资源简介

(共51张PPT)
习题课　集合的运算与创新问题
第一章
课标要求
1.熟练求解集合的交、并、补运算问题.
2.能利用集合概念与运算转化求解集合相关的新定义、新运算.
3.进一步理解转化思想、数形结合等思想方法在集合中的应用.
课时精练
一、集合间的关系与运算
二、Venn图的应用
三、集合中的创新问题
课堂达标
内容索引
集合间的关系与运算
一
例1
已知集合A＝{x|a－1(1)当a＝2时，求A∪B；
当a＝2时，集合A＝{x|1所以A∪B＝{x|－2≤x<7}.
(2)若________，求实数a的取值范围.
在①A∩B＝A，②A∩( RB)＝A，③A∩B＝?这三个条件中任选一个，补充到(2)中横线处，并完成第(2)问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.
若选择①，A∩B＝A，则A?B.
当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝?，满足题意.
若选择②，A∩( RB)＝A，
即a≤－4时，A＝?，满足题意.
1.求解集合的运算问题要明确三种运算的含义，注意运算顺序，并对运算结果进行检验.
2.利用集合的运算求参数要注意三点：(1)善于进行集合运算与集合关系的转化；(2)转化为方程或不等式(组)是否有解或解集的范围问题；(3)切莫忽视空集与集合中元素的互异性等隐含的条件.
思维升华
已知集合A＝{x|2a－2≤x≤a}，B＝{x|－3(1)若a＝－2，求A∪( R B)；
训练1
当a＝－2时，A＝{x|－6≤x≤－2}.
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围.
因为A∩B＝A，所以A?B.
Venn图的应用
二
例2
(链接教材P14T6)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，求集合A，B.
法一　全集U＝{x|x<10，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
根据题设条件，作出Venn图(如图所示).
由图知A＝{1，3，9}，集合B＝{2，3，5，8}.
法二　∵( UB)∩A＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，
∴ UB＝{1，4，6，7，9}.
又全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴集合B＝{2，3，5，8}.
由于( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，所以A＝{1，3，9}.
思维升华
1.法一中根据条件把相关元素逐个填入Venn图的相应位置，直观、清晰地得到结果.填图时，应从较小的区域填起，注意图中各个区域与集合运算之间的关系.
2.法二中巧用分配律，从而简化了集合的运算(如(A∩B)∪[A∩( UB)]＝A).若给定的集合是用列举法表示的数集，则一般采用Venn图求解.
(1)图中阴影部分所表示的集合是
训练2
√
A.B∩[ U(A∪C)] B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩( UB) D.[ U(A∪C)]∪B
Venn图中阴影部分中的元素既在集合B中，又是去掉属于集合A和C中的元素，
因此阴影部分表示的集合是B∩[ U(A∪C)].
(2)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
根据题意画出Venn图(如图).
12
设只喜欢篮球运动的人数为x，
则既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为15－x，只喜欢乒乓球运动的人数为10－(15－x).
根据题意知至少喜欢篮球运动与乒乓球运动中一种的人数为30－8，
则x＋(15－x)＋[10－(15－x)]＝30－8，解得x＝12.
故只喜欢篮球运动的人数为12.
集合中的创新问题
三
例3
我们知道，如果集合A?U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x?A}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4,5,6,7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}.据此，回答以下问题：
U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}， UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}.
若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
阴影部分如下图所示：
(3)如果A－B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
由定义A－B＝{x|x∈A，且x?B}，
∴A－B＝A∩( UB).
又A－B＝?，
则A∩( UB)＝?，故A?B.
思维升华
1.紧扣“新”定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在.
2.按照新定义、新运算规则和要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算，从而达到解决问题的目的.
训练3
(1)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“?”，满足X?Y＝( UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X?(Y?Z)＝
A.(X∪Y)∪( UZ) B.(X∩Y)∪( UZ)
C.[( UX)∪( UY)]∩Z D.( UX)∪[( UY)∪Z]
根据运算“?”的含义，Y?Z＝( UY)∪Z.
√
因此X?(Y?Z)＝( UX)∪[( UY)∪Z].
(2)给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1?S且x－1?S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.
6
若集合不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
【课堂达标】
1.已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，
则( UA)∩( UB)＝
A.{3} B.{2，3}
C.{－1，0，3} D.{－1，0，2，3}
√
易知 UA＝{2，3}， UB＝{－1，0，3}，则( UA)∩( UB)＝{3}.
√
2.定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}.若集合A＝{x|1B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝
A.{x|3C.{x|3因为A＝{x|1所以B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}.
3.某班有学生50人，其中参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，则两个小组都参加的人数x的范围是_____________________.
由题设，每名同学至多参加两个小组，设参加数学、物理小组的学生构成的集合分别为A，B，则card(A)＝25，card(B)＝32，作出Venn图(如图).
{x|7≤x≤25，且x∈N*}
由公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，
知card(A∪B)＝25＋32－card(A∩B).
又card(A∪B)≤50，所以card(A∩B)≥7，且card(A∩B)≤25，
则两个小组都参加的人数x的范围是{x|7≤x≤25，且x∈N*}.
4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，所以 UA＝{x|－2{m|m≥6}
因为( UA)∩B＝B，所以B?( UA).
当B＝?时，即2m＋1≥m＋7，
所以m≥6，满足( UA)∩B＝B.
【课时精练】
√
1.下列关系中，正确的为
空集是任何非空集合的真子集，故A正确；
A.??{0} B.{0，1}＝{(0，1)}
C.Q∈Z D.{0}∈{0，1，2}
{0，1}的元素为0，1，{(0，1)}的元素为(0，1)，故B错误；
集合间无属于关系，且Z?Q，故C错误；
{0}?{0，1，2}，故D错误.
√
2.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝
集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，
所以T?S，则S∩T＝T.
A.? B.S C.T D.Z
√
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
由题意得 RB＝{x|x<1或x≥2}，
∵A∪( R B)＝{x|x√
4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有
A.10个 B.11个 C.12个 D.13个
“孤立元”是1的集合：{1}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}.
“孤立元”是2的集合：{2}，{2，4，5}.
“孤立元”是3的集合：{3}.
“孤立元”是4的集合：{4}，{1，2，4}.
“孤立元”是5的集合：{5}，{1，2，5}，{2，3，5}，{1，2，3，5},共有13个.
√
5.(多选)设A，B，I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中正确的是
A.( IA)∪B＝I B.( IA)∪( IB)＝I
C.A∩( IB)＝? D.( IA)∩( IB)＝ IB
∵A，B，I满足A?B?I，画出Venn图如图所示，
√
√
根据Venn图可判断出A，C，D都是正确的.
6.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x∵A＝{x|1≤x2
∴A∪( UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩( UA)＝?，∴a＝2.
7.集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值是__________.
依题意，集合A为单元素集合.
当a＝1时，3x－2＝0，
4
8.设全集U＝{1，2，3}，集合A，B(A≠B)都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”(A，B)有________种.
由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.
因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，
所以集合A，B的可能情况有：
①A＝{1}，B＝{1，2}；
②A＝{1}，B＝{1，3}；
③A＝{1}，B＝{1，2，3}；
④A＝{1，2}，B＝{1，3}.
所以这样的(A，B)有4种.
9.已知集合A＝{x|－1m－2}.
(1)求A∪B；
因为集合A＝{x|－1所以A∪B＝{x|－1－1}.
(2)若________，求实数m的取值范围.
请从①A?C，②A∩C≠?，③C∩( RA)＝C这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
若选择①，由A?C，得m－2≤－1，即m≤1.
所以实数m的取值范围是{m|m≤1}.
若选择②，由A∩C≠?，得m－2<3，所以m<5.
所以实数m的取值范围是{m|m<5}.
若选择③，C∩( RA)＝C，得C?( R A)，
由于 R A＝{x|x≤－1或x≥3}，
所以m－2≥3，解得m≥5.
故实数m的取值范围是{m|m≥5}.
10.已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤－5或x≥8}，N＝{x|a－1≤x≤2a＋1}.
(1)若a＝5，求( UM)∩N；
当a＝5时，N＝{x|4≤x≤11}.
又M＝{x|x≤－5或x≥8}，
∴ UM＝{x|－5因此( UM)∩N＝{x|4≤x<8}.
(2)若M∩N＝N，求实数a的取值范围.
由于M∩N＝N，知N?M.
当N＝?时，则a－1>2a＋1，∴a<－2，满足N?M.
当N≠?时，2a＋1≥a－1，则a≥－2.
要使N?M，则2a＋1≤－5或a－1≥8，
解之得a≤－3或a≥9.
又a≥－2，所以a≥9.
综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥9或a<－2}.
√
11.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x?P}，则M－(M－P)＝
A.P B.M
C.M∩P D.M∪P
法一　设全集为U,根据定义“x∈M且x?P”等价于“x∈[M∩( UP)]”,
则M－P＝M∩( UP).
于是有M－(M－P)＝M－[M∩( UP)]＝M∩(( UM)∪P)
＝(M∩ UM)∪(M∩P)＝?∪(M∩P)＝M∩P.
法二　M－P＝{x|x∈M且x?P}是指图1中的阴影部分，
同样M－(M－P)是指图2中的阴影部分，
故M－(M－P)＝M∩P.
12.设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|3由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}.
{m|m≥-3}
∵B＝{x|313.已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0，a∈R}.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
若A是空集，则方程ax2－2x＋1＝0无实根，
当a＝0时，－2x＋1＝0，
(2)当B＝{x|x>0}时，若A∩B为非空集合，求实数a的取值范围.
当B＝{x|x>0}时，A∩B≠?.
所以方程ax2－2x＋1＝0至少有一个正实根.
此时A∩B＝{1}，符合题意.
当a<1且a≠0时，方程ax2－2x＋1＝0有两个不相等实根，
且方程ax2－2x＋1＝0有两正根或一正根和－负根.
解之得0综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}.
14.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(m，n)|m※n＝8}中的元素个数是
A.10 B.9 C.8 D.7
√
①当m，n都为正偶数时，符合条件的(m，n)有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3个.
②当m，n都为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，7)，(3，5)，(5，3)，(7，1)，共4个.
③当m，n中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，8)，(8，1)，共2个.
所以集合M的元素个数是3＋4＋2＝9.习题课　集合的运算与创新问题
课标要求　1.熟练求解集合的交、并、补运算问题.
2.能利用集合概念与运算转化求解集合相关的新定义、新运算.
3.进一步理解转化思想、数形结合等思想方法在集合中的应用.
一、集合间的关系与运算
例1 已知集合A＝{x|a－1(1)当a＝2时，求A∪B；
(2)若________，求实数a的取值范围.
在①A∩B＝A，②A∩( RB)＝A，③A∩B＝?这三个条件中任选一个，补充到(2)中横线处，并完成第(2)问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.
解　(1)当a＝2时，集合A＝{x|1所以A∪B＝{x|－2≤x<7}.
(2)若选择①，A∩B＝A，则A?B.
当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝?，满足题意.
当a>－4时，应满足解得－1≤a≤.
综上可知，实数a的取值范围是.
若选择②，A∩( RB)＝A，
则A?( R B)＝{x|x<－2或x>4}.
当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝?，满足题意.
当a>－4时，应满足或
解得－4综上可知，实数a的取值范围是.
若选择③，A∩B＝?，则当a－1≥2a＋3，
即a≤－4时，A＝?，满足题意.
当a>－4时，应满足或
解得－4综上可知，实数a的取值范围是.
思维升华　1.求解集合的运算问题要明确三种运算的含义，注意运算顺序，并对运算结果进行检验.
2.利用集合的运算求参数要注意三点：(1)善于进行集合运算与集合关系的转化；(2)转化为方程或不等式(组)是否有解或解集的范围问题；(3)切莫忽视空集与集合中元素的互异性等隐含的条件.
训练1 已知集合A＝{x|2a－2≤x≤a}，B＝{x|－3(1)若a＝－2，求A∪( R B)；
(2)若A∩B＝A，求a的取值范围.
解　(1)当a＝－2时，A＝{x|－6≤x≤－2}.
因为B＝{x|－3所以A∪( R B)＝{x|x≤－2或x≥1}.
(2)因为A∩B＝A，所以A?B.
①当A＝?时，2a－2>a，解得a>2，符合题意；
②当A≠?时，解得－故a的取值范围为.
二、Venn图的应用
例2 (链接教材P14T6)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A?U，B?U，( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，求集合A，B.
解　法一　全集U＝{x|x<10，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}.
根据题设条件，作出Venn图(如图所示).
由图知A＝{1，3，9}，集合B＝{2，3，5，8}.
法二　∵( UB)∩A＝{1，9}，( UA)∩( UB)＝{4，6，7}，
∴ UB＝{1，4，6，7，9}.
又全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
∴集合B＝{2，3，5，8}.
由于( UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，
所以A＝{1，3，9}.
思维升华　1.法一中根据条件把相关元素逐个填入Venn图的相应位置，直观、清晰地得到结果.填图时，应从较小的区域填起，注意图中各个区域与集合运算之间的关系.
2.法二中巧用分配律，从而简化了集合的运算(如(A∩B)∪[A∩( UB)]＝A).若给定的集合是用列举法表示的数集，则一般采用Venn图求解.
训练2 (1)图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A.B∩[ U(A∪C)] B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩( UB) D.[ U(A∪C)]∪B
(2)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
答案　(1)A　(2)12
解析　(1)Venn图中阴影部分中的元素既在集合B中，又是去掉属于集合A和C中的元素，
因此阴影部分表示的集合是B∩[ U(A∪C)].
(2)根据题意画出Venn图(如图).
设只喜欢篮球运动的人数为x，
则既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为15－x，只喜欢乒乓球运动的人数为10－(15－x).
根据题意知至少喜欢篮球运动与乒乓球运动中一种的人数为30－8，
则x＋(15－x)＋[10－(15－x)]＝30－8，解得x＝12.
故只喜欢篮球运动的人数为12.
三、集合中的创新问题
例3 我们知道，如果集合A?U，那么U的子集A的补集为 UA＝{x|x∈U，且x?A}.类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫做A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{4，5，6，7，8}，则A－B＝{1，2，3}，B－A＝{4，6，7}.据此，回答以下问题：
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及 UA；
(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
解　(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男同学}，
UA＝{x|x是高一(1)班的男同学}.
(2)阴影部分如下图所示：
(3)由定义A－B＝{x|x∈A，且x?B}，
∴A－B＝A∩( UB).
又A－B＝?，
则A∩( UB)＝?，故A?B.
思维升华　1.紧扣“新”定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在.
2.按照新定义、新运算规则和要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算，从而达到解决问题的目的.
训练3 (1)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“?”，满足X?Y＝( UX)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X?(Y?Z)＝(　　)
A.(X∪Y)∪( UZ) B.(X∩Y)∪( UZ)
C.[( UX)∪( UY)]∩Z D.( UX)∪[( UY)∪Z]
(2)给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1?S且x－1?S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.
答案　(1)D　(2)6
解析　(1)根据运算“?”的含义，
Y?Z＝( UY)∪Z.
因此X?(Y?Z)＝( UX)∪[( UY)∪Z].
(2)若集合不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.
【课堂达标】
1.已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，
则( UA)∩( UB)＝(　　)
A.{3} B.{2，3}
C.{－1，0，3} D.{－1，0，2，3}
答案　A
解析　易知 UA＝{2，3}， UB＝{－1，0，3}，则( UA)∩( UB)＝{3}.
2.定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}.若集合A＝{x|1B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝(　　)
A.{x|3C.{x|3答案　B
解析　因为A＝{x|1所以B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}.
3.某班有学生50人，其中参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，则两个小组都参加的人数x的范围是________.
答案　{x|7≤x≤25，且x∈N*}
解析　由题设，每名同学至多参加两个小组，设参加数学、物理小组的学生构成的集合分别为A，B，则card(A)＝25，card(B)＝32，作出Venn图(如图).
由公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，
知card(A∪B)＝25＋32－card(A∩B).
又card(A∪B)≤50，所以card(A∩B)≥7，
且card(A∩B)≤25，
则两个小组都参加的人数x的范围是{x|7≤x≤25，且x∈N*}.
4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1( UA)∩B＝B，则实数m的取值范围是________.
答案　{m|m≥6}
解析　因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，
所以 UA＝{x|－2因为( UA)∩B＝B，
所以B?( UA).
当B＝?时，即2m＋1≥m＋7，
所以m≥6，满足( UA)∩B＝B.
当B≠?时，需满足无解.
故实数m的取值范围是{m|m≥6}.
一、基础巩固
1.下列关系中，正确的为(　　)
A.??{0} B.{0，1}＝{(0，1)}
C.Q∈Z D.{0}∈{0，1，2}
答案　A
解析　空集是任何非空集合的真子集，故A正确；
{0，1}的元素为0，1，{(0，1)}的元素为(0，1)，故B错误；
集合间无属于关系，且Z?Q，故C错误；
{0}?{0，1，2}，故D错误.
2.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)
A.? B.S
C.T D.Z
答案　C
解析　集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，
所以T?S，则S∩T＝T.
3.已知集合A＝{x|xA.{a|a≤1} B.{a|a<1}
C.{a|a≥2} D.{a|a>2}
答案　C
解析　由题意得 RB＝{x|x<1或x≥2}，
∵A∪( R B)＝{x|x4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有(　　)
A.10个 B.11个
C.12个 D.13个
答案　D
解析　“孤立元”是1的集合：{1}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}.
“孤立元”是2的集合：{2}，{2，4，5}.
“孤立元”是3的集合：{3}.
“孤立元”是4的集合：{4}，{1，2，4}.
“孤立元”是5的集合：{5}，{1，2，5}，{2，3，5}，{1，2，3，5}，共有13个.
5.(多选)设A，B，I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中正确的是(　　)
A.( IA)∪B＝I B.( IA)∪( IB)＝I
C.A∩( IB)＝? D.( IA)∩( IB)＝ IB
答案　ACD
解析　∵A，B，I满足A?B?I，画出Venn图如图所示，
根据Venn图可判断出A，C，D都是正确的.
6.已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x答案　2
解析　∵A＝{x|1≤x∴A∪( UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，且A∩( UA)＝?，
∴a＝2.
7.集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的值是________.
答案　1或－
解析　依题意，集合A为单元素集合.
当a＝1时，3x－2＝0，
∴A＝满足题意.
当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－，
此时A＝满足题意.
因此，实数a＝1或－.
8.设全集U＝{1，2，3}，集合A，B(A≠B)都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”(A，B)有________种.
答案　4
解析　由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.
因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，
所以集合A，B的可能情况有：
①A＝{1}，B＝{1，2}；
②A＝{1}，B＝{1，3}；
③A＝{1}，B＝{1，2，3}；
④A＝{1，2}，B＝{1，3}.
所以这样的(A，B)有4种.
9.已知集合A＝{x|－1m－2}.
(1)求A∪B；
(2)若________，求实数m的取值范围.
请从①A?C，②A∩C≠?，③C∩( RA)＝C这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　(1)因为集合A＝{x|－1所以A∪B＝{x|－1－1}.
(2)若选择①，由A?C，得m－2≤－1，即m≤1.
所以实数m的取值范围是{m|m≤1}.
若选择②，由A∩C≠?，得m－2<3，所以m<5.
所以实数m的取值范围是{m|m<5}.
若选择③，C∩( RA)＝C，得C?( R A)，
由于 R A＝{x|x≤－1或x≥3}，
所以m－2≥3，解得m≥5.
故实数m的取值范围是{m|m≥5}.
10.已知集合U为全体实数集，M＝{x|x≤－5或x≥8}，N＝{x|a－1≤x≤2a＋1}.
(1)若a＝5，求( UM)∩N；
(2)若M∩N＝N，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝5时，N＝{x|4≤x≤11}.
又M＝{x|x≤－5或x≥8}，
∴ UM＝{x|－5因此( UM)∩N＝{x|4≤x<8}.
(2)由于M∩N＝N，知N?M.
当N＝?时，则a－1>2a＋1，
∴a<－2，满足N?M.
当N≠?时，2a＋1≥a－1，则a≥－2.
要使N?M，则2a＋1≤－5或a－1≥8，
解之得a≤－3或a≥9.
又a≥－2，所以a≥9.
综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥9或a<－2}.
二、综合运用
11.设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且x?P}，则M－(M－P)＝(　　)
A.P B.M
C.M∩P D.M∪P
答案　C
解析　法一　设全集为U，根据定义“x∈M且x?P”等价于“x∈[M∩
( UP)]”，
则M－P＝M∩( UP).
于是有M－(M－P)＝M－[M∩( UP)]＝M∩(( UM)∪P)＝(M∩ UM)∪(M∩P)＝?∪(M∩P)＝M∩P.
法二　M－P＝{x|x∈M且x?P}是指图1中的阴影部分，
同样M－(M－P)是指图2中的阴影部分，
故M－(M－P)＝M∩P.
12.设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|3答案　{m|m≥-3}
解析　由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}.
∵B＝{x|3即m≥－3.
13.已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0，a∈R}.
(1)若A是空集，求实数a的取值范围；
(2)当B＝{x|x>0}时，若A∩B为非空集合，求实数a的取值范围.
解　(1)若A是空集，则方程ax2－2x＋1＝0无实根，
当a＝0时，－2x＋1＝0，
解得x＝，不符合题意.
所以a≠0，Δ＝4－4a<0，解得a>1.
故实数a的取值范围为{a|a>1}.
(2)当B＝{x|x>0}时，A∩B≠?.
所以方程ax2－2x＋1＝0至少有一个正实根.
①当a＝0时，－2x＋1＝0，解得x＝，
所以A∩B＝，符合题意.
②当a≠0时，由Δ＝4－4a≥0，则a≤1且a≠0.
若a＝1时，A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}.
此时A∩B＝{1}，符合题意.
当a<1且a≠0时，方程ax2－2x＋1＝0有两个不相等实根，
且方程ax2－2x＋1＝0有两正根或一正根和－负根.
所以或
解之得0综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}.
三、创新拓展
14.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(m，n)|m※n＝8}中的元素个数是(　　)
A.10 B.9
C.8 D.7
答案　B
解析　①当m，n都为正偶数时，符合条件的(m，n)有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3个.
②当m，n都为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，7)，(3，5)，(5，3)，(7，1)，共4个.
③当m，n中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，8)，(8，1)，共2个.
所以集合M的元素个数是3＋4＋2＝9.习题课　集合的运算与创新问题
课标要求　1.熟练求解集合的交、并、补运算问题. 2.能利用集合概念与运算转化求解集合相关的新定义、新运算. 3.进一步理解转化思想、数形结合等思想方法在集合中的应用.
一、集合间的关系与运算
例1 已知集合A={x|a-1(1)当a=2时,求A∪B;
(2)若　　　　,求实数a的取值范围.
在①A∩B=A,②A∩( RB)=A,③A∩B= 这三个条件中任选一个,补充到(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.
注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.求解集合的运算问题要明确三种运算的含义,注意运算顺序,并对运算结果进行检验.
2.利用集合的运算求参数要注意三点:(1)善于进行集合运算与集合关系的转化;(2)转化为方程或不等式(组)是否有解或解集的范围问题;(3)切莫忽视空集与集合中元素的互异性等隐含的条件.
训练1 已知集合A={x|2a-2≤x≤a},
B={x|-3(1)若a=-2,求A∪( RB);
(2)若A∩B=A,求a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、Venn图的应用
例2 (链接教材P14T6)全集U={x|x<10,x∈N*},A U,B U,( UB)∩A={1,9},A∩B={3},( UA)∩( UB)={4,6,7},求集合A,B.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.法一中根据条件把相关元素逐个填入Venn图的相应位置,直观、清晰地得到结果.填图时,应从较小的区域填起,注意图中各个区域与集合运算之间的关系.
2.法二中巧用分配律,从而简化了集合的运算(如(A∩B)∪[A∩( UB)]=A).若给定的集合是用列举法表示的数集,则一般采用Venn图求解.
训练2 (1)图中阴影部分所表示的集合是 (　　)
A.B∩[ U(A∪C)] B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩( UB) D.[ U(A∪C)]∪B
(2)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、集合中的创新问题
例3 我们知道,如果集合A U,那么U的子集A的补集为 UA={x|x∈U,且x A}.类似地,对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x B}叫做A与B的差集,记作A-B.例如,A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3},B-A={4,6,7}.据此,回答以下问题:
(1)若U是高一(1)班全体同学组成的集合,A是高一(1)班女同学组成的集合,求U-A及 UA;
(2)在图中,分别用阴影表示集合A-B;
(3)如果A-B= ,那么A与B之间具有怎样的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　1.紧扣“新”定义,首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在.
2.按照新定义、新运算规则和要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算,从而达到解决问题的目的.
训练3 (1)设U为全集,对集合X,Y,定义运算“?”,满足X?Y=( UX)∪Y,则对于任意集合X,Y,Z,X?(Y?Z)= (　　)
A.(X∪Y)∪( UZ)
B.(X∩Y)∪( UZ)
C.[( UX)∪( UY)]∩Z
D.( UX)∪[( UY)∪Z]
(2)给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},对于x∈S,如果x+1 S且x-1 S,那么x是S的一个“好元素”,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有　　　　个.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1},B={1,2},则( UA)∩( UB)= (　　)
A.{3} B.{2,3}
C.{-1,0,3} D.{-1,0,2,3}
2.定义一种新的集合运算△:A△B={x|x∈A,且x B}.若集合A={x|1A.{x|3C.{x|33.某班有学生50人,其中参加数学小组的有25人,参加物理小组的有32人,则两个小组都参加的人数x的范围是　　　　.
4.已知全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥3},B={x|2m+1(分值:100分)
单选题每小题5分,共30分;多选题每小题6分,共6分.
一、基础巩固
1.下列关系中,正确的为 (　　)
{0} {0,1}={(0,1)}
Q∈Z {0}∈{0,1,2}
2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T= (　　)
S
T Z
3.已知集合A={x|x{a|a≤1} {a|a<1}
{a|a≥2} {a|a>2}
4.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1 A且k+1 A,那么k是A的一个“孤立元”,给定A={1,2,3,4,5},则A的所有子集中,只有一个“孤立元”的集合共有 (　　)
10个 11个
12个 13个
5.(多选)设A,B,I均为非空集合,且满足A B I,则下列各式中正确的是 (　　)
( IA)∪B=I ( IA)∪( IB)=I
A∩( IB)= ( IA)∩( IB)= IB
6.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x7.集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则a的值是　　　　.
8.设全集U={1,2,3},集合A,B(A≠B)都是U的子集,若A∩B={1},则称A,B为“理想配集”,记作(A,B),(A,B)和(B,A)是相同的“理想配集”,则这样的“理想配集”(A,B)有　　　　种.
9.(13分)已知集合A={x|-1m-2}.
(1)求A∪B;
(2)若　　　　,求实数m的取值范围.
请从①A C,②A∩C≠ ,③C∩( RA)=C这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
10.(15分)已知集合U为全体实数集,M={x|x≤-5或x≥8},N={x|a-1≤x≤2a+1}.
(1)若a=5,求( UM)∩N;
(2)若M∩N=N,求实数a的取值范围.
二、综合运用
11.设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x P},则M-(M-P)= (　　)
P M
M∩P M∪P
12.设集合A={x|x+m≥0},B={x|313.(16分)已知集合A={x|ax2-2x+1=0,a∈R}.
(1)若A是空集,求实数a的取值范围;
(2)当B={x|x>0}时,若A∩B为非空集合,求实数a的取值范围.
三、创新拓展
14.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或都为正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(m,n)|m※n=8}中的元素个数是 (　　)
10 9
8 7
1.A　[空集是任何非空集合的真子集，故A正确；
{0，1}的元素为0，1，{(0，1)}的元素为(0，1)，故B错误；
集合间无属于关系，且Z Q，故C错误；
{0}?{0，1，2}，故D错误.]
2.C　[集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被4除余1的整数组成的集合，
所以T S，则S∩T＝T.]
3.C　[由题意得 RB＝{x|x<1或x≥2}，
∵A∪( RB)＝{x|x4.D　[“孤立元”是1的集合：{1}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}.
“孤立元”是2的集合：{2}，{2，4，5}.
“孤立元”是3的集合：{3}.
“孤立元”是4的集合：{4}，{1，2，4}.
“孤立元”是5的集合：{5}，{1，2，5}，{2，3，5}，{1，2，3，5}，共有13个.]
5.ACD　[∵A，B，I满足A B I，画出Venn图如图所示，
根据Venn图可判断出A，C，D都是正确的.]
6.2　[∵A＝{x|1≤x∴A∪( UA)＝U＝{x|1≤x≤5}，
且A∩( UA)＝ ，∴a＝2.]
7.1或－　[依题意，集合A为单元素集合.
当a＝1时，3x－2＝0，∴A＝满足题意.
当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－，
此时A＝满足题意.
因此，实数a＝1或－.]
8.4　[由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况.
因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，
所以集合A，B的可能情况有：
①A＝{1}，B＝{1，2}；
②A＝{1}，B＝{1，3}；
③A＝{1}，B＝{1，2，3}；
④A＝{1，2}，B＝{1，3}.
所以这样的(A，B)有4种.]
9.解　(1)因为集合A＝{x|－1B＝{x|x≥1}，
所以A∪B＝{x|－1－1}.
(2)若选择①，由A C，得m－2≤－1，即m≤1.
所以实数m的取值范围是{m|m≤1}.
若选择②，由A∩C≠ ，得m－2<3，所以m<5.
所以实数m的取值范围是{m|m<5}.
若选择③，C∩( RA)＝C，得C ( RA)，
由于 RA＝{x|x≤－1或x≥3}，
所以m－2≥3，解得m≥5.
故实数m的取值范围是{m|m≥5}.
10.解　(1)当a＝5时，N＝{x|4≤x≤11}.
又M＝{x|x≤－5或x≥8}.
∴ UM＝{x|－5因此( UM)∩N＝{x|4≤x<8}.
(2)由于M∩N＝N，知N M.
当N＝ 时，则a－1>2a＋1，∴a<－2，
满足N M.
当N≠ 时，2a＋1≥a－1，则a≥－2.
要使N M，则2a＋1≤－5或a－1≥8.
解之得a≤－3或a≥9.
又a≥－2，所以a≥9.
综上可知，实数a的取值范围为{a|a≥9或a<－2}.
11.C　[法一　设全集为U，根据定义“x∈M且x P”等价于“x∈[M∩( UP)]”，
则M－P＝M∩( UP).
于是有M－(M－P)＝M－[M∩( UP)]＝M∩(( UM)∪P)＝(M∩ UM)∪(M∩P)＝ ∪(M∩P)＝M∩P.
法二　M－P＝{x|x∈M且x P}是指图1中的阴影部分，
同样M－(M－P)是指图2中的阴影部分，
故M－(M－P)＝M∩P.]
12.{m|m≥－3}　[由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}.
∵B＝{x|3∴－m≤3，即m≥－3.]
13.解　(1)若A是空集，则方程ax2－2x＋1＝0无实根，当a＝0时，－2x＋1＝0，
解得x＝，不符合题意.
所以a≠0，Δ＝4－4a<0，解得a>1.
故实数a的取值范围为{a|a>1}.
(2)当B＝{x|x>0}时，A∩B≠ .
所以方程ax2－2x＋1＝0至少有一个正实根.
①当a＝0时，－2x＋1＝0，解得x＝，
所以A∩B＝，符合题意.
②当a≠0时，由Δ＝4－4a≥0，则a≤1且a≠0.
若a＝1时，A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}.
此时A∩B＝{1}，符合题意.
当a<1且a≠0时，方程ax2－2x＋1＝0有两个不相等实根，且方程ax2－2x＋1＝0有两正根或一正根和－负根.
所以或
解之得0综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}.
14.B　[①当m，n都为正偶数时，符合条件的(m，n)有(2，6)，(4，4)，(6，2)，共3个.
②当m，n都为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，7)，(3，5)，(5，3)，(7，1)，共4个.
③当m，n中一个为正偶数，一个为正奇数时，符合条件的(m，n)有(1，8)，(8，1)，共2个.
所以集合M的元素个数是3＋4＋2＝9.]

展开更多......

收起↑