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第一章
章末复习提升
网络构建
理解集合的概念，明确集合中元素的特征，能选择恰当方法表示集合，求解相关问题时应注意三点：
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
一、集合的基本概念
例1
(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为
A.9 B.8
C.5 D.4
√
所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}.
所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的个数为9.
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是
A.1 B.3 C.5 D.9
√
(1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是
A.4 B.5 C.6 D.7
训练1
√
∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，
所以x＝2，3，4，5，6，8，
∴B中有6个元素.
当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________.
3或1
当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.
若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；
若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，
故m＝3或1.
集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用.
二、集合间的基本关系
例2
(1)设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P?U，( UP)?S，则这样的集合P共有
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
√
易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，
因为 U( UP)＝P，所以存在一个 UP，
则有一个相应的P.
由于S＝{－2，1，3}，且( UP)?S，
则集合S的子集 UP共有8个，所以集合P也有8个.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1{m|m≤4}
当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，如图.
训练2
3
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2aa的取值范围为_________________.
三、集合的基本运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏.
例3
已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求( UA)∩B；
因为A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R，
所以 UA＝{x|x<2或x>8}，
所以( UA)∩B＝{x|1因为A∩C≠?，A＝{x|2≤x≤8}，C＝{x|x>a}，
(2)若A∩C≠?，求实数a的取值范围.
画数轴如图：
训练3
已知集合A＝{x|－3(1)A∩M＝______________；
因为A＝{x|－3{x|－3所以A∩M＝{x|－3因为M＝{x|－4≤x<5}，
(2)若B∪( UM)＝R，则实数b的取值范围为______________.
{b|－2≤b<－1}
所以 UM＝{x|x<－4或x≥5}，
又B＝{x|b－3四、充分条件与必要条件
例4
设集合A＝{x|－1(1)若a＝2，求A∪B和A∩B；
A＝{x|－1因为a＝2，所以B＝{x|0所以A∪B＝{x|－1A∩B＝{x|0因为p是q成立的必要不充分条件，所以B?A，
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
训练4
设命题p：实数x满足a0，命题q：实数x满足2(1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
当a＝1时，命题p：1(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
綈p是綈q的充分不必要条件，
五、全称量词命题与存在量词命题
例5
(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
训练5
设集合A＝{x|－2　　
一、集合的基本概念
理解集合的概念，明确集合中元素的特征，能选择恰当方法表示集合，求解相关问题时应注意三点：
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.
例1 (1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A.9 B.8
C.5 D.4
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)
A.1 B.3
C.5 D.9
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.
又x∈Z，y∈Z，
所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}.
所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，
所以A中元素的个数为9.
(2)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；
②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；
③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.
综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个.
训练1 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________.
答案　(1)C　(2)3或1
解析　(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，
所以x＝2，3，4，5，6，8，
∴B中有6个元素.
(2)当m＋2＝5时，m＝3，M＝{1，5，13}，符合题意；
当m2＋4＝5时，m＝1或m＝－1.
若m＝1，M＝{1，3，5}，符合题意；
若m＝－1，则m＋2＝1，不满足元素的互异性，
故m＝3或1.
二、集合间的基本关系
集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用.
例2 (1)设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P?U，( UP)?S，则这样的集合P共有(　　)
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1答案　(1)D　(2){m|m≤4}
解析　(1)易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，
因为 U( UP)＝P，
所以存在一个 UP，
则有一个相应的P.
由于S＝{－2，1，3}，且( UP)?S，
则集合S的子集 UP共有8个，
所以集合P也有8个.
(2)当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠?时，若B?A，如图.
则解得2综上，m的取值范围为{m|m≤4}.
训练2 (1)已知非空集合A，若对于任意x∈A，都有∈A，则称集合A具有“反射性”.则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为________.
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a答案　(1)3　(2){a|a<－2或≤a<1}
解析　(1)在集合{1，2，4，8}的所有子集中，由于?x∈A，都有∈A，
所以A中的元素可能有2，1，4且1与4同时存在.
因此具有“反射性”的集合为{1，4}，{2}，{1，2，4}共3个.
(2)因为a<1，所以2a画数轴如图所示.
由B?A知，a＋1<－1或2a≥1，
解之得a<－2或a≥.
由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，
故a的取值范围是{a|a<－2或≤a<1}.
三、集合的基本运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏.
例3 已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求( UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求实数a的取值范围.
解　(1)因为A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1C＝{x|x>a}，U＝R，
所以 UA＝{x|x<2或x>8}，
所以( UA)∩B＝{x|1(2)因为A∩C≠?，A＝{x|2≤x≤8}，C＝{x|x>a}，
画数轴如图：
由图可得a的取值范围是{a|a<8}.
训练3 已知集合A＝{x|－3(1)A∩M＝________；
(2)若B∪( UM)＝R，则实数b的取值范围为________.
答案　(1){x|－3解　(1)因为A＝{x|－3所以A∩M＝{x|－3(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，
所以 UM＝{x|x<－4或x≥5}，
又B＝{x|b－3所以
解之得－2≤b<－1.
所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}.
四、充分条件与必要条件
1.(1)若p?q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件.
(2)若p?q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件.
2.判定充分条件与必要条件的常用方法：
(1)利用定义：判断若p，则q的真假.
(2)利用集合间的包含关系判断.
例4 设集合A＝{x|－1(1)若a＝2，求A∪B和A∩B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
解　(1)A＝{x|－1因为a＝2，所以B＝{x|0所以A∪B＝{x|－1A∩B＝{x|0(2)因为p是q成立的必要不充分条件，
所以B?A，
当B＝?时，2－a≥2＋a，得a≤0；
当B≠?时，
等号不能同时取到，得0所以实数a的取值范围是{a|a≤1}.
训练4 设命题p：实数x满足a0，命题q：实数x满足2(1)若a＝1，且p，q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，命题p：1所以当p，q均为真命题时，有
解得2(2)綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈q綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是{a|1五、全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.对含有量词命题进行否定：一是改写量词，二是对结论进行否定.
2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.解题过程中要注意变量取值范围的限制.
例5 命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数.
(1)写出命题p的否定；
(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？
解　(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集，
通过画数轴可看出a，b应满足的条件是b训练5 若对?x∈{x|－2解　设集合A＝{x|－2由题意知，A?B，则有解得a≥3.
故实数a的取值范围为{a|a≥3}.章末复习提升
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、集合的基本概念
理解集合的概念,明确集合中元素的特征,能选择恰当方法表示集合,求解相关问题时应注意三点:
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.
例1 (1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 (　　)
A.9 B.8
C.5 D.4
(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 (　　)
A.1 B.3
C.5 D.9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 (1)设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素的个数是 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为　　　　.
二、集合间的基本关系
集合与集合之间的关系是包含和相等的关系,判断两集合之间的关系,可从元素特征入手,并注意代表元素.利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用.
例2 (1)设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若P U,( UP) S,则这样的集合P共有 (　　)
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 (1)已知非空集合A,若对于任意x∈A,都有∈A,则称集合A具有“反射性”.则在集合{1,2,4,8}的所有子集中,具有“反射性”的集合个数为　　　　.
(2)已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a三、集合的基本运算
集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误,不等式解集之间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时特别注意对 的讨论,不要遗漏.
例3 已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1a},U=R.
(1)求( UA)∩B;
(2)若A∩C≠ ,求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练3 已知集合A={x|-3(1)A∩M=　　　　;
(2)若B∪( UM)=R,则实数b的取值范围为　　　　.
四、充分条件与必要条件
1.(1)若p q,且qp,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件.
(2)若p q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件.
2.判定充分条件与必要条件的常用方法:
(1)利用定义:判断若p,则q的真假.
(2)利用集合间的包含关系判断.
例4 设集合A={x|-1(1)若a=2,求A∪B和A∩B;
(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练4 设命题p:实数x满足a0,命题q:实数x满足2(1)若a=1,且p,q均为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
五、全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.对含有量词命题进行否定:一是改写量词,二是对结论进行否定.
2.根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.解题过程中要注意变量取值范围的限制.
例5 命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定;
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练5 若对 x∈{x|-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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