资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第三节　空间直线、平面的平行
课标解读 考向预测
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明. 2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用. 近几年空间直线与平面平行的有关知识，一直是高考命题的热点，重点考查学生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力以及转化思想．预计2025年高考这一部分知识仍会考查，以解答题第(1)问的形式出现，难度中档.
【知识梳理】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α　　
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b　
【常用结论】
1．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a α，则a∥β.
2．三种平行关系的转化
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)
(2)若直线a 平面α，直线b 平面β，a∥b，则α∥β.(　　)
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)(人教A必修第二册习题8.5 T1改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　)
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案　D
解析　因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交．故选D.
(2)已知不重合的直线a，b和平面α，则下列说法正确的是(　　)
A．若a∥α，b α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b α，则a∥α
D．若a∥b，a α，则b∥α或b α
答案　D
解析　若a∥α，b α，则a，b平行或异面，A错误；若a∥α，b∥α，则a，b平行、异面或相交，B错误；若a∥b，b α，则a∥α或a α，C错误；若a∥b，a α，则b∥α或b α，D正确．故选D.
(3)(2024·福建宁德一中质检)已知α，β是空间两个不同的平面，命题p：“α∥β”，命题q：“平面α内有无数条直线与β平行”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若α∥β，则平面α内的任意一条直线平行于另一个平面，故平面α内有无数条直线与β平行，所以p可以推出q；根据面面平行的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．若平面α内有无数条直线与β平行，则α与β可能相交，不一定平行，所以q不能推出p.故选A.
(4)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
答案　平行四边形
解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
【考点探究】
考点一　空间中平行关系的基本问题
例1　在下列判断两个平面α与β平行的四个命题中，真命题的个数是(　　)
①α，β都垂直于平面γ，那么α∥β；
②α，β都平行于平面γ，那么α∥β；
③α，β都垂直于直线l，那么α∥β；
④如果l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　D
解析　如图，易知在正方体中相邻两个侧面都垂直于底面，故①是假命题；由平面平行的传递性可知②是真命题；由线面垂直的性质可知③是真命题；过直线l作平面γ与α，β分别交于l1，l2，过直线m作平面χ与α，β分别交于m1，m2，因为l∥α，l∥β，所以l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，因为l1 β，l2 β，所以l1∥β，同理，m1∥β，又l，m是两条异面直线，所以l1，m1相交，且l1 α，m1 α，所以α∥β，故④是真命题．故选D.
【通性通法】
(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．
(2)直线、平面间平行的判定方法
①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件；
②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；
③利用实物进行空间想象，比较判断；
④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
【巩固迁移】
1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥β，b∥β a∥b；
③a∥c，c∥α a∥α；④a∥β，a∥α α∥β；
⑤a α，b α，a∥b a∥α.
其中正确的命题是(　　)
A．①⑤ B．①②
C．②④ D．③⑤
答案　A
解析　对于①，由基本事实4，可知①正确；对于②，若a∥β，b∥β，则a，b共面或异面，故②错误；对于③，若a∥c，c∥α，则a∥α或a α，故③错误；对于④，若a∥β，a∥α，则α，β平行或相交，故④错误；对于⑤，由a α，b α，a∥b，根据线面平行的判定定理，可得a∥α，故⑤正确．故选A.
考点二　直线与平面平行的判定与性质(多考向探究)
考向1　直线与平面平行的判定
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点．求证：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
证明　(1)如图，连接BD交AC于O，
连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又F是PD的中点，
∴OF∥PB，
又OF 平面ACF，PB 平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)证法一：如图，取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，∴GF綊AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綊AD，∴GF綊BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，
又EF 平面PAB，BG 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
证法二：如图，取AD的中点H，
连接FH，EH.
∵F为PD的中点，
∴FH是△PAD的中位线，
∴FH綊PA，
又PA 平面PAB，FH 平面PAB，
∴FH∥平面PAB.
∵H为AD的中点，E为BC的中点，
∴EH∥AB，又AB 平面PAB，EH 平面PAB，
∴EH∥平面PAB，又FH∩EH＝H，
∴平面EFH∥平面PAB，
又EF 平面EFH，∴EF∥平面PAB.
【通性通法】
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客观题可用)．
【巩固迁移】
2．如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
证明　证法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AP＝DQ，∴PE＝QB，
又PM∥AB∥QN，
∴＝＝＝，∴＝.
又AB＝DC，∴PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，
∴PQ∥MN.
又MN 平面BCE，PQ 平面BCE，
∴PQ∥平面BCE.
证法二：如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE交AB于M，连接QM，
∵BE 平面BCE，PM 平面BCE，
∴PM∥平面BCE，
∵PM∥BE，∴＝，
又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，
∴＝，∴＝，
∴MQ∥AD，
又AD∥BC，
∴MQ∥BC，
∵BC 平面BCE，MQ 平面BCE，
∴MQ∥平面BCE，
又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，
又PQ 平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
考向2　直线与平面平行的性质
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又PA 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
【通性通法】
应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
【巩固迁移】
3．如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，EF与AD不重合．求证：四边形BCFE是梯形．
证明　∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．
考点三　平面与平面平行的判定与性质
例4　(2024·江西九江一中质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，
(1)若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；
(2)若D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值．
解　(1)证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG，
∵A1G∥EB，A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB，又A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG，
又A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
(2)如图，连接A1B，AB1，设A1B与AB1相交于点O，连接OD1，
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，
∴＝＝1，即D1为线段A1C1的中点，∴D为线段AC的中点，即＝1.
【通性通法】
1．判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
2．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
【巩固迁移】
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明　(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，
平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G∩平面ABC＝GH，
则A1C1∥GH，
又A1C1∥AC，∴GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
考点四　平行关系的综合应用
例5　(2023·广东佛山高三模拟)在三棱锥S－ABC中，AB⊥平面SAC，AS⊥SC，AB＝1，AC＝，E为AB的中点，M为CE的中点，在线段SB上是否存在一点N，使MN∥平面SAC？若存在，指出点N的位置并给出证明；若不存在，说明理由．
解　存在点N为SB上的靠近S的四等分点，
即SN＝SB，使MN∥平面SAC.
证明如下：取AE的中点F，连接FN，FM，则MF∥AC，
因为AC 平面SAC，MF 平面SAC，
所以MF∥平面SAC，
因为AF＝AE＝AB，SN＝SB，
所以FN∥SA，
又SA 平面SAC，FN 平面SAC，
所以FN∥平面SAC，
又MF∩FN＝F，MF，FN 平面MNF，
所以平面MNF∥平面SAC，
又MN 平面MNF，所以MN∥平面SAC.
【通性通法】
三种平行关系的转化
解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．
【巩固迁移】
5．(2024·河北衡水月考)如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于点E，将△AED沿直线DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如图2.
(1)求三棱锥C－A′BD的体积；
(2)在线段A′D上是否存在一点F，使EF∥平面A′BC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解　(1)由题意可知，在菱形ABCD中，
∠A＝60°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，DE⊥AB，
故AE＝EB＝2，ED＝2，
所以在四棱锥A′－EBCD中，A′E⊥ED，A′E⊥EB，
又ED∩EB＝E，
所以A′E⊥平面EBCD，且A′E＝AE＝2，
连接BD，因为BC＝CD＝4，∠BCD＝60°，
则S△BCD＝×4×2＝4，
所以VC－A′BD＝VA′－BCD＝S△BCD·A′E＝×4×2＝.
故三棱锥C－A′BD的体积为.
(2)设线段A′D的中点为F，线段A′C的中点为G，连接EF，FG，GB，
因为F为A′D的中点，
G为A′C的中点，
所以FG∥DC，FG＝DC＝2，
又由(1)得，EB∥DC，EB＝2，
所以FG∥EB，FG＝EB，
所以四边形EBGF为平行四边形，
故EF∥BG，EF＝BG，
又EF 平面A′BC，BG 平面A′BC，
所以EF∥平面A′BC，此时F为A′D的中点，故＝1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第三节　空间直线、平面的平行
课标解读 考向预测
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明. 2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用. 近几年空间直线与平面平行的有关知识，一直是高考命题的热点，重点考查学生的空间想象能力、计算能力、推理论证能力以及转化思想．预计2025年高考这一部分知识仍会考查，以解答题第(1)问的形式出现，难度中档.
【知识梳理】
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α　　
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b　
【常用结论】
1．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a α，则a∥β.
2．三种平行关系的转化
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)
(2)若直线a 平面α，直线b 平面β，a∥b，则α∥β.(　　)
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A必修第二册习题8.5 T1改编)下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是(　　)
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
(2)已知不重合的直线a，b和平面α，则下列说法正确的是(　　)
A．若a∥α，b α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b α，则a∥α
D．若a∥b，a α，则b∥α或b α
(3)(2024·福建宁德一中质检)已知α，β是空间两个不同的平面，命题p：“α∥β”，命题q：“平面α内有无数条直线与β平行”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(4)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
【考点探究】
考点一　空间中平行关系的基本问题
例1　在下列判断两个平面α与β平行的四个命题中，真命题的个数是(　　)
①α，β都垂直于平面γ，那么α∥β；
②α，β都平行于平面γ，那么α∥β；
③α，β都垂直于直线l，那么α∥β；
④如果l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
【通性通法】
(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是选择题还是含有选择项的填空题，都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除，再逐步判断其余选项．
(2)直线、平面间平行的判定方法
①关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件；
②结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；
③利用实物进行空间想象，比较判断；
④熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．
【巩固迁移】
1．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．
①a∥c，b∥c a∥b；②a∥β，b∥β a∥b；
③a∥c，c∥α a∥α；④a∥β，a∥α α∥β；
⑤a α，b α，a∥b a∥α.
其中正确的命题是(　　)
A．①⑤ B．①②
C．②④ D．③⑤
考点二　直线与平面平行的判定与性质(多考向探究)
考向1　直线与平面平行的判定
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点．求证：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
【通性通法】
判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)(客观题可用)．
【巩固迁移】
2．如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.
考向2　直线与平面平行的性质
例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
【巩固迁移】
3．如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，EF与AD不重合．求证：四边形BCFE是梯形．
考点三　平面与平面平行的判定与性质
例4　(2024·江西九江一中质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，
(1)若E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG；
(2)若D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值．
【通性通法】
1．判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
2．面面平行的应用
(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．
【巩固迁移】
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
考点四　平行关系的综合应用
例5　(2023·广东佛山高三模拟)在三棱锥S－ABC中，AB⊥平面SAC，AS⊥SC，AB＝1，AC＝，E为AB的中点，M为CE的中点，在线段SB上是否存在一点N，使MN∥平面SAC？若存在，指出点N的位置并给出证明；若不存在，说明理由．
【通性通法】
三种平行关系的转化
解决存在问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在．
【巩固迁移】
5．(2024·河北衡水月考)如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于点E，将△AED沿直线DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如图2.
(1)求三棱锥C－A′BD的体积；
(2)在线段A′D上是否存在一点F，使EF∥平面A′BC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a α，b α，则b∥α
2．(2023·广东湛江模拟)设α，β是两个不重合的平面，下列选项中，是“α∥β ”的充要条件的是(　　)
A．α内存在无数条直线与β平行
B．存在直线l与α，β所成的角相等
C．存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β
D．α内存在不共线的三个点到β的距离相等
3.(2024·湖南岳阳一中阶段考试)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
4.(2023·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α与线段PA，PB，PC分别交于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
5.(2023·福州检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点，则下列叙述中正确的是(　　)
A．直线BQ∥平面EFG
B．直线A1B∥平面EFG
C．平面APC∥平面EFG
D．平面A1BQ∥平面EFG
6．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
7．(2024·河北承德模拟)如图所示，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，点Q在直线CD上，则PQ＝(　　)
A．a B．a
C．a D．a
8.(2023·重庆联考)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，点G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则＝(　　)
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．(2023·山东济宁期末)已知m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
C．若m∥n，n α，α∥β，m β，则m∥β
D．若m∥n，n⊥α，α⊥β，则m∥β
10．(2023·江苏常州模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　)
三、填空题
11.(2023·陕西安康模拟)如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AD的中点，BC与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________．
12．(2024·河南信阳光山中学质检)正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面ACD1平行的面对角线有________条．
13.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________，就有MN∥平面B1BDD1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
14.(2024·江苏辅仁高级中学阶段考试)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别是AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是________．
四、解答题
15．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
16.(2023·广西柳州模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点．
(1)当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB；
(2)当PB∥平面AMN时，求出点M的位置，并说明理由．
【B组 素养提升】
17．(2023·江西赣州统考二模)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P满足＝4，E，F分别为棱BC，CD的中点，点Q在正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上运动，满足A1Q∥平面EFP，则点Q的轨迹所构成图形的周长为(　　)
A． B．2
C． D．
18．(多选)(2024·湖南长郡中学月考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝2，∠ABC＝，M是AB的中点，N是A1C1的中点，点P在线段B1N上，点Q是线段CM上靠近M的三等分点，R是线段AC1的中点，若PR∥平面B1CM，则(　　)
A．PR∥B1Q
B．P为B1N的中点
C．三棱锥P－B1CM的体积为
D．三棱锥P－ABC外接球的表面积为
19．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑