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第一章 1.3　集合的基本运算
第一课时　并集和交集
课标要求
1.理解两个集合的并集与交集的含义.
2.能求两个集合的并集与交集.
3.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
通过前面的学习，我们知道两实数存在大小关系，两个集合存在包含、相等关系.
观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
引入
你能否联想实数的运算进行类比，集合是否也有类似的运算？
课时精练
一、并集
二、交集
三、并集、交集的运算性质及应用
课堂达标
内容索引
并集
一
探究1 请同学们观察下列三组集合：
①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}；
②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，
C＝{x|x是整数}；
③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}.
(1)集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？
提示　集合C中元素是由所有属于A或属于B的元素组成.
(2)①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？
提示　等于，不等于.
1.并集
知识梳理
或
A∪B
{x| x ∈A，或x∈B}
2.并集的运算性质
(1)A∪B＝________，A∪?＝____，A∪A＝A.
(2)A∪B＝A?________，A?(A∪B).
B∪A
A
B?A
温馨提示
(1)符号语言“x∈A ，或x∈B”包含三种情况：“x∈A ，但x?B”，“x∈B ，但x?A”，“x∈A ，且x∈B”，如下图所示：
(2)A∪B仍是一个集合.对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性.
例1
∵A＝{－1，1，3，5}，B＝{0，1，3，4，6}，
(链接教材P10例1、例2)(1)已知集合A＝{－1，1，3，5}，B＝{0，1，3，4，6}，则A∪B＝__________________________.
{－1，0，1，3，4，5，6}
∴A∪B＝{－1，0，1，3，4，5，6}.
(2)已知集合M＝{x|－35},则M∪N＝___________________.
在数轴上表示出集合M，N，如图所示，
{x|x<－5，或x>－3}
则M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}.
求集合并集的两种方法及注意点
1.利用定义：若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.
2.数形结合：(1)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限，且不连续，可借助Venn图求解.
思维升华
(1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝
A.{2} B.{1，2}
C.{2，4，6} D.{1，2，4，6}
训练1
√
由A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，知A∪B＝{1，2，4，6}.
√
(2)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝
A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3}
C.{x|x>2} D.{x|x≥2}
集合B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}.
又A＝{x|2≤x<4}，所以A∪B＝{x|x≥2}.
交集
二
探究2 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，回答下面的问题：
(1)集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示　有公共元素，组成的集合是{2，3}.
(2)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示　集合C的所有元素既属于A，又属于B.
探究3 若A＝{－1，0，1}，B＝{2，4，6，8}，则集合A与B有没有公共元素？
提示　没有公共元素.
知识梳理
1.交集
且
A∩B
{x| x ∈A，且x∈B}
2.交集的运算性质
(1)A∩B＝________，A∩A＝A，A∩?＝____.
(2)A∩B＝A?A____B，(A∩B)?A.
B∩A
?
?
温馨提示
(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
(2)若A∩B仍是一个集合.两个集合没有公共元素，则二者的交集为?.
例2
√
(1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为
易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}.
√
(2)若集合M＝{x|0≤x<16}，N＝{x|3x≥6}，则M∩N＝
思维升华
1.若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
2.若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.
3.若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
训练2
√
√
(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于
并集、交集的运算性质及应用
三
例3
已知集合A＝{x|20}.
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
因为A∪B＝B，所以A?B，画出数轴(如图).
(2)若A∩B＝{x|3画出数轴如图，A∩B＝{x|3迁移1
在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3由于A∩B＝?，结合数轴(图略)得a≥4或3a≤2.
①若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
迁移2
若将本例中集合A，B变为集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.
思维升华
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.
训练3
设集合M＝{x|－2{t|t≤2}
【课堂达标】
1.已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝
A.{0} B.{0，3}
C.{1，3，9} D.{0，1，3，9}
√
由于M＝{0，1，3}，
所以N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，
故M∪N＝{0，1，3，9}.
√
3.若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是_________.
A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，
{a|a≥－1}
由A∩B≠?，得a≥－1.
【课时精练】
√
1.集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|－1＜x＜6}，则M∩N＝
A.{2，4} B.{2，4，6}
C.{2，4，6，8} D.{2，4，6，8，10}
由题意知M∩N＝{2，4}，故选A.
√
2.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝
A.{x|2＜x≤3} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}
√
3.(多选)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值可取
由A∪B＝A可得B?A，
A.1 B.－1 C.0 D.任意实数
√
√
所以B中元素可以为－1，1或B为空集，
代入相应x值，可求得m的值为1或－1或0.
√
4.(多选)已知表示集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有
∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1，3}，
A.－1 B.0 C.1 D.3
√
则阴影部分的集合中元素为1和3.
√
5.已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
A.{a|3≤a<4} B.{a|－1C.{a|a≤－1} D.{a|a<－1}
6.满足{1}∪B＝{1，2}的集合B的个数是________.
由{1}∪B＝{1，2}，故B＝{2}，{1，2}，共2个.
2
7.已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝__________.
因为M∩N＝{2}，所以2∈M，
{0，1，2}
而M＝{0，x}，则x＝2，所以M＝{0，2}，
所以M∪N＝{0，1，2}.
8.设集合M＝{x|－4由M∩N＝N，得N?M.
{t|t≤3}
9.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.
因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3，5}.
又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，所以B＝{2，3}.
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
10.已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}.
(1)求A∩B，A∪B；
(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围.
所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}.
(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，
所以C?A，所以a－1≥3，即a≥4.
所以实数a的取值范围是{a|a≥4}.
√
11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为
A.2 B.3 C.4 D.6
依题意A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，
故(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)是A∩B中的元素.
12.某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人.
由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组.
5
8
因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人).
设同时参加数学和化学小组的人数为x，
则只参加数学小组的人数为26－6－x＝20－x，
只参加化学小组的人数为13－4－x＝9－x.
又总人数为36，
即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36，
所以44－x＝36，解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人.
13.已知集合A＝{x|－3(1)当B＝?，即k＋1>2k－1，k<2时，满足A∪B＝A.
14.(多选)设不大于x的最大整数为[x]，如[3.6]＝3.已知集合A＝{x|[x]＝－1}，
B＝{x|0<[2x＋2]<3}，则
A＝{x|[x]＝－1}＝{x|－1≤x<0}，A正确.
√
√
由0<[2x＋2]<3，得1≤2x＋2<3，1.3　集合的基本运算
第一课时　并集和交集
课标要求　1.理解两个集合的并集与交集的含义.
2.能求两个集合的并集与交集.
3.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
【引入】 通过前面的学习，我们知道两实数存在大小关系，两个集合存在包含、相等关系.
观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
你能否联想实数的运算进行类比，集合是否也有类似的运算？
一、并集
探究1 请同学们观察下列三组集合：
①A＝{－1，0}，B＝{1，3}，C＝{－1，0，1，3}；
②A＝{x|x是偶数}，B＝{x|x是奇数}，
C＝{x|x是整数}；
③A＝{1，2}，B＝{1，3，4}，C＝{1，2，3，4}.
(1)集合C中的元素与集合A，B中元素的关系是什么？
提示　集合C中元素是由所有属于A或属于B的元素组成.
(2)①中集合C的元素个数等于集合A，B的元素个数的和吗？③中呢？
提示　等于，不等于.
【知识梳理】
1.并集
2.并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A，A∪?＝A，A∪A＝A.
(2)A∪B＝A?B?A，A?(A∪B).
温馨提示　(1)符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x?B”，“x∈B，但x?A”，“x∈A，且x∈B”，如下图所示：
(2)A∪B仍是一个集合.对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性.
例1 (链接教材P10例1、例2) (1)已知集合A＝{－1，1，3，5}，B＝{0，1，3，4，6}，则A∪B＝________.
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
答案　(1){－1，0，1，3，4，5，6} (2){x|x<－5，或x>－3}
解析　(1)∵A＝{－1，1，3，5}，B＝{0，1，3，4，6}，
∴A∪B＝{－1，0，1，3，4，5，6}.
(2)在数轴上表示出集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x<－5，或x>－3}.
思维升华　求集合并集的两种方法及注意点
1.利用定义：若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性.
2.数形结合：(1)若集合是实数集的子集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值的取舍.(2)若集合中元素无限，且不连续，可借助Venn图求解.
训练1 (1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　)
A.{2} B.{1，2}
C.{2，4，6} D.{1，2，4，6}
(2)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　)
A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3}
C.{x|x>2} D.{x|x≥2}
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)由A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，知A∪B＝{1，2，4，6}.
(2)集合B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}.
又A＝{x|2≤x<4}，
所以A∪B＝{x|x≥2}.
二、交集
探究2 观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，回答下面的问题：
(1)集合A与集合B有公共元素吗？它们组成的集合是什么？
提示　有公共元素，组成的集合是{2，3}.
(2)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？
提示　集合C的所有元素既属于A，又属于B.
探究3 若A＝{－1，0，1}，B＝{2，4，6，8}，则集合A与B有没有公共元素？
提示　没有公共元素.
【知识梳理】
1.交集
2.交集的运算性质
(1)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?.
(2)A∩B＝A?A?B，(A∩B)?A.
温馨提示　(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
(2)若A∩B仍是一个集合.两个集合没有公共元素，则二者的交集为?.
例2 (1)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
(2)若集合M＝{x|0≤x<16}，N＝{x|3x≥6}，则M∩N＝(　　)
A.{x|0≤x<2} B.
C.{x|2答案　(1)A　(2)D
解析　(1)易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}.
(2)因为N＝{x|3x≥6}，所以N＝.
由题意M＝{x|0≤x<16}，
画出数轴如图所示，
所以M∩N＝，故选D.
思维升华　1.若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.
2.若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.
3.若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.
训练2 (1)设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝(　　)
A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}
C.{0，1} D.{1，2}
(2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于(　　)
A.{2，1} B.{x＝2，y＝1}
C.{(2，1)} D.(2，1)
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)集合A＝{－2，－1，0，1，2}，
B＝，∴A∩B＝{0，1，2}.
(2)由得故A∩B＝{(2，1)}.
三、并集、交集的运算性质及应用
例3 已知集合A＝{x|20}.
(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3解　(1)因为A∪B＝B，所以A?B，画出数轴(如图).
观察数轴可知所以≤a≤2.
经检验端点可知符合题意，故a的取值范围为.
(2)画出数轴如图，A∩B＝{x|3观察图形可知即a＝3.
迁移1 在本例(2)中，将条件“A∩B＝{x|3解　由于A∩B＝?，结合数轴(图略)得a≥4或3a≤2.
又因为a>0，所以a≥4或0故实数a的取值范围是.
迁移2 若将本例中集合A，B变为集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围.
解　①若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
②若A≠?，由于A∩B＝?，
∴
解之得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
思维升华　利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.
训练3 设集合M＝{x|－2答案　{t|t≤2}
解析　由M∩N＝N，得N?M.
故当N＝?，即2t＋1≤2－t，t≤时，
M∩N＝N成立.
当N≠?时，由图得
解得综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}.
【课堂达标】
1.已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　)
A.{0} B.{0，3}
C.{1，3，9} D.{0，1，3，9}
答案　D
解析　由于M＝{0，1，3}，
所以N＝{x|x＝3a，a∈M}＝{0，3，9}，
故M∪N＝{0，1，3，9}.
2.设集合M＝{x|0＜x＜4}，
N＝，则M∩N＝(　　)
A. B.
C.{x|4≤x＜5} D.{x|0＜x≤5}
答案　B
解析　M∩N＝.
3.若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________.
答案　{a|a≥－1}
解析　A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，
由A∩B≠?，得a≥－1.
4.已知集合A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，A∩B＝，则A∪B＝________.
答案　
解析　将x＝代入两个方程，得方程组解得
即可得集合A＝，B＝，
故A∪B＝.
一、基础巩固
1.集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|－1＜x＜6}，则M∩N＝(　　)
A.{2，4} B.{2，4，6}
C.{2，4，6，8} D.{2，4，6，8，10}
答案　A
解析　由题意知M∩N＝{2，4}，故选A.
2.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝(　　)
A.{x|2＜x≤3} B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4} D.{x|1＜x＜4}
答案　C
解析　∵A＝，B＝，∴A∪B＝.
3.(多选)若集合A＝{－1，1}，B＝{x|mx＝1}，且A∪B＝A，则m的值可取(　　)
A.1 B.－1
C.0 D.任意实数
答案　ABC
解析　由A∪B＝A可得B?A，
所以B中元素可以为－1，1或B为空集，
代入相应x值，可求得m的值为1或－1或0.
4.(多选)已知表示集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.3
答案　CD
解析　∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1，3}，
则阴影部分的集合中元素为1和3.
5.已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|aA.{a|3≤a<4} B.{a|－1C.{a|a≤－1} D.{a|a<－1}
答案　C
解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.
6.满足{1}∪B＝{1，2}的集合B的个数是________.
答案　2
解析　由{1}∪B＝{1，2}，故B＝{2}，{1，2}，共2个.
7.已知集合M＝{0，x}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝________.
答案　{0，1，2}
解析　因为M∩N＝{2}，所以2∈M，
而M＝{0，x}，则x＝2，所以M＝{0，2}，
所以M∪N＝{0，1，2}.
8.设集合M＝{x|－4答案　{t|t≤3}
解析　由M∩N＝N，得N?M.
故当N＝?，即t＋2≥2t－1，t≤3时，M∩N＝N成立；
当N≠?时，则无解.
9.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.
解　因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3，5}.
又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，所以B＝{2，3}.
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
10.已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}.
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围.
解　(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，
所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}.
(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，
所以C?A，所以a－1≥3，即a≥4.
所以实数a的取值范围是{a|a≥4}.
二、综合运用
11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
答案　C
解析　依题意A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，
故(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)是A∩B中的元素.
12.某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有________人，同时参加数学和化学小组的有________人.
答案　5　8
解析　由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组.
因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人).
设同时参加数学和化学小组的人数为x，
则只参加数学小组的人数为26－6－x＝20－x，
只参加化学小组的人数为13－4－x＝9－x.
又总人数为36，
即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36，
所以44－x＝36，解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人.
13.已知集合A＝{x|－3解　(1)当B＝?，即k＋1>2k－1，k<2时，满足A∪B＝A.
(2)当B≠?时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k的取值范围是.
三、创新拓展
14.(多选)设不大于x的最大整数为[x]，如[3.6]＝3.已知集合A＝{x|[x]＝－1}，B＝{x|0<[2x＋2]<3}，则(　　)
A.A＝{x|－1≤x<0}
B.A∪B＝
C.[－]＝－3
D.A∩B＝
答案　AD
解析　A＝{x|[x]＝－1}＝{x|－1≤x<0}，A正确.
由0<[2x＋2]<3，得1≤2x＋2<3，
则－≤x<，故B＝，
因此A∪B＝，
A∩B＝，知B错，D正确.
由于－4<－<－3，所以[－]＝－4，C错.1.3　集合的基本运算
第一课时　并集和交集
课标要求　1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.能求两个集合的并集与交集. 3.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
【引入】 通过前面的学习,我们知道两实数存在大小关系,两个集合存在包含、相等关系.
观察下面两个图的阴影部分,它们同集合A、集合B有什么关系
你能否联想实数的运算进行类比,集合是否也有类似的运算
一、并集
探究1 请同学们观察下列三组集合:
①A={-1,0},B={1,3},C={-1,0,1,3};
②A={x|x是偶数},B={x|x是奇数},
C={x|x是整数};
③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.
(1)集合C中的元素与集合A,B中元素的关系是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)①中集合C的元素个数等于集合A,B的元素个数的和吗 ③中呢
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.并集
2.并集的运算性质
(1)A∪B=　　　　　,A∪ =　　　　　,A∪A=A.
(2)A∪B=A 　　　　　,A (A∪B).
温馨提示　(1)符号语言“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但x B”,“x∈B,但x A”,“x∈A,且x∈B”,如下图所示:
(2)A∪B仍是一个集合.对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性.
例1 (链接教材P10例1、例2)(1)已知集合A={-1,1,3,5},B={0,1,3,4,6},则A∪B=　　　　.
(2)已知集合M={x|-35},则M∪N=　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求集合并集的两种方法及注意点
1.利用定义:若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
2.数形结合:(1)若集合是实数集的子集,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值的取舍.
(2)若集合中元素无限,且不连续,可借助Venn图求解.
训练1 (1)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B= (　　)
A.{2} B.{1,2}
C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}
(2)设集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则A∪B= (　　)
A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥3}
C.{x|x>2} D.{x|x≥2}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、交集
探究2 观察集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={2,3},回答下面的问题:
(1)集合A与集合B有公共元素吗 它们组成的集合是什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)集合C中的元素与集合A,B有什么关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3 若A={-1,0,1},B={2,4,6,8},则集合A与B有没有公共元素
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【知识梳理】
1.交集
2.交集的运算性质
(1)A∩B=　　　　,A∩A=A,A∩ =　　　.
(2)A∩B=A A　　　　B,(A∩B) A.
温馨提示　(1)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
(2)若A∩B仍是一个集合.两个集合没有公共元素,则二者的交集为 .
例2 (1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为 (　　)
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
(2)若集合M={x|0≤x<16},N={x|3x≥6},则M∩N= (　　)
A.{x|0≤x<2} B.
C.{x|2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集.
2.若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集.
3.若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示.
训练2 (1)设集合A={-2,-1,0,1,2},B=,则A∩B= (　　)
A.{0,1,2} B.{-2,-1,0}
C.{0,1} D.{1,2}
(2)已知A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B等于 (　　)
A.{2,1} B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)} D.(2,1)
三、并集、交集的运算性质及应用
例3 已知集合A={x|20}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围;
(2)若A∩B={x|3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移1 在本例(2)中,将条件“A∩B={x|3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
迁移2 若将本例中集合A,B变为集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B= ,求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据:A∩B=A A B,A∪B=A B A.
(2)关注点:当集合A B时,若集合A不确定,运算时要考虑A= 的情况,否则易漏解.
训练3 设集合M={x|-2【课堂达标】
1.已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N= (　　)
A.{0} B.{0,3}
C.{1,3,9} D.{0,1,3,9}
2.设集合M={x|0A.
C.{x|4≤x<5} D.{x|03.若集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠ ,则实数a的取值范围是　　　　.
4.已知集合A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},A∩B=,则A∪B=　　　　. 第一章　课时精练4　并集和交集
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共18分.
一、基础巩固
1.集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1{2,4} {2,4,6}
{2,4,6,8} {2,4,6,8,10}
2.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2{x|2{x|1≤x<4} {x|13.(多选)若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值可取 (　　)
1 -1
0 任意实数
4.(多选)已知表示集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N*}关系的Venn图如图所示,则阴影部分表示的集合中的元素有 (　　)
-1 0
1 3
5.已知集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a{a|3≤a<4} {a|-1{a|a≤-1} {a|a<-1}
6.满足{1}∪B={1,2}的集合B的个数是　　　　.
7.已知集合M={0,x},N={1,2},若M∩N={2},则M∪N=　　　　.
8.设集合M={x|-49.(13分)已知集合A={x|x2-px+15=0}和B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分别求实数p,a,b的值.
10.(13分)已知集合A={x|x≥3},B={x|1≤x≤7},
C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若C∪A=A,求实数a的取值范围.
二、综合运用
11.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 (　　)
2 3
4 6
12.某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则只参加物理小组的有　　　　人,同时参加数学和化学小组的有　　　　人.
13.(16分)已知集合A={x|-3三、创新拓展
14.(多选)设不大于x的最大整数为[x],如[3.6]=3.已知集合A={x|[x]=-1},B={x|0<[2x+2]<3},则 (　　)
A={x|-1≤x<0}
A∪B=
[-]=-3
A∩B=
1.A　[由题意知M∩N＝{2，4}，故选A.]
2.C　[∵A＝，B＝，
∴A∪B＝.]
3.ABC　[由A∪B＝A可得B A，
所以B中元素可以为－1，1或B为空集，
代入相应x值，可求得m的值为1或－1或0.]
4.CD　[∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1，3}，
则阴影部分的集合中元素为1和3.]
5.C　[利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.]
6.2　[由{1}∪B＝{1，2}，故B＝{2}，{1，2}，共2个.]
7.{0，1，2}　[因为M∩N＝{2}，所以2∈M，
而M＝{0，x}，则x＝2，所以M＝{0，2}，
所以M∪N＝{0，1，2}.]
8.{t|t≤3}　[由M∩N＝N，得N M.
故当N＝ ，
即t＋2≥2t－1，t≤3时，M∩N＝N成立；
当N≠ 时，则无解.]
9.解　因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3，5}.
又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，所以B＝{2，3}.
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
10.解　(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，
所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}.
(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，
C＝{x|x≥a－1}，
所以C A，所以a－1≥3，即a≥4.
所以实数a的取值范围是{a|a≥4}.
11.C　[依题意A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，
故(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)是A∩B中的元素.]
12.5　8　[由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组.
因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
所以只参加物理小组的有15－6－4＝5(人).
设同时参加数学和化学小组的人数为x，
则只参加数学小组的人数为26－6－x＝20－x，
只参加化学小组的人数为13－4－x＝9－x.
又总人数为36，
即20－x＋x＋6＋4＋5＋9－x＝36，
所以44－x＝36，解得x＝8，
即同时参加数学和化学小组的有8人.]
13.解　(1)当B＝ ，即k＋1>2k－1，k<2时，满足A∪B＝A.
(2)当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k的取值范围是.
14.AD　[A＝{x|[x]＝－1}＝{x|－1≤x<0}，
A正确.
由0<[2x＋2]<3，得1≤2x＋2<3，
则－≤x<，故B＝，
因此A∪B＝，
A∩B＝，知B错，D正确.
由于－4<－<－3，所以[－]＝－4，C错.]

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