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第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
课标解读 考向预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，二次函数是解决“二次问题”的核心灵魂．对于高考，主要考查利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数的图象利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围．预计2025年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次不等式为主，难度不会太大，比如集合部分和函数定义域部分的求解等，稍有难度的主要还是与数形结合出题，整体保持稳定.
【知识梳理】
1．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x>x2或xax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．(　　)
(2)不等式≥2等价于x－1≥2x＋6.(　　)
(3)不等式x2－a≤0的解集是[－，]．(　　)
(4)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)<0的解集为(－1，3)，则f(4)>f(0)>f(1)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(人教B必修第一册2.2.3练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4}
C．{0，1} D．{2，4}
答案　D
解析　由题意，得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1(2)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m答案　B
解析　原不等式可变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0，得m>－n，所以原不等式的解集是{x|－n(3)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
答案　－14
解析　由题意，知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系，得
则所以a＋b＝－14.
(4)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________．
答案　(－2，2]
解析　原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，需满足
解得－2＜m＜2.综上可知，实数m的取值范围是(－2，2]．
【考点探究】
考点一　一元二次不等式的解法(多考向探究)
考向1不含参数的一元二次不等式的解法
例1已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∪B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－2答案　C
解析　因为A＝{x|－2【通性通法】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
【巩固迁移】
1．(2024·浙江绍兴诸暨高三联考)已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}，则M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
答案　B
解析　因为N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，M＝{x|0≤x＜2}，所以M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选B.
考向2含参数的一元二次不等式的解法
例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．
解　原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0，
当a＞0时，有(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜；
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1；
当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜.
综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a＞1时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞1}；
当a＜0时，原不等式的解集为.
【通性通法】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：求对应方程的根优先考虑用因式分解法确定，不能因式分解时再用求根公式计算．
【巩固迁移】
2．(2024·山东潍坊一中高三上期中)若关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为__________．
答案　(－∞，－2)∪
解析　根据题意，分两种情况讨论：①当a2－4＝0，即a＝±2时，若a＝2，则原不等式为4x－1≥0，解得x≥，故不等式的解集为，不是空集；若a＝－2，则原不等式为－1≥0，无解，不符合题意；②当a2－4≠0，即a≠±2时，若(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则有解得－2考向3可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
例3若集合A＝{x|－x2－x＋6>0}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．(－3，3) B．[－2，3)
C．(－2，2) D．[－2，2)
答案　D
解析　将－x2－x＋6>0化为x2＋x－6<0，解得－3【通性通法】
分式不等式的求解策略
分式不等式的求解策略是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如>m的分式不等式，一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．
注意：解不等式>m时，不能直接在不等式两边同乘以分母g(x)，因为g(x)的符号不确定．
【巩固迁移】
3．(2024·广东部分地市高三模拟)若集合A＝，B＝{x|2x2－(2a＋1)x＋a≤0}，且A∩B≠ ，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－3，－1] B．[－3，－1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
答案　C
解析　依题意，得A＝＝{x|－3≤x<－1}，方程2x2－(2a＋1)x＋a＝0，即(2x－1)(x－a)＝0，解得x＝或x＝a.当a>时，B＝，此时A∩B＝ ，不符合题意；当a＝时，B＝，此时A∩B＝ ，不符合题意；当－1≤a<时，B＝，此时A∩B＝ ，不符合题意；当a<－1时，B＝，此时A∩B≠ ，符合题意．综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－1)．故选C.
考点二　三个二次之间的关系
例4若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集是(　　)
A．{x|03}
C．{x|1答案　A
解析　由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0　①.又不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1【通性通法】
三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者之间具有丰富的内涵和密切的联系．一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函数的一种特殊情况：当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为二次方程ax2＋bx＋c＝0；当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，所以解决问题需要三者相互联系．
【巩固迁移】
4．已知函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋bA．9 B．8
C．6 D．4
答案　D
解析　由题意得＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b考点三　一元二次不等式恒成立问题(多考向探究)
考向1在R上的恒成立问题
例5关于x的不等式mx2－mx＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围为________．
答案　[0，＋∞)
解析　当m＝0时，1>0成立；当m≠0时，解得m>0，所以m≥0，即m的取值范围为[0，＋∞)．
【通性通法】
一元二次不等式在R上恒成立问题一般要结合二次函数图象，用判别式解决．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
注意：题目中是否有“一元二次”几个字，也就是判断是否要考虑二次项系数为0的情况．
【巩固迁移】
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2答案　C
解析　由题意得不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，即不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立．当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；当a－2<0，即a<2时，由Δ＝[2(a－2)]2＋4×4×(a－2)<0，解得－2考向2在给定区间上的恒成立问题
例6(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)>－m＋2恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案　(3，＋∞)
解析　由f(x)>－m＋2，得mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3，当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>在x∈[1，3]上恒成立，只需m>，当x＝1时，x2－x＋1有最小值，为1，则有最大值，为3，则m>3，故实数m的取值范围为(3，＋∞)．
【通性通法】
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，则集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
【巩固迁移】
6．(2024·广东深圳高三模拟)对于任意x∈[－2，3]，不等式x2－a|x|＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案　(－∞，2)
解析　当a＝0时，不等式x2＋1>0恒成立，当a≠0时，不等式可变形为a<，0<|x|≤3，设t＝|x|，t∈(0，3]，则y＝＝＝t＋，由对勾函数的性质，知该函数在(0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∴当t＝1时，y＝t＋取得最小值2，∴a<2.故实数a的取值范围是(－∞，2)．
考向3给定参数范围的恒成立问题
例7若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，则[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，则
解得x<－1或x>3.
【通性通法】
解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解．
【巩固迁移】
7．(2023·湖北部分重点高中高三联考)若命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则x的取值范围为________．
答案　[－1，0]∪
解析　由题意知“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则即解得
所以x的取值范围为[－1，0]∪.
考向4不等式能成立或有解问题
例8已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．
C．(，＋∞) D．
答案　A
解析　问题转化为m<在(0，2]上有解，设g(x)＝，则g(x)＝＝，x∈(0，2]，又x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，则g(x)max＝＝，故m<.故选A.
【通性通法】
能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
(2)a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【巩固迁移】
8．若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，则实数m的取值范围为________．
答案　(－∞，－7]∪[2，＋∞)
解析　因为f(x)＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，①当－≤－2，即m≥4时，f(x)min＝f(－2)＝4－2m＋3－m≤0，即m≥，∴m≥4；②当－2<－<2，即－421世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第三节　二次函数与一元二次方程、不等式
课标解读 考向预测
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，二次函数是解决“二次问题”的核心灵魂．对于高考，主要考查利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数的图象利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围．预计2025年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次不等式为主，难度不会太大，比如集合部分和函数定义域部分的求解等，稍有难度的主要还是与数形结合出题，整体保持稳定.
【知识梳理】
1．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x>x2或xax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
2.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．(　　)
(2)不等式≥2等价于x－1≥2x＋6.(　　)
(3)不等式x2－a≤0的解集是[－，]．(　　)
(4)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)<0的解集为(－1，3)，则f(4)>f(0)>f(1)．(　　)
2．小题热身
(1)(人教B必修第一册2.2.3练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4}
C．{0，1} D．{2，4}
(2)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m(3)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．
(4)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________．
【考点探究】
考点一　一元二次不等式的解法(多考向探究)
考向1不含参数的一元二次不等式的解法
例1已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∪B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－2【通性通法】
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
【巩固迁移】
1．(2024·浙江绍兴诸暨高三联考)已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}，则M∩N＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
考向2含参数的一元二次不等式的解法
例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．
【通性通法】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：求对应方程的根优先考虑用因式分解法确定，不能因式分解时再用求根公式计算．
【巩固迁移】
2．(2024·山东潍坊一中高三上期中)若关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为__________．
考向3可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
例3若集合A＝{x|－x2－x＋6>0}，B＝，则A∩B＝(　　)
A．(－3，3) B．[－2，3)
C．(－2，2) D．[－2，2)
【通性通法】
分式不等式的求解策略
分式不等式的求解策略是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如>m的分式不等式，一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．
注意：解不等式>m时，不能直接在不等式两边同乘以分母g(x)，因为g(x)的符号不确定．
【巩固迁移】
3．(2024·广东部分地市高三模拟)若集合A＝，B＝{x|2x2－(2a＋1)x＋a≤0}，且A∩B≠ ，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－3，－1] B．[－3，－1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
考点二　三个二次之间的关系
例4若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－12ax的解集是(　　)
A．{x|03}
C．{x|1【通性通法】
三个“二次”即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三者之间具有丰富的内涵和密切的联系．一元二次方程和一元二次不等式可看作二次函数的一种特殊情况：当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化为二次方程ax2＋bx＋c＝0；当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，所以解决问题需要三者相互联系．
【巩固迁移】
4．已知函数y＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋bA．9 B．8
C．6 D．4
考点三　一元二次不等式恒成立问题(多考向探究)
考向1在R上的恒成立问题
例5关于x的不等式mx2－mx＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围为________．
【通性通法】
一元二次不等式在R上恒成立问题一般要结合二次函数图象，用判别式解决．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
注意：题目中是否有“一元二次”几个字，也就是判断是否要考虑二次项系数为0的情况．
【巩固迁移】
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2C．{a|－2考向2在给定区间上的恒成立问题
例6(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)>－m＋2恒成立，则实数m的取值范围为________．
【通性通法】
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，则集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立 f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立 f(x)max≤a，即n≤a.
【巩固迁移】
6．(2024·广东深圳高三模拟)对于任意x∈[－2，3]，不等式x2－a|x|＋1>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
考向3给定参数范围的恒成立问题
例7若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【通性通法】
解给定参数范围的不等式恒成立问题，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置(变换主元)，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围求解．
【巩固迁移】
7．(2023·湖北部分重点高中高三联考)若命题“ a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则x的取值范围为________．
所以x的取值范围为[－1，0]∪.
考向4不等式能成立或有解问题
例8已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．
C．(，＋∞) D．
【通性通法】
能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
(2)a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【巩固迁移】
8．若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，则实数m的取值范围为________．
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