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第一章 1.1　集合的概念
第二课时　集合的表示方法
课标要求
1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).
2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等.我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？让我们一同进入今天的探究之旅.
引入
课时精练
一、列举法
二、描述法
三、集合表示方法的综合应用
课堂达标
内容索引
列举法
一
探究1 观察下面两个集合：
①中国的“五岳”组成的集合M；
②设集合N是小于6的正整数构成的集合.
(1)上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？
提示　能.集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5.
(2)上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？
提示　列举法.M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}.
把集合的所有元素__________出来，并用______________括起来表示集合的方法叫做列举法.
知识梳理
一一列举
花括号“{ }”
温馨提示
(1)列举法表示集合，集合中的相同元素只能列举一次；元素与元素之间用“，”隔开；“{　}”表示“所有”的含义，不能省略.
(2)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.
例1
(链接教材P3例1)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}.
(3)方程x2＝x的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
(3)由x2＝x，得x＝0或x＝1，
所以方程x2＝x的实根组成的集合C＝{0，1}.
1.列举法表示集合的三个步骤：
(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.
2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
思维升华
用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于2且小于8的整数组成的集合A；
(2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B；
(3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C.
训练1
(1)因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，
所以A＝{3，4，5，6，7}.
(2)因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2，所以集合B＝{1，2}.
(3)将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1.
所以两直线的交点为(0，1)，故C＝{(0，1)}.
描述法
二
探究2 “大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？
提示　不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.
探究3 设x为“大于－2且小于2的实数”构成的集合的元素，x有何特征？
提示　x∈R且－2知识梳理
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为_____________，这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
{x∈A|P(x)}
温馨提示
描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略，如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时，可以省略x∈R，如集合{x|0例2
(链接教材P4例2)用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3<1的解组成的集合A；
(2)被3除余2的正整数组成的集合B；
(1)设代表元素为x，则x满足2x－3<1，
则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，
但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，
所以集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.
平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，
即x<0，y>0，
故第二象限内的点组成的集合为C＝{(x，y)|x<0，y>0}.
思维升华
利用描述法表示集合应注意三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
(1)(多选)下列用描述法表示的集合，正确的是
A.奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}
B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x<10}
C.{x|x>2}表示大于2的全体实数
D.不等式x2－1>0的解集表示为{x|x2－1>0}
训练2
√
√
√
(1)B中，{x|x<10}表示“小于10的实数”，“小于10的整数”构成的集合表示为{x|x<10，且x∈Z}.其余的全正确.
(2)图中阴影部分(含边界)的点组成的集合B用描述法表示为B＝___________________________.
{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}
设集合B中的代表元素是(x，y).
由题意，－1≤x≤3，且0≤y≤3，
因此所求集合B＝{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.
集合表示方法的综合应用
三
例3
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
故Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意.
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，
此时A中只有一个元素.
迁移1
在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}.
迁移2
在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围的集合.
依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，
∴a<1且a≠0，
故实数a取值范围的集合是{a|a<1且a≠0}.
思维升华
1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的问题.
2.求解集合与方程的问题应注意：
(1)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论.
(2)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
训练3
已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.
因为A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
所以方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x1＝x2＝2，
【课堂达标】
1.集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为
√
{x|－3≤x≤3，且x∈N}＝{0，1，2，3}.
A.{－3，－2，－1，0，1，2，3} B.{－2，－1，0，1，2}
C.{0，1，2，3} D.{1，2，3}
√
2.下列集合中，不同于另外三个集合的是
A.{0} B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0} D.{x＝0}
由集合的含义知{0}＝{y|y2＝0}＝{x|x＝0}，集合{x＝0}表示由元素“x＝0”组成的集合，故选D.
3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中有两个元素，则实数k的取值组成的集合为
_________________.
由题意，方程kx2－8x＋16＝0有两个不相等实根，
{k|k<1且k≠0}
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，∴k<1且k≠0.
4.用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为
________________________.
由已知得集合D为点集，x∈N，y∈N，
{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
当x＝0时，y＝8；当x＝1时，y＝7；
当x＝2时，y＝4.
若x≥3，则y＝8－x2<0，不合题意.
所以集合D＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}.
【课时精练】
√
1.已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是
∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.
A.0∈A B.1?A
C.－1∈A D.0?A
√
2.下列各组集合中，表示同一个集合的是
A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{(1，2)}，N＝{1，2}
选项A，两个集合中的元素是有序数对，显然元素不同；
选项C，集合M表示的是直线x＋y＝1上的点，而集合N表示的是直线x＋y＝1上的点的纵坐标，不是同一个集合；
选项D，集合M中的元素是有序数对，而集合N中的元素是实数，不是同一个集合；
选项B，两个集合都表示由2，3这两个元素构成的集合.
√
√
4.(多选)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有
A.(0，0) B.(0，1) C.(1，0) D.(2，－1)
因为M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，
√
√
√
5.下列命题中正确的是
{x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；
6.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________.
正整数中所有的偶数均能被2整除，
{x|x＝2n，n∈N*}
所以集合可表示成{x|x＝2n，n∈N*}.
7.用列举法表示集合{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝______________.
当x＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝3；
{0，1，2，3}
当x＝2时，y＝2；当x＝3时，y＝1；
当x≥4时，y?N*.
所以{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝{0，1，2，3}.
8.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－3x＋a＝0}用列举法表示为________.
因为－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
{－1，4}
所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.
解x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，
所以{x|x2－3x＋a＝0}＝{－1，4}.
9. (链接教材P5练习T3)用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解构成的集合；
(1){0，－1}.
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
√
11.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为
A.5 B.6 C.8 D.9
A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}.
当a＝b时，则a－b＝0，
当a>b时，a－b＝1或a－b＝2，
当a所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素.
12.(多选)下列说法错误的是
√
√
√
13.已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}.
(1)若3∈A，求m的取值范围；
由3∈A，得27－3m＋2m<0，
解得m>27，所以m的取值范围为{m|m>27}.
(2)若0∈A且1∈A，求m的取值范围.
因为0∈A，且1∈A，第二课时　集合的表示方法
课标要求　1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
【引入】 上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等.我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？让我们一同进入今天的探究之旅.
一、列举法
探究1 观察下面两个集合：
①中国的“五岳”组成的集合M；
②设集合N是小于6的正整数构成的集合.
(1)上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？
提示　能.集合M中的元素为：泰山、华山、衡山、恒山、嵩山；集合N中的元素为：1，2，3，4，5.
(2)上述集合M与N除了用自然语言描述外，还可以用什么方式表示呢？如何表示？
提示　列举法.M＝{泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}，N＝{1，2，3，4，5}.
【知识梳理】
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
温馨提示　(1)列举法表示集合，集合中的相同元素只能列举一次；元素与元素之间用“，”隔开；“{　}”表示“所有”的含义，不能省略.
(2)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.
例1 (链接教材P3例1)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程x2＝x的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
解　(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}.
(3)由x2＝x，得x＝0或x＝1，
所以方程x2＝x的实根组成的集合C＝{0，1}.
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}.
思维升华　1.列举法表示集合的三个步骤：
(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.
2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集，应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
训练1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于2且小于8的整数组成的集合A；
(2)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合B；
(3)直线y＝3x＋1与y轴的交点所组成的集合C.
解　(1)因为大于2且小于8的整数包括3，4，5，6，7，
所以A＝{3，4，5，6，7}.
(2)因为方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1或2，
所以集合B＝{1，2}.
(3)将x＝0代入y＝3x＋1，得y＝1.
所以两直线的交点为(0，1)，故C＝{(0，1)}.
二、描述法
探究2 “大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？
提示　不能.集合中的元素有无数多个，元素不能完全列举.
探究3 设x为“大于－2且小于2的实数”构成的集合的元素，x有何特征？
提示　x∈R且－2【知识梳理】
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
温馨提示　描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略，如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时，可以省略x∈R，如集合{x|0例2 (链接教材P4例2)用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3<1的解组成的集合A；
(2)被3除余2的正整数组成的集合B；
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.
解　(1)设代表元素为x，则x满足2x－3<1，
则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}.
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，
但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，
所以集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}.
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，
故第二象限内的点组成的集合为C＝{(x，y)|x<0，y>0}.
思维升华　利用描述法表示集合应注意三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
训练2 (1)(多选)下列用描述法表示的集合，正确的是(　　)
A.奇数集可以表示为{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}
B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x<10}
C.{x|x>2}表示大于2的全体实数
D.不等式x2－1>0的解集表示为{x|x2－1>0}
(2)图中阴影部分(含边界)的点组成的集合B用描述法表示为B＝________.
答案　(1)ACD
(2){(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}
解析　(1)B中，{x|x<10}表示“小于10的实数”，“小于10的整数”构成的集合表示为{x|x<10，且x∈Z}.其余的全正确.
(2)设集合B中的代表元素是(x，y).
由题意，－1≤x≤3，且0≤y≤3，
因此所求集合B＝{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.
三、集合表示方法的综合应用
例3 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
解　当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
故Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意.
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，
此时A中只有一个元素.
迁移1 在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
解　A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，
即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}.
迁移2 在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围的集合.
解　依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0，
∴a<1且a≠0，
故实数a取值范围的集合是{a|a<1且a≠0}.
思维升华　1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的问题.
2.求解集合与方程的问题应注意：
(1)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论.
(2)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
训练3 已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，求集合B.
解　因为A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}，
所以方程x2＋px＋q＝x有两个相等实根x1＝x2＝2，
由根与系数的关系得
所以
所以B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}＝{x|x2－6x＋5＝0}＝{1，5}.
【课堂达标】
1.集合{x|－3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为(　　)
A.{－3，－2，－1，0，1，2，3}
B.{－2，－1，0，1，2}
C.{0，1，2，3}
D.{1，2，3}
答案　C
解析　{x|－3≤x≤3，且x∈N}＝{0，1，2，3}.
2.下列集合中，不同于另外三个集合的是(　　)
A.{0} B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0} D.{x＝0}
答案　D
解析　由集合的含义知{0}＝{y|y2＝0}＝{x|x＝0}，集合{x＝0}表示由元素“x＝0”组成的集合，故选D.
3.集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中有两个元素，则实数k的取值组成的集合为________.
答案　{k|k<1且k≠0}
解析　由题意，方程kx2－8x＋16＝0有两个不相等实根，
故k≠0，且Δ＝64－64k>0，
∴k<1且k≠0.
4.用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为________.
答案　{(0，8)，(1，7)，(2，4)}
解析　由已知得集合D为点集，x∈N，y∈N，
当x＝0时，y＝8；当x＝1时，y＝7；
当x＝2时，y＝4.
若x≥3，则y＝8－x2<0，不合题意.
所以集合D＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}.
一、基础巩固
1.已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　)
A.0∈A B.1?A
C.－1∈A D.0?A
答案　A
解析　∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A.
2.下列各组集合中，表示同一个集合的是(　　)
A.M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B.M＝{3，2}，N＝{2，3}
C.M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D.M＝{(1，2)}，N＝{1，2}
答案　B
解析　选项A，两个集合中的元素是有序数对，显然元素不同；
选项C，集合M表示的是直线x＋y＝1上的点，而集合N表示的是直线x＋y＝1上的点的纵坐标，不是同一个集合；
选项D，集合M中的元素是有序数对，而集合N中的元素是实数，不是同一个集合；
选项B，两个集合都表示由2，3这两个元素构成的集合.
3.方程组的解集是(　　)
A.{(1，－1)，(－1，1)} B.{(1，1)，(－2，2)}
C.{(1，－1)，(－2，2)} D.{(2，－2)，(－2，2)}
答案　C
解析　由得或
∴方程组的解集是{(－2，2)，(1，－1)}.
4.(多选)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有(　　)
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(2，－1)
答案　ABC
解析　因为M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，
所以或或
所以M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.故选ABC.
5.下列命题中正确的是(　　)
A.集合{x∈R|x2＝1}中有两个元素
B.集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D.{1，2}与{2，1}是不同的集合
答案　A
解析　{x∈R|x2＝1}＝{1，－1}；
集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；
{x|x<2}＝{x|x<}，>，?{x|x<2}；
根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合.
6.能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________.
答案　{x|x＝2n，n∈N*}
解析　正整数中所有的偶数均能被2整除，
所以集合可表示成{x|x＝2n，n∈N*}.
7.用列举法表示集合{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝________.
答案　{0，1，2，3}
解析　当x＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝3；
当x＝2时，y＝2；当x＝3时，y＝1；
当x≥4时，y?N*.
所以{x|x＋y＝4，x∈N，y∈N*}＝{0，1，2，3}.
8.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－3x＋a＝0}用列举法表示为______.
答案　{－1，4}
解析　因为－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.
解x2－3x－4＝0得x＝－1或x＝4，
所以{x|x2－3x＋a＝0}＝{－1，4}.
9. (链接教材P5练习T3)用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解构成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解集.
解　(1){0，－1}.
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1，2，3，4，5，6}.
(5)解集用描述法表示为，
解集用列举法表示为{(2，－1)}.
10.设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解　(1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝?N，
所以1∈B，2?B.
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}.
二、综合运用
11.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A.5 B.6
C.8 D.9
答案　A
解析　A＝{1，2，3}，B＝{a－b|a∈A，b∈A}.
当a＝b时，则a－b＝0，
当a>b时，a－b＝1或a－b＝2，
当a所以集合B＝{0，1，2，－2，－1}，有5个元素.
12.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}
B.方程＋|y＋2|＝0的解集为{－2，2}
C.集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的
D.若A＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则－1.1∈A
答案　BCD
解析　A中，因为xy>0?或
所以集合{(x，y)|xy>0}表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A正确.
B中，方程＋|y＋2|＝0的解集为{（2，-2）}，故B错误.
C中，集合{(x，y)|y＝1－x}表示直线上的点集，
{x|y＝1－x}表示数集，两集合不相等，C错误.
D中，A＝{－1，0，1}，知－1.1?A，D错误.
13.已知A＝{x|3x2－mx＋2m<0}.
(1)若3∈A，求m的取值范围；
(2)若0∈A且1∈A，求m的取值范围.
解　(1)由3∈A，得27－3m＋2m<0，
解得m>27，
所以m的取值范围为{m|m>27}.
(2)因为0∈A，且1∈A，
所以解得m<－3，
所以m的取值范围为{m|m<－3}.
三、创新拓展
14.已知集合A＝，B＝，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合.
解　对于集合A，因为x∈N，∈N，
所以当x＝1时，＝1；
当x＝7时，＝3；
当x＝9时，＝9.
所以A＝{1，7，9}，B＝{1，3，9}.
所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}.第二课时　集合的表示方法
课标要求　1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
【引入】 上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、正整数集等.我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是我们之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们中文说“祝你生日快乐”,英文为“Happy Birthday to you”等等,那么对于一个集合,会有哪些不同的表示方法呢 让我们一同进入今天的探究之旅.
一、列举法
探究1 观察下面两个集合:
①中国的“五岳”组成的集合M;
②设集合N是小于6的正整数构成的集合.
(1)上述问题中的集合M,N中的元素能一一列举出来吗
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)上述集合M与N除了用自然语言描述外,还可以用什么方式表示呢 如何表示
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
把集合的所有元素　　　　　　　　出来,并用　　　　　括起来表示集合的方法叫做列举法.
温馨提示　(1)列举法表示集合,集合中的相同元素只能列举一次;元素与元素之间用“,”隔开;“{　}”表示“所有”的含义,不能省略.
(2)对于元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}.
例1 (链接教材P3例1)用列举法表示下列给定的集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A;
(2)小于8的质数组成的集合B;
(3)方程x2=x的实数根组成的集合C;
(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.列举法表示集合的三个步骤:
(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来.
2.二元方程组的解集、函数图象上的点构成的集合都是点集,应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
训练1 用列举法表示下列给定的集合:
(1)大于2且小于8的整数组成的集合A;
(2)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合B;
(3)直线y=3x+1与y轴的交点所组成的集合C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、描述法
探究2 “大于-2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗 为什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 设x为“大于-2且小于2的实数”构成的集合的元素,x有何特征
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为　　　　　　,这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.
温馨提示　描述法中竖线“|”及其左边的代表元素一般不能省略,如果竖线左侧元素的所属范围为实数集时,可以省略x∈R,如集合{x|0例2 (链接教材P4例2)用描述法表示下列集合:
(1)不等式2x-3<1的解组成的集合A;
(2)被3除余2的正整数组成的集合B;
(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用描述法表示集合应注意三点
(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x|x<1}不能写成{x<1}.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如,{x|x=2k},k∈Z,这种表示方式就不符合要求,需将k∈Z也写进大括号,即{x|x=2k,k∈Z}.
(3)不能出现未被说明的字母.
训练2 (1)(多选)下列用描述法表示的集合,正确的是 (　　)
A.奇数集可以表示为{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}
B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x<10}
C.{x|x>2}表示大于2的全体实数
D.不等式x2-1>0的解集表示为{x|x2-1>0}
(2)图中阴影部分(含边界)的点组成的集合B用描述法表示为B=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、集合表示方法的综合应用
例3 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},若A中只有一个元素,求a的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移1 在本例条件下,若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移2 在本例条件下,集合A中有两个元素,求实数a的取值范围的集合.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如本例集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的问题.
2.求解集合与方程的问题应注意:
(1)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论.
(2)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性.
训练3 已知A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当A={2}时,求集合B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.集合{x|-3≤x≤3且x∈N}用列举法可表示为 (　　)
A.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
B.{-2,-1,0,1,2}
C.{0,1,2,3}
D.{1,2,3}
2.下列集合中,不同于另外三个集合的是 (　　)
A.{0} B.{y|y2=0}
C.{x|x=0} D.{x=0}
3.集合A={x|kx2-8x+16=0}中有两个元素,则实数k的取值组成的集合为　　　　.
4.用列举法表示集合D={(x,y),x∈N,y∈N|y=-x2+8}为　　　　.

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