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第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
课标解读 考向预测
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题. 预计2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题.
【知识梳理】
1．与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事实1的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线 a α
3.基本事实4和等角定理
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
【常用结论】
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．小题热身
(1)(人教A必修第二册习题8.4 T3改编)下列说法正确的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两条直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
答案　C
解析　两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，而DD1与B1C1是异面直线，故B错误；如图2，直线AB与CD是异面直线，若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC α，BD α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB α，CD α，这与直线AB与CD是异面直线矛盾，则直线AC与BD一定不平行，故C正确；如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．故选C.
(2)(2023·四川绵阳中学诊断考试)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
答案　D
解析　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.
(3)(2024·湖北荆州中学阶段考试)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
答案　C
解析　由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故选C.
(4)(2024·浙江杭州二中月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
答案　C
解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1与B1E是共面的，A错误；由于CC1 平面C1B1BC，而AE与平面C1B1BC交于点E，点E不在CC1上，故CC1与AE是异面直线，B错误；同理，AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．故选C.
【考点探究】
考点一　基本事实的应用
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B.
又A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F，
即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，
∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，
∵CE 平面ABCD，D1F 平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝DA，
∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．
【通性通法】
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【巩固迁移】
1．(多选)(2024·湖北襄阳五中质检)下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是(　　)
A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
C．直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线
D．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面
答案　ABC
解析　对于A，当这三点共线时，两个平面可以不重合，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三个点在一条直线上，但平面ABCD与平面ADD1A1相交，不重合，故A不正确；对于B，从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；对于C，如图，记直线AA1，B1C1分别为c，d，直线AB1，A1B1分别为a，b，可知AB1∩A1B1＝B1，则此时直线a，b相交，故C不正确；对于D，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为A，M，O三点共线，直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确．故选ABC.
考点二　空间两条直线的位置关系
例2　(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
答案　D
解析　如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D.
(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，与直线BC1异面的棱有(　　)
A．1条 B.2条
C．3条 D．4条
答案　C
解析　在直三棱柱ABC－A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C.
【通性通法】
空间两条直线位置关系的判定方法和技巧
【巩固迁移】
2．(2023·广东广州调研)若空间中四条直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1，l4既不平行也不垂直
D．l1，l4位置关系不确定
答案　D
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AA1为l2，BB1为l3，AD为l1，BC为l4，则l1∥l4；取AD为l1，AB为l4，则l1⊥l4；取AD为l1，A1B1为l4，则l1与l4异面，因此l1，l4的位置关系不确定．故选D.
3.(2024·南京模拟)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线CD与直线GH异面
B．直线CD与直线EF共面
C．直线AB与直线EF平行
D．直线GH与直线EF共面
答案　B
解析　如图，点C与点G重合，故A错误；∵CE∥BD，且CE＝BD，∴四边形CDBE是平行四边形，∴CD∥EF，∴CD与EF共面，故B正确；∵AB∩EF＝B，∴AB与EF相交，故C错误；∵EF与GH既不平行也不相交，∴EF与GH是异面直线，故D错误．故选B.
考点三　异面直线所成的角
例3　(2024·河北邢台月考)已知圆柱的母线长与底面半径之比为∶2，四边形ABCD为其轴截面，若点E为上底面的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　如图所示，因为AB∥CD，所以∠EDC(或其补角)为异面直线DE与AB所成的角．设CD的中点为O，过点E作EF⊥底面圆于F，连接OE，OF，因为E是的中点，所以F是的中点，CD⊥OF.又因为EF⊥圆O，所以EF⊥CD.由于EF∩OF＝F，OF，EF 平面OEF，则CD⊥平面OEF，OD⊥OE.设AD＝，则OD＝OF＝2.所以OE＝，ED＝，所以cos∠EDC＝＝＝.故选A.
【通性通法】
求异面直线所成角的步骤
(1)作：通过作平行线得到相交直线．
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【巩固迁移】
4．(2023·湖北荆州模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　C
解析　如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角．连接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，又A1D1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1D1⊥平面BCC1B1，∵D1C 平面BCC1B1，∴A1D1⊥D1C，∴△A1CD1为直角三角形，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝，∴∠CA1D1＝60°.故选C.
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第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系
课标解读 考向预测
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题. 预计2025年高考主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假的判断和求解异面直线所成的角，主要以选择题或填空题的形式出现，为中、低档题.
【知识梳理】
1．与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
(2)基本事实1的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
平行关系 图形语言
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交关系 图形语言
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
独有关系 图形语言
符号语言 a，b是异面直线 a α
3.基本事实4和等角定理
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
【常用结论】
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过点A的任意一条直线．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A必修第二册习题8.4 T3改编)下列说法正确的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两条直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
(2)(2023·四川绵阳中学诊断考试)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a α，a β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
(3)(2024·湖北荆州中学阶段考试)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
(4)(2024·浙江杭州二中月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
【考点探究】
考点一　基本事实的应用
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
【通性通法】
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【巩固迁移】
1．(多选)(2024·湖北襄阳五中质检)下列关于点、线、面的位置关系的说法中不正确的是(　　)
A．若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
C．直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线
D．正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面
考点二　空间两条直线的位置关系
例2　(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，与直线BC1异面的棱有(　　)
A．1条 B.2条
C．3条 D．4条
【通性通法】
空间两条直线位置关系的判定方法和技巧
【巩固迁移】
2．(2023·广东广州调研)若空间中四条直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1，l4既不平行也不垂直
D．l1，l4位置关系不确定
3.(2024·南京模拟)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是(　　)
A．直线CD与直线GH异面
B．直线CD与直线EF共面
C．直线AB与直线EF平行
D．直线GH与直线EF共面
考点三　异面直线所成的角
例3　(2024·河北邢台月考)已知圆柱的母线长与底面半径之比为∶2，四边形ABCD为其轴截面，若点E为上底面的中点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
求异面直线所成角的步骤
(1)作：通过作平行线得到相交直线．
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【巩固迁移】
4．(2023·湖北荆州模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．下列叙述错误的是(　　)
A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，则P∈l
B．若直线a∩b＝A，则直线a与b能确定一个平面
C．三点A，B，C确定一个平面
D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是(　　)
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交或异面
B．若α⊥β，m α，n β，则直线m与n一定平行
C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行
3．(2024·辽宁营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2024·辽宁沈阳高三模拟)如图是某正方体的展开图，其中A，B，C，D，E，F分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与AB异面且所成的角为60°的直线是(　　)
A．CD B．DE
C．EF D．CE
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．MN＝EF，且MN与EF平行
B．MN≠EF，且MN与EF平行
C．MN＝EF，且MN与EF异面
D．MN≠EF，且MN与EF异面
6．(2023·山东威海期末)在空间四边形ABCD中，若E，F分别为AB，BC的中点，G∈CD，H∈AD，且CG＝2GD，AH＝2HD，则(　　)
A．直线EH与FG平行
B．直线EH，FG，BD相交于一点
C．直线EH与FG异面
D．直线EG，FH，AC相交于一点
7．(2024·浙江绍兴质检)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
8．(2023·上海浦东华师大二附中练习)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1D1，D1C1，AB的中点，Q是线段MN上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ异面的是(　　)
A．AB1 B．BC1
C．CA1 D．DD1
二、多项选择题
9．(2023·广西梧州模拟)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(　　)
10．(2024·江苏南京一中高三检测)在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
三、填空题
11．(2023·安徽芜湖阶段考试)设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是________．
12.(2024·湖南长郡中学阶段考试)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为________．
13.(2024·陕西渭南模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，A1A的中点，点O为对角线AC，BD的交点，若平面EOF∩平面ABCD＝l，l∩AB＝G，且AG＝kGB，则实数k＝________．
14.(2024·湖南衡阳八中校考阶段练习)如图所示，圆锥底面半径为2，O为底面圆心，A，B为底面圆O上的点，且∠AOB＝，∠PAO＝，则直线OA与PB所成角的余弦值为________．
四、解答题
15.(2024·河南洛阳阶段考试)如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，点G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，H，G四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
16.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【B组 素养提升】
17.(多选)(2023·山西太原模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是(　　)
A．GH与EF平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
18．(多选)(2023·辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱BB′，DD′，CC′上的一点，且＝＝＝λ，H是B′C′的中点，I是棱C′D′上的动点，则(　　)
A．当λ＝时，G∈平面AEF
B．当λ＝时，AC′ 平面AEF
C．当0<λ<1时，存在点I，使A，F，I，H四点共面
D．当0<λ<1时，存在点I，使FI，EH，CC′三条直线交于同一点
19.(2023·河南校考模拟预测)如图，已知四棱锥D1－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M是棱DD1上靠近点D的三等分点，N是BD1的中点，平面AMN交CD1于点H，则＝________．
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