资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第一节　等式性质与不等式性质
课标解读 考向预测
理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 高考主要与其他知识及实际问题相结合进行命题，为中档难度.2025年备考要重视性质的运用，明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注与实际问题的结合.
【知识梳理】
1．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
3.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
【常用结论】
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)＜；＞(a－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＝b ac＝bc.(　　)
(2)若a(3)若a>b>c，则(a－b)c>(b－a)c.(　　)
2．小题热身
(1)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　)
A.＜1 B．2－x＜2－y
C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2
(2)(人教B必修第一册2.2.1练习B T2改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
(3)(人教A必修第一册习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a(4)已知1【考点探究】
考点一　不等式的性质
例1 (多选)(2023·湖南长沙长郡中学高三二模)已知实数a，b，c满足0A.> B.>
C.> D．ab＋c2>ac＋bc
【通性通法】
应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．有时可以结合函数的单调性进行推导．
【巩固迁移】
1．(2024·山东济南高三开学考试)“x>y”的一个充分条件可以是(　　)
A．2x－y> B．x2>y2
C.>1 D．xt2>yt2
考点二　比较两个数(式)的大小(多考向探究)
考向1作差法
例2已知a，b∈R，a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.> B.>
C.> D．a－>b－
【通性通法】
作差法的一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
【巩固迁移】
2．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
考向2作商法
例3已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是(　　)
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【通性通法】
作商法的一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论．注意作商前要先判断正负，一般要比较的两数(式)均为正数，可考虑使用作商法．
【巩固迁移】
3．已知a，b，c为正实数，且a2＋b2＝c2，则当n∈N，且n＞2时，cn与an＋bn的大小关系为________．
考向3特殊值法
例4(2023·北京海淀高三模拟)已知x，y∈R，且x＋y>0，则(　　)
A.＋>0 B．x3＋y3>0
C．lg (x＋y)>0 D．sin(x＋y)>0
【通性通法】
解有关不等式选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代表性．
【巩固迁移】
4．(2024·福建三明第一中学高三月考)若非零实数a，b满足a>b，则(　　)
A．ac2>bc2 B.＋>2
C．ea－b>1 D．ln a>ln b
考向4中间量法
例5 (2023·四川南充模拟)设a＝0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log0.50.2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
【通性通法】
对于两个数(式)，若无法直接比较大小，则可以考虑利用中间值来比较大小，一般常用的中间值为－1，0，，1，等．
【巩固迁移】
5．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．aC．c考点三　不等式性质的综合应用
例6(1)已知－1(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________．
【通性通法】
利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点
【巩固迁移】
6．已知127．(2024·广东五校高三上学期期末联考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一节　等式性质与不等式性质
课标解读 考向预测
理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 高考主要与其他知识及实际问题相结合进行命题，为中档难度.2025年备考要重视性质的运用，明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注与实际问题的结合.
【知识梳理】
1．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a>b ba 可逆
传递性 a>b，b>c a>c；a可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
可乘性 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向同正
可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2 an>bn 同正
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 > 同正
3.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
①a－b>0 a>b；
②a－b＝0 a＝b；
③a－b<0 a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0) a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0) a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0) a0)．
【常用结论】
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)＜；＞(a－m＞0)；
(2)＞；＜(b－m＞0)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＝b ac＝bc.(　　)
(2)若a(3)若a>b>c，则(a－b)c>(b－a)c.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小题热身
(1)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　)
A.＜1 B．2－x＜2－y
C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2
答案　B
(2)(人教B必修第一册2.2.1练习B T2改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
答案　B
(3)(人教A必修第一册习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若a>b>0，则a2>b2
C．若aD．若a答案　B
解析　对于A，当c2＝0时不正确；对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B正确；对于C，由a＜b＜0可得，a2＞ab＞b2，所以C不正确；对于D，因为a＜b＜0，所以>，所以D不正确．
(4)已知1答案　(－4，7)
解析　因为8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，1【考点探究】
考点一　不等式的性质
例1 (多选)(2023·湖南长沙长郡中学高三二模)已知实数a，b，c满足0A.> B.>
C.> D．ab＋c2>ac＋bc
答案　BCD
解析　因为0b－a>0，<，故A错误；因为a＞0，b＞0，b＋c＞0，a＋c＞0，所以> b(a＋c)>a(b＋c) bc>ac b>a，故B正确；因为a＞0，b＞0，c－a＞0，所以> > b>a，故C正确；ab＋c2>ac＋bc c(c－b)－a(c－b)>0 (c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD.
【通性通法】
应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．有时可以结合函数的单调性进行推导．
【巩固迁移】
1．(2024·山东济南高三开学考试)“x>y”的一个充分条件可以是(　　)
A．2x－y> B．x2>y2
C.>1 D．xt2>yt2
答案　D
解析　由x>y，得x－y>0.对于A，由2x－y>，得2x－y>2－1，由指数函数的性质，得x－y>－1，因为x－y>－1不一定有x－y>0，故A不正确；对于B，由x2>y2，得x2－y2>0，即(x＋y)(x－y)>0，则或故B不正确；对于C，由>1，得－1>0，即>0，所以y(x－y)>0，则或故C不正确；对于D，由xt2>yt2，知t2>0，所以x>y成立，故D正确．故选D.
考点二　比较两个数(式)的大小(多考向探究)
考向1作差法
例2已知a，b∈R，a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.> B.>
C.> D．a－>b－
答案　C
解析　对于A，－＝＝，因为b－1的正负不确定，所以>不一定成立，即A错误；对于B，－＝＝，因为2b－a的正负不确定，所以>不一定成立，即B错误；对于C，－＝＝，因为a－b>0，b>0，b＋1>0，所以>一定成立，即C正确；对于D，a－－＝，因为ab－1的正负不确定，所以a－>b－不一定成立，即D错误．故选C.
【通性通法】
作差法的一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．
【巩固迁移】
2．若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
答案　B
解析　由题意，得B2－A2＝－2≤0，所以B2≤A2.又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B.
考向2作商法
例3已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是(　　)
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
答案　C
解析　易知x>0，y＞0，又＝＝＝<1，所以x【通性通法】
作商法的一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论．注意作商前要先判断正负，一般要比较的两数(式)均为正数，可考虑使用作商法．
【巩固迁移】
3．已知a，b，c为正实数，且a2＋b2＝c2，则当n∈N，且n＞2时，cn与an＋bn的大小关系为________．
答案　cn＞an＋bn
解析　∵a2＋b2＝c2，∴＋＝1，则0＜＜1，0＜＜1.又n∈N，且n＞2，∴<，<，∴＝＋＜＋＝1，∴cn＞an＋bn.
考向3特殊值法
例4(2023·北京海淀高三模拟)已知x，y∈R，且x＋y>0，则(　　)
A.＋>0 B．x3＋y3>0
C．lg (x＋y)>0 D．sin(x＋y)>0
答案　B
解析　令x＝1，y＝－，显然＋＝1－2<0，故A错误；因为x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝(x＋y)，显然x＝y，y＝0不能同时成立，所以(x＋y)>0，故B正确；取x＝1，y＝0，则lg (x＋y)＝0，故C错误；取x＝1，y＝3，则sin(x＋y)＝sin4<0，故D错误．故选B.
【通性通法】
解有关不等式选择题时，可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取值要有代表性．
【巩固迁移】
4．(2024·福建三明第一中学高三月考)若非零实数a，b满足a>b，则(　　)
A．ac2>bc2 B.＋>2
C．ea－b>1 D．ln a>ln b
答案　C
解析　对于A，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故A错误；对于B，当a＝1，b＝－1时，＋＝－2<0，故B错误；对于C，∵a>b，∴a－b>0，∴ea－b>e0＝1，故C正确；对于D，当0>a>b时，ln a，ln b无意义，故D错误．故选C.
考向4中间量法
例5 (2023·四川南充模拟)设a＝0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log0.50.2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案　C
解析　因为a＝0.50.2>0.5＝，a＝0.50.2＜0.50＝1，b＝log0.20.5＝log0.2log0.50.5＝1，所以c>1>a>>b，故选C.
【通性通法】
对于两个数(式)，若无法直接比较大小，则可以考虑利用中间值来比较大小，一般常用的中间值为－1，0，，1，等．
【巩固迁移】
5．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)
A．aC．c答案　B
解析　a＝log20.220＝1，c＝0.20.3<0.20＝1，即c∈(0，1)，故a考点三　不等式性质的综合应用
例6(1)已知－1答案　(－4，2)　(1，18)
解析　因为－1(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________．
答案　
解析　∵a∈(－3，－2)，∴∈，故<－<，又2【通性通法】
利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点
【巩固迁移】
6．已知12答案　(－60，30)　
解析　因为157．(2024·广东五校高三上学期期末联考)已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为________．
答案　[11，27]
解析　设5a＋b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，所以解得则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)，又1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，由不等式的性质，得11≤2(a－b)＋3(a＋b)≤27，则5a＋b的取值范围为[11，27]．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑