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第五节　空间向量及其运算
课标解读 考向预测
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 从近三年高考来看，本节内容主要与立体几何知识结合考查，预计2025年仍然会与立体几何知识结合，考查空间向量线性运算及数量积运算，试题难度中档.
【知识梳理】
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．
(3)向量a在平面β上的投影
如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平
面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
【常用结论】
1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．空间向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　)
(2)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(3)空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题1.2 T2改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是(　　)
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
(2)(人教A选择性必修第一册习题1.1 T2改编)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
(3)(2024·山东济南期中)在平面ABCD中，＝(－1，1，－1)，＝(－1，3，4)，＝(a，－2，0)，则实数a＝________．
解得x＝－，y＝－，a＝.
(4)(2024·四川成都树德中学模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则 ·＝________．
【考点探究】
考点一　空间向量的线性运算
例1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3)＋1.
【通性通法】
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【巩固迁移】
1．(2023·广东深圳外国语学校期中)在正四面体A－BCD中，其外接球的球心为O，则＝(　　)
A．－＋
B．＋＋
C．＋＋
D．－＋
考点二　共线、共面向量定理的应用
例2　(1)(2023·福建三明模拟)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，则x＋y＝(　　)
A．0 B．－6
C．6 D．5
(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
①判断，，三个向量是否共面；
②判断点M是否在平面ABC内．
【通性通法】
1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y.
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y.
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(4)∥(或∥或∥)．
【巩固迁移】
2．(2023·辽宁沈阳模拟)空间中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
3．(多选)(2024·山东济南模拟)对于空间一点O，下列命题中正确的是(　　)
A．若＝－＋，则P，A，B，C四点共面
B．若＝－＋2－，则P，A，B，C四点共面
C．若＝－＋，则P，A，B三点共线
D．若＝＋2，则B是线段AP的中点
考点三　空间向量的数量积及其应用(多考向探究)
考向1　求空间向量的数量积
例3　(1)已知向量a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，则a·b＝(　　)
A． B．14
C． D．
(2)正四面体O－ABC的棱长为1，E为BC的中点，则·＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【通性通法】
空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
【巩固迁移】
4．(多选)已知四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中正确的是(　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·＝0
5．(2024·山西大同一中月考)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝________．
考向2　利用数量积求长度与夹角
例4　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则向量与夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．
(2)(2024·安徽合肥九中检测)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，D为BC1上一点，且＝，则||＝(　　)
A．2 B．3
C．3 D．4
【通性通法】
(1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角．
【巩固迁移】
6．已知空间三点A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量与的夹角为60°，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
7.(2024·辽宁沈阳模拟)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处．已知库底与水坝所成的二面角为150°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，则甲、乙两人相距(　　)
A．10 m B．10 m
C．70 m D．10 m
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1.(2024·山西太原五中质检)如图，在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，则下列表示正确的是(　　)
A．＋＋
B．＋＋
C．－＋＋
D．＋＋
2．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
4．(2024·上海七宝中学开学考试)已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋z，则x－y＋z＝(　　)
A． B．1
C． D．2
6．(2024·福建漳州模拟)已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a＋b＋c|＝(　　)
A． B．
C．3 D．6
7．(2023·湖南郴州模拟)已知空间A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝5－4＋λ，则λ＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
8．(2023·山东泰安模拟)已知正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则·的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9.(2024·辽宁大连质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A．＝a＋b＋c
B．||＝
C．⊥
D．cos〈，〉＝
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，则此时B，D两点间的距离可能为(　　)
A． B．
C．2 D．3
11.(2023·贵州名校三模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　)
A．当λ＝0时，点P在棱BB1上
B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上
C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上
D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上
三、填空题
12．(2024·广东汕头期末)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
13.(2023·福建厦门一中检测)如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E是上底面A′C′的中心，若＝x(＋＋)，则x＝________；若＝＋m＋n，则m＋n＝________．
14．(2024·湖北武汉模拟)已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
【B组 素养提升】
15.(多选)(2023·黑龙江哈尔滨期中)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是60°，下列说法中正确的是(　　)
A．AC1＝6
B．AC1⊥BD
C．向量与的夹角是60°
D．向量与所成角的余弦值为
16．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝________．
17.(2024·江苏南京摸底)如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证＋＋为定值，并求出该定值．
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第五节　空间向量及其运算
课标解读 考向预测
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 从近三年高考来看，本节内容主要与立体几何知识结合考查，预计2025年仍然会与立体几何知识结合，考查空间向量线性运算及数量积运算，试题难度中档.
【知识梳理】
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积
非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角余弦值 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
4．投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．
(3)向量a在平面β上的投影
如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平
面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
【常用结论】
1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．空间向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　)
(2)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(3)空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题1.2 T2改编)若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是(　　)
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
答案　C
解析　∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，∴A，B，D不符合题意．故选C.
(2)(人教A选择性必修第一册习题1.1 T2改编)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
答案　A
解析　由题意，得＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选A.
(3)(2024·山东济南期中)在平面ABCD中，＝(－1，1，－1)，＝(－1，3，4)，＝(a，－2，0)，则实数a＝________．
答案　
解析　由于，，共面，所以存在实数x，y，使得＝x＋y，所以
解得x＝－，y＝－，a＝.
(4)(2024·四川成都树德中学模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则 ·＝________．
答案　3
解析　设＝a，＝b，＝c，由题意得，|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝1，b·c＝1，·＝(b＋c)·(b＋a)＝b2＋b·c＋b·a＋a·c＝1＋1＋0＋1＝3.
【考点探究】
考点一　空间向量的线性运算
例1　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3)＋1.
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋＝a＋b＋c.
【通性通法】
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【巩固迁移】
1．(2023·广东深圳外国语学校期中)在正四面体A－BCD中，其外接球的球心为O，则＝(　　)
A．－＋
B．＋＋
C．＋＋
D．－＋
答案　C
解析　在正四面体A－BCD中，设△BCD的中心为E，BC的中点为F.因为O是外接球的球心，所以＝，又因为＝＋＝＋×＝＋＋，所以＝＋＋.故选C.
考点二　共线、共面向量定理的应用
例2　(1)(2023·福建三明模拟)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，则x＋y＝(　　)
A．0 B．－6
C．6 D．5
答案　C
解析　n＝(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c，因为m∥n，所以存在实数λ，使得n＝λm，所以(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c＝λ(2a＋3b－c)，所以解得所以x＋y＝6.故选C.
(2)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
①判断，，三个向量是否共面；
②判断点M是否在平面ABC内．
解　①由题知＋＋＝3，
所以－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
所以，，共面．
②解法一：由①知，，，共面且所在直线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
解法二：因为＝(＋＋)＝＋＋，且＋＋＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
【通性通法】
1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y.
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y.
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(4)∥(或∥或∥)．
【巩固迁移】
2．(2023·辽宁沈阳模拟)空间中，若向量a＝(5，9，m)，b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)共面，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　C
解析　因为b＝(1，－1，2)，c＝(2，5，1)，所以b，c不共线，可以取为基底．若向量a，b，c共面，则存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，即(5，9，m)＝x(1，－1，2)＋y(2，5，1)，即解得故选C.
3．(多选)(2024·山东济南模拟)对于空间一点O，下列命题中正确的是(　　)
A．若＝－＋，则P，A，B，C四点共面
B．若＝－＋2－，则P，A，B，C四点共面
C．若＝－＋，则P，A，B三点共线
D．若＝＋2，则B是线段AP的中点
答案　BCD
解析　对于A，因为－1＋＝0≠1，所以P，A，B，C四点不共面，故A错误；对于B，因为－＋2－＝1，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C，因为－＋＝1，所以P，A，B三点共线，故C正确；对于D，＝＋2，即－＝2，即＝2，则||＝2||，，共线，且点P，B在点A的一侧，又因为，有公共点A，所以A，P，B三点共线，且B是线段AP的中点，故D正确．故选BCD.
考点三　空间向量的数量积及其应用(多考向探究)
考向1　求空间向量的数量积
例3　(1)已知向量a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，则a·b＝(　　)
A． B．14
C． D．
答案　B
解析　因为|a＋b|＝|3a－b|，所以|a＋b|2＝|3a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，则a·b＝a2，因为a＝(2，1，3)，所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14.故选B.
(2)正四面体O－ABC的棱长为1，E为BC的中点，则·＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　B
解析　以{，，}为基底，则||＝||＝||＝1，且，，两两夹角为60°，则＝－，＝(＋)，·＝(＋)·(－)＝(2＋·－·－·)＝×＝.故选B.
【通性通法】
空间向量数量积的计算方法
(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.
(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
【巩固迁移】
4．(多选)已知四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中正确的是(　　)
A．|＋＋|＝|＋－|
B．|＋＋|2＝||2＋||2＋||2
C．(＋＋)·＝0
D．·＝·＝·＝0
答案　ABD
解析　如图，作以AB，AC为邻边的平行四边形ACEB，连接AE.对于A，因为AB，AC，AD两两互相垂直，所以AD⊥平面ABC，又AE 平面ABC，所以AD⊥AE，所以·＝0，若|＋＋|＝|＋－|，则|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，所以A正确；对于B，因为|＋＋|2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2，所以B正确；对于C，因为AD⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AD⊥BC，所以·＝0，所以(＋＋)·＝(＋)·＝·＋·＝·，因为与不一定垂直，所以·不一定等于零，所以C错误；对于D，因为AB，AC，AD两两互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一点A，所以AB⊥平面ACD，AC⊥平面ABD，CD 平面ACD，BD 平面ABD，所以AB⊥CD，AC⊥BD，又AD⊥BC，所以·＝·＝·＝0，所以D正确．故选ABD.
5．(2024·山西大同一中月考)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝________．
答案　－1
解析　由题意，得a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝a·c＝12×cos＝，则·＝(2a－2b)·(b－c)＝2a·b－2a·c－2b2＋2b·c＝－1.
考向2　利用数量积求长度与夹角
例4　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则向量与夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C．－ D．
答案　A
解析　解法一(基底法)：如图，||＝2，||＝，·＝(＋)·(－＋＋)＝2，记向量与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.故选A．
解法二(空间向量法)：建立如图所示的空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(1，1，)，＝(－1，0，)，设与的夹角为θ，则cosθ＝＝.故选A.
(2)(2024·安徽合肥九中检测)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2，D为BC1上一点，且＝，则||＝(　　)
A．2 B．3
C．3 D．4
答案　A
解析　由题意，得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋－)＝＋＋，2＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝×4＋×4＋×4＋×2＋0＋×2＝4，则||＝2.故选A.
【通性通法】
(1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题．
(2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角．
【巩固迁移】
6．已知空间三点A(－2，0，8)，P(m，m，m)，B(4，－4，6)，若向量与的夹角为60°，则实数m＝(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案　B
解析　∵＝(－2－m，－m，8－m)，＝(4－m，－4－m，6－m)，∴·＝(－2－m)(4－m)＋(－m)(－4－m)＋(8－m)(6－m)＝3m2－12m＋40，
||＝
＝，
||＝＝
，由·＝||||·cos60°，得3m2－12m＋40＝(3m2－12m＋68)×，整理，得m2－4m＋4＝0，解得m＝2.故选B.
7.(2024·辽宁沈阳模拟)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处．已知库底与水坝所成的二面角为150°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，则甲、乙两人相距(　　)
A．10 m B．10 m
C．70 m D．10 m
答案　D
解析　由题意可得，＝＋＋，则||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，又DA＝30 m，CB＝40 m，AB＝20 m，且库底与水坝所成的二面角为150°，则〈，〉＝30°，所以||2＝(30)2＋202＋402＋0＋2×30×40×cos30°＋0＝8300，即||＝10.故选D.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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