B.
②因为n∈N*，所以n2＋1≠3，∴3?C.
当n＝2时，x＝n2＋1＝5，则5∈C.
思维升华　判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现.
(2)推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
训练3 (1) (链接教材P5练习T2)下列结论中，不正确的是(　　)
A.若a∈N，则－a?N
B.若a∈Z，则a2∈Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q
D.若a∈R，则a3∈R
(2)已知集合A中元素x满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则实数a的取值范围为______.
答案　(1)A　(2)－4解析　(1)当a＝0时，a∈N，且－a∈N，知A不正确.显然选项B，C，D正确.
(2)因为1?A，2∈A，
所以即－4【课堂达标】
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(　　)
A.某一天到商场买过商品的顾客
B.小于0的实数
C.(2 024，1)与(1，2 024)
D.中国卓越的数学家
答案　ABC
解析　A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；
B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；
C中(2 024，1)与(1，2 024)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D中中国卓越的数学家对象不具备确定性，不能构成一个集合.
2.下列元素与集合的关系判断正确的是(　　)
①0∈N；②－1∈Z；③π∈Q；④?R.
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
答案　A
解析　∵N，Z，Q，R分别是自然数集、整数集、有理数集、实数集，
∴0∈N，－1∈Z，π?Q，∈R.
因此①②正确，③④错误.
3.方程x2－1＝0和x2－x＝0的实数根组成的集合中元素的个数为________.
答案　3
解析　方程x2－1＝0的实根为－1，1，
方程x2－x＝0的实根为0，1，
由于集合中的元素具有互异性，
故集合中的元素为－1，0，1，共3个.
4.已知集合A中有两个元素a2和a－1，集合B中有两个元素0和－1，若A＝B，则a＝________.
答案　0
解析　由于A＝B，且a2≥0，
所以
解之得a＝0.
一、基础巩固
1.(多选)给出下列说法，其中正确的有(　　)
A.中国的所有直辖市可以构成一个集合
B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合
C.正偶数的全体可以构成一个集合
D.大于2 024且小于2 030的所有整数不能构成集合
答案　AC
解析　A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.
B中高一(1)班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.
D中的元素能构成集合，D错误.
2.设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A.a∈M B.a?M
C.a＝M D.a≠M
答案　B
解析　由于<＝2，所以a?M.
3.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)
A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
答案　A
解析　由于A中P，Q的元素完全相同，
所以P与Q表示同一个集合，
而B，C，D中P，Q的元素不相同，
所以P与Q不能表示同一个集合.
4.(多选)由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是(　　)
A.1 B.－2
C.－1 D.2
答案　ABD
解析　由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，
解得a≠±2，且a≠1，
所以a的取值不可能是1，2与－2.
5.下列说法中正确的是(　　)
A.集合N中最小的数为1
B.若－a∈R，则a∈R
C.若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2
D.所有小的正数组成一个集合
答案　B
解析　N中最小的数为0，所以A错；
易知B对；
若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以C错；
“小”的正数没有明确的标准，所以D错.
6.以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－2x－3＝0的根为元素的集合中共有________个元素.
答案　3
解析　方程x2－5x＋6＝0的根是2，3，
方程x2－2x－3＝0的根是－1，3.
根据集合中元素的互异性知，以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.
7.设集合A是关于x的不等式3x－m－1<0的解集，若1∈A，则实数m的取值范围是________.
答案　m>2
解析　由3x－m－1<0，得x<，
又1∈A，∴1<，解之得m>2.
8.设集合A含有两个元素x，y，B含有两个元素0，x2，若A＝B，则实数x＝______；y＝______.
答案　1　0
解析　由题意得或
即或
又当x＝y＝0时，不满足集合元素的互异性，
所以x＝1，y＝0.
9.设A是方程x2－ax－5＝0的解组成的集合.
(1)0是否是集合A中的元素？
(2)若－5∈A，求实数a的值.
解　(1)将x＝0代入方程，则02－0－5≠0，
所以0不是集合A中的元素.
(2)若－5∈A，则(－5)2＋5a－5＝0，
所以5a＝－20，则a＝－4.
10.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值.
解　(1)由集合中元素的互异性可得x≠3，
x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，
所以x＝－2.
经检验，知x＝－2时三个元素符合互异性.
故x＝－2.
二、综合运用
11.下列说法中正确的是(　　)
A.与定点A，B等距离的点不能构成集合
B.由title中的字母构成的集合中元素的个数为5
C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等边三角形
D.高中学生中的游泳能手能构成集合
答案　C
解析　A项中，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，可以构成集合，因此选项A错误；
B项中，由title中字母构成的集合的元素有4个，B错误；
C项中，由集合互异性可知，a，b，c互不相等，故△ABC不是等边三角形，故C正确；
D项中，“游泳能手”不具有确定性，不能构成集合，D错误.
12.集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A.2∈A，且2∈B
B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B
D.(3，10)∈A，且2∈B
解析　C
解析　集合A中的元素为y，是数集，
又y＝x2＋1≥1，故2∈A，
集合B中的元素为点(x，y)，
且满足y＝x2＋1，
经验证，(3，10)∈B.
13.已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________；b＝________.
答案　－3　2
解析　因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，
所以1∈B，2∈B，
即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，
所以所以
三、创新拓展
14.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).
(1)若2∈A，写出集合A中的元素；
(2)证明集合A不可能是单元素集.
(1)解　若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
再计算下去，仍然只得到2，－1，这三个数，
所以集合A中的元素只有2，－1和.
(2)证明　若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解.
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集.1.1　集合的概念
第一课时　集合的含义
课标要求　1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
【引入】 我校2024级高一新生入学军训的时候,随着教官一声口令“高一(1)班集合”,高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近,不是高一(1)班的同学会自动走开,这里的“集合”是一个动词,但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象(高一(1)班各位同学)聚集在一起了”,这就是本节课研究的数学重要概念——集合.
一、元素与集合的概念
探究1 阅读下面的例子,并回答提出的问题:
①在平面直角坐标系中,第四象限的点的全体;
②方程x2-2 024=0的所有实数根;
③某校高一(1)班所有性格开朗的女生；
④不等式组的所有整数解.
(1)以上各例子中要研究的对象分别是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)哪个语句中的对象不确定 为什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)上述问题实例中的①②④有什么共同的特点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.元素:一般地,我们把研究　　　　统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的　　　　叫做集合(简称为集),集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
温馨提示　通过探究1的问题(2)可知构成集合中的一组对象必须是明确的,即须有明确的判断标准.
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合:
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;
(3)未来世界的高科技产品;
(4)的近似值的全体.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
训练1 (多选)(链接教材P5练习T1)下列所给对象能构成集合的是 (　　)
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.高中数学必修第一册课本上的所有难题
C.著名的艺术大师
D.某校高一年级的16岁以下的学生
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、集合中元素的特征
探究2 英文单词good的所有字母能否组成一个集合 若能组成一个集合,则该集合中有几个元素 为什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系 集合中的元素有没有先后顺序
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.集合中元素的特征:　　　　　　、互异性与　　　　.
2.集合相等:只要构成两个集合的元素是　　　　,则称两个集合相等.
温馨提示　集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,相同的元素在同一集合中只能出现一次.
例2 (1)已知集合A含有两个元素1和a2,若a是集合A中的元素,则实数a=　　　　.
(2)设a,b是两个实数,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移1 若例题(1)中题目的条件变为:集合A中含有两个元素a和a2,试求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移2 若例题(1)中题目的条件变为:集合A中含有两个元素a和a2,若元素1是A中的元素,则a=　　　　.
思维升华　1.利用集合中元素的特性求字母的取值需注意两点:(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值;(2)再根据集合中的元素的互异性对求得的参数值进行检验.
2.若两个集合相等,则两集合的元素相同,但元素不一定按顺序对应相等.
训练2 已知集合P有三个元素-1,2a+1,a2-1,若元素0是集合P的元素,则实数a的值为　　　　.
三、元素和集合之间的关系
探究4 如果体育老师说“男同学打篮球,女同学跳绳”,你去打篮球吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究5 非负整数集与正整数集有何区别
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.元素和集合之间的关系
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与 集合的 关系 属于 如果a是集合A的元素 　 a属于集合A
不属于 如果a不是集合A的元素 　 a不属于集合A
2.常用数集及其记法
名称 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集
记法 　　　 N*或N+ 　 　 　
温馨提示　符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系,且二者必居其一,注意开口方向.
例3 (1)(多选)集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是 (　　)
A.∈M B.0∈M
C.1∈M D.-∈M
(2)(链接教材P5习题1.1复习巩固T1)用符号“∈”或“ ”填空:
①设集合B是小于的所有实数的集合,则2　　　　B,1+　　　　B;
②设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合,则3　　　　C,5　　　　C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现.
(2)推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
训练3 (1)(链接教材P5练习T2)下列结论中,不正确的是 (　　)
A.若a∈N,则-a N B.若a∈Z,则a2∈Z
C.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则a3∈R
(2)已知集合A中元素x满足2x+a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则实数a的取值范围为　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)下列各组对象能构成集合的有 (　　)
A.某一天到商场买过商品的顾客
B.小于0的实数
C.(2 024,1)与(1,2 024)
D.中国卓越的数学家
2.下列元素与集合的关系判断正确的是 (　　)
①0∈N;②-1∈Z;③π∈Q;④ R.
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
3.方程x2-1=0和x2-x=0的实数根组成的集合中元素的个数为　　　　.
4.已知集合A中有两个元素a2和a-1,集合B中有两个元素0和-1,若A=B,则a=　　　　.

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