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第一节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
课标解读 考向预测
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 近几年高考对本节内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线的方程，以常规题型常规解法为主要方向，常结合圆锥曲线考查．预计2025年高考会继续考查直线与其他知识的交汇融合，以运算为主.
【知识梳理】
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线的方向向量同斜率的关系
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．
5．直线的截距
若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零．
6．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论】
1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
2．两直线的夹角公式
若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.(　　)
(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.1 T3改编)若直线经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)，且其倾斜角为135°，则m的值为(　　)
A．0 B．－
C． D．
答案　D
解析　经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)的直线的斜率为k＝＝，又直线的倾斜角为135°，所以＝－1，解得m＝.故选D.
(2)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝(　　)
A．4 B．3
C．－1 D．1
答案　D
解析　因为A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是斜率k＝2的直线上的三个点，所以kAB＝kAC＝2，所以＝＝2，解得x＝4，y＝－3，则x＋y＝1.故选D.
(3)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　B
解析　因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，将直线方程Ax＋By＋C＝0化为y＝－x＋，因为AC<0，且BC>0，可得直线的斜率k＝－>0，在y轴上的截距为－<0，所以直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故选B.
(4)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
【考点探究】
考点一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)直线y＝－x＋3的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案　C
解析　设直线y＝－x＋3的倾斜角为α，因为直线的斜率为k＝tanα＝－，所以α＝120°.故选C.
(2)已知点A(－1，2)，B(2，)，P(1，0)，点Q是线段AB上的动点，则直线PQ的斜率的范围为____________，直线PQ的倾斜角的范围为____________．
答案　(－∞，－1]∪[，＋∞)　
解析　如图，kPA＝＝－1，kPB＝＝，则直线PQ的斜率的范围为(－∞，－1]∪[，＋∞)．因为直线PA，PB对应的倾斜角分别为，，则直线PQ的倾斜角的范围为.
【通性通法】
确定倾斜角与斜率范围的常用方法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【巩固迁移】
1．已知直线l的方程为xsinα＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A．∪ B．∪
C． D．
答案　B
解析　直线l的方程为xsinα＋y－1＝0，则直线l的斜率k＝－sinα∈，设直线l的倾斜角为θ(0≤θ<π)，故k＝tanθ∈，所以当k∈时，θ∈；当k∈时，θ∈.综上所述，直线l的倾斜角θ的取值范围是∪.故选B.
2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．
答案　　－3
解析　如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
考点二　求直线的方程
例2　由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)；
(5)在x轴上的截距是－7，倾斜角是45°；
(6)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3.
解　(1)由点斜式得y＋2＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)因为直线平行于x轴，所以直线的斜率等于0，由点斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0.
(3)因为在x轴和y轴上的截距分别是，－3，所以直线方程的截距式为＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，
即x＋y－1＝0.
(5)直线的斜率k＝tan45°＝1，由点斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0.
(6)直线的斜率为tan60°＝，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在y轴上的截距为±3，所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3，即x－y＋3＝0或x－y－3＝0.
【通性通法】
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
提醒：(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0.
【巩固迁移】
3．(2024·山东日照一中质检)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
答案　D
解析　解法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，因为直线过点A(1，4)，所以－＝1，解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0.综上，直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D.
解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时，不符合题意．设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)，当x＝0时，y＝4－k，当y＝0时，x＝1－，由题意知1－＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D.
4．求适合下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
(3)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，且l过点A(－4，3)．
解　(1)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tanα＝3，
所以tan2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)由题意，可知所求直线的斜率为±1.
又过点B(3，4)，由点斜式，得所求直线方程为y－4＝±(x－3)，即x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
(3)解法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，
所以直线l的斜率k＝，故直线l的方程为y－3＝(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.
解法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，所以直线l的方程为y－3＝(x＋4)，即3x－2y＋18＝0.
考点三　直线方程的应用(多考向探究)
考向1　直线方程与不等式的结合
例3　(2024·四川成都七中诊断考试)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|最小时，直线l的方程为________．
答案　x＋y－3＝0
解析　设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)·－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
【通性通法】
求解与直线方程有关的最值问题，一般是先根据题意建立目标函数，然后利用基本不等式(或函数)解决问题．
【巩固迁移】
5．若直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，则＋的最小值为(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
答案　B
解析　因为直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1(m>0，n>0)．所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝且2m＋n＝1，即时取等号，所以＋的最小值为8.故选B.
考向2　直线方程与函数的结合
例4　(2023·江苏泰州模拟)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，则公寓的最大面积为________m2(精确到1 m2)．
答案　6017
解析　在线段AB上任取一点P，分别向CD，DE作垂线，划出一块长方形地面，以BC，EA的交点为原点，BC，EA所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则AB的方程为＋＝1.设P，则长方形的面积S＝(100－x)(0≤x≤30)．化简得S＝－x2＋x＋6000(0≤x≤30)．当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为≈6017 m2.
【通性通法】
求解与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数，借助函数的性质解题．
【巩固迁移】
6．过坐标原点O作直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂线，垂足为H(s，t)，则s2＋t2的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．(0，2]
C．[0，8] D．(0，8]
答案　D
解析　依题意，得＝(s，t)，直线l的方向向量n＝(a－1，a＋2)，则有解得因此s2＋t2＝＝，因为当a＝－时，2＋取得最小值，所以0<≤8，即s2＋t2的取值范围是(0，8]．故选D.
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第一节　直线的倾斜角、斜率与直线的方程
课标解读 考向预测
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 近几年高考对本节内容的考查方式及题目难度变化不大，主要考查直线的方程，以常规题型常规解法为主要方向，常结合圆锥曲线考查．预计2025年高考会继续考查直线与其他知识的交汇融合，以运算为主.
【知识梳理】
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线的方向向量同斜率的关系
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．
5．直线的截距
若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零．
6．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
【常用结论】
1．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
2．两直线的夹角公式
若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.(　　)
(3)斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.1 T3改编)若直线经过两点A(m，1)，B(2－3m，2)，且其倾斜角为135°，则m的值为(　　)
A．0 B．－
C． D．
(2)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k＝2，且A(3，5)，B(x，7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＋y＝(　　)
A．4 B．3
C．－1 D．1
(3)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T10改编)如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(4)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
【考点探究】
考点一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)直线y＝－x＋3的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)已知点A(－1，2)，B(2，)，P(1，0)，点Q是线段AB上的动点，则直线PQ的斜率的范围为____________，直线PQ的倾斜角的范围为____________．
【通性通法】
确定倾斜角与斜率范围的常用方法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【巩固迁移】
1．已知直线l的方程为xsinα＋y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A．∪ B．∪
C． D．
2．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．
考点二　求直线的方程
例2　由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)；
(5)在x轴上的截距是－7，倾斜角是45°；
(6)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3.
【通性通法】
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
提醒：(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0.
【巩固迁移】
3．(2024·山东日照一中质检)过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y＋3＝0
B．x＋y－5＝0
C．4x－y＝0或x＋y－5＝0
D．4x－y＝0或x－y＋3＝0
4．求适合下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
(3)已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，且l过点A(－4，3)．
考点三　直线方程的应用(多考向探究)
考向1　直线方程与不等式的结合
例3　(2024·四川成都七中诊断考试)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，当|MA|·|MB|最小时，直线l的方程为________．
【巩固迁移】
5．若直线mx＋ny＋1＝0(m>0，n>0)经过点(－2，－1)，则＋的最小值为(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
考向2　直线方程与函数的结合
例4　(2023·江苏泰州模拟)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，则公寓的最大面积为________m2(精确到1 m2)．
【通性通法】
求解与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数，借助函数的性质解题．
【巩固迁移】
6．过坐标原点O作直线l：(a＋2)x＋(1－a)y－6＝0的垂线，垂足为H(s，t)，则s2＋t2的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．(0，2]
C．[0，8] D．(0，8]
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