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第二节　基本不等式
课标解读 考向预测
1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其证明过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式．从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大，2025年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题.
【知识梳理】
1．基本不等式：≤.
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b．
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2．(简记：积定和最小)
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．(简记：和定积最大)
注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2)形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【常用结论】
1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．
2．若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．常见求最值的模型
模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立；
模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，当且仅当x－a＝时，等号成立；
模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立；
模型四：x(n－mx)＝≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立．
4．三个正数的均值不等式：若a，b，c>0，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)≥2.(　　)
(3)已知0(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．小题热身
(1)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　C
解析　9a＋≥2＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，等号成立．
(2)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　)
A．4 B.
C. D．2
答案　B
解析　依题意，可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为.故选B.
(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a>0，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值为________．
答案　＋
解析　＋＝×＋＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时，等号成立．
(4)(人教A必修第一册习题2.2 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．
答案　
解析　因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号．
(5)(人教A必修第一册复习参考题2 T5改编)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．
答案　[9，＋∞)
解析　因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
【考点探究】
考点一　利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1配凑法求最值
例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0A．2 B．4
C．5 D．6
答案　A
解析　因为0(2)函数y＝(x<－1)的最大值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
答案　D
解析　y＝＝＝－＋1≤－2×＋1＝－1，当且仅当x＋1＝＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.
【通性通法】
配凑法求最值的关键点
【巩固迁移】
1．函数y＝3x＋的最小值为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
答案　D
解析　因为x>，所以3x－1>0，所以y＝3x＋＝(3x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当3x－1＝，即x＝1时，等号成立，故函数y＝3x＋的最小值为5.故选D.
2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a>1，b>1，且log2＝logb4，则ab的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
答案　C
解析　∵log2＝logb4，∴log2a＝logb4，即log2a＝，∴log2a·log2b＝4.∵a>1，b>1，∴log2a>0，log2b>0，∴log2(ab)＝log2a＋log2b≥2＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以ab≥24＝16，当且仅当a＝b＝4时取等号，故ab的最小值为16.故选C.
考向2常数代换法求最值
例2(1)已知0A．50 B．49
C．25 D．7
答案　B
解析　因为0(2)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C．1＋ D．1＋
答案　C
解析　因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1，所以＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当＝，即a＝3(－1)，b＝时，等号成立．故选C.
【通性通法】
常数代换法求最值的基本步骤
【巩固迁移】
3．若正实数x，y满足2x＋y＝9，则－－的最大值是(　　)
A. B．－
C．6＋4 D．－6－4
答案　B
解析　因为＋＝×(2x＋y)＝≥，当且仅当＝，即x＝，y＝9(2－)时，等号成立，所以－－≤－.故选B.
4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则2a＋b的最小值是(　　)
A．5 B．9
C．13 D．18
答案　B
解析　由lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，可得lg (ab)＝lg (a＋2b)，所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a>0，b>0，则2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B.
考向3消元法、换元法求最值
例3(1)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　因为5x2y2＋y4＝1，所以x2＝，又x2≥0，所以y2∈(0，1]，所以x2＋y2＝y2＋＝＝≥×2＝，当且仅当4y2＝，即y2＝，x2＝时取等号，所以x2＋y2的最小值是.故选B.
(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y的最小值为(　　)
A．2 B．2
C.＋ D．4＋2
答案　C
解析　设x＋1＝a，x＋2y＝b，则x＝a－1，y＝，且a>0，b>0，则＋＝1，2x＋y＝2(a－1)＋＝－，而3a＋b＝(3a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当＝，即a＝，b＝＋1时，等号成立，则2x＋y≥－＝＋.故选C.
【通性通法】
当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
【巩固迁移】
5．(2023·江苏南京高三调研)设a≥0，b≥0，且2＋b＝1，则的最小值为__________．
答案　0
解析　因为2＋b＝1，所以a＝＝，所以＝＝＋－≥2－＝0，当且仅当a＝0，b＝1时取等号．
6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a，b满足2a＋b＝1，则＋的最小值是________．
答案　－
解析　设u＝2－2a，v＝2－b，则a＝，b＝2－v，则u＋v＝3(u>0，v>0)，所以＋＝＋＝＋－＝(u＋v)－＝－≥－＝1＋－＝－，当且仅当v＝6－3，u＝3－3时，等号成立，所以＋的最小值为－.
考向4“和”“积”互化求最值
例4(多选)设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2＋2
B．a＋b有最大值2－2
C．ab有最大值3－2
D．ab有最小值3＋2
答案　AD
解析　∵a>1，b>1，∴ab－1＝a＋b≥2，当a＝b时取等号，即ab－2－1≥0，解得≥＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，∴ab有最小值3＋2.又ab≤，当a＝b时取等号，∴1＝ab－(a＋b)≤－(a＋b)，即(a＋b)2－4(a＋b)≥4，则[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2＋2，∴a＋b有最小值2＋2.故选AD.
【通性通法】
“和”“积”互化求最值的方法
(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．
(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．
【巩固迁移】
7．正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________，2x＋y的最大值为________．
答案　　
解析　∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号．∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤，即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时取等号．
考点二　基本不等式的综合应用
例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[0，＋∞) B.
C. D.
答案　B
解析　依题意得，当x>0时，2a＋1≥＝恒成立，又x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得实数a的取值范围为.故选B.
【通性通法】
1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．
2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．
【巩固迁移】
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则△ABC面积的最大值是(　　)
A．6 B．12
C．18 D．24
答案　A
解析　设AB＝AC＝2m，BC＝2n，因为∠ADB＝π－∠CDB，所以＝－，整理得m2＝9－2n2.设△ABC的面积为S，则S＝BC×＝×2n×＝3n＝3≤3×＝6，当且仅当n＝时，等号成立．故选A.
考点三　基本不等式的实际应用
例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．
答案　37.5
解析　由题意知t＝－1(1【通性通法】
利用基本不等式解决实际应用问题的技巧
【巩固迁移】
9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则(　　)
A．m>10 B．m＝10
C．m<10 D．以上都有可能
答案　A
解析　由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10.因此顾客实际购得的黄金克数m>10.故选A.
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第二节　基本不等式
课标解读 考向预测
1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其证明过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式．从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大，2025年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题.
【知识梳理】
1．基本不等式：≤.
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b．
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2．(简记：积定和最小)
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．(简记：和定积最大)
注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
(2)形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
【常用结论】
1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．
2．若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．常见求最值的模型
模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立；
模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，当且仅当x－a＝时，等号成立；
模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立；
模型四：x(n－mx)＝≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立．
4．三个正数的均值不等式：若a，b，c>0，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)≥2.(　　)
(3)已知0(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.(　　)
2．小题热身
(1)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
(2)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　)
A．4 B.
C. D．2
(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a>0，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值为________．
(4)(人教A必修第一册习题2.2 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．
(5)(人教A必修第一册复习参考题2 T5改编)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．
【考点探究】
考点一　利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1配凑法求最值
例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0A．2 B．4
C．5 D．6
(2)函数y＝(x<－1)的最大值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
【通性通法】
配凑法求最值的关键点
【巩固迁移】
1．函数y＝3x＋的最小值为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a>1，b>1，且log2＝logb4，则ab的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
考向2常数代换法求最值
例2(1)已知0A．50 B．49
C．25 D．7
(2)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C．1＋ D．1＋
【通性通法】
常数代换法求最值的基本步骤
【巩固迁移】
3．若正实数x，y满足2x＋y＝9，则－－的最大值是(　　)
A. B．－
C．6＋4 D．－6－4
4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则2a＋b的最小值是(　　)
A．5 B．9
C．13 D．18
考向3消元法、换元法求最值
例3(1)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是(　　)
A. B. C. D．2
(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y的最小值为(　　)
A．2 B．2
C.＋ D．4＋2
【通性通法】
当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．
【巩固迁移】
5．(2023·江苏南京高三调研)设a≥0，b≥0，且2＋b＝1，则的最小值为__________．
6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a，b满足2a＋b＝1，则＋的最小值是________．
考向4“和”“积”互化求最值
例4(多选)设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2＋2
B．a＋b有最大值2－2
C．ab有最大值3－2
D．ab有最小值3＋2
【通性通法】
“和”“积”互化求最值的方法
(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．
(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．
【巩固迁移】
7．正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________，2x＋y的最大值为________．
考点二　基本不等式的综合应用
例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[0，＋∞) B.
C. D.
【通性通法】
1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．
2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．
【巩固迁移】
8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则△ABC面积的最大值是(　　)
A．6 B．12
C．18 D．24
考点三　基本不等式的实际应用
例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．
【通性通法】
利用基本不等式解决实际应用问题的技巧
【巩固迁移】
9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则(　　)
A．m>10 B．m＝10
C．m<10 D．以上都有可能
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