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第三节 圆的方程
课标解读 考向预测
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 近三年主要考查了圆的方程及应用，主要以选择题或填空题的形式出现．预计2025年高考仍会考查，且以选择题、填空题为主，难度中档.
【知识梳理】
1．圆的定义及圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系：
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点在圆内 |MC|【常用结论】
1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.( )
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．小题热身
(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.故选D.
(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．
答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2
解析 因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2 T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．
答案 2
解析 ∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.
(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2 T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．
答案 (x＋3)2＋(y－3)2＝10
解析 点(0，2)与点(－4，0)确定直线的斜率为k＝＝，其中点为(－2，1)，所以线段的中垂线方程为y－1＝－2(x＋2)，即2x＋y＋3＝0，又圆心在直线x＋y＝0上，由
解得所以圆心为(－3，3)，r＝＝，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.
【考点探究】
考点一 求圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．
答案 x2＋y2＋4x－2y＝0
解析 设直径的两个端点分别为A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.∴半径r＝＝，∴圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．
答案 (x＋1)2＋(y－1)2＝2
解析 设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，所以
解得因此(x＋1)2＋(y－1)2＝2即为所求圆的方程．
【通性通法】
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【巩固迁移】
1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝13
解析 由题设知，|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，∴|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析 解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意，得
解得故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法二：线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，联立解得交点坐标C(－1，－2)，又点C到点A的距离d＝，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 (2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)解法一：设C(x，y)，
因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且直线AC，BC的斜率均存在，
所以kACkBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简，
得x2＋y2－2x－3＝0.
因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式，得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)，知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入，得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
所以直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
【通性通法】
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
【巩固迁移】
3．已知两点A(－5，0)，B(5，0)，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程为________________．
答案 x2＋y2－x＋25＝0
解析 设P(x，y)，由题意可知|PA|＝3|PB|，由两点间距离公式，可得＝3，化简，得x2＋y2－x＋25＝0.
4．(2023·江苏淮安一模)已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上一点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)如图，设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
考点三 与圆有关的最值问题(多考向探究)
考向1 借助几何性质求最值
例3 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
因为直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
解得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线x－y＋b＝0与圆C相切时，截距b取到最值，所以＝2，
解得b＝9或b＝1，
所以y－x的最大值为9，最小值为1.
【通性通法】
借助几何性质求最值的常见形式及求解方法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【巩固迁移】
5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 A
解析 设圆心为C(x，y)，则 ＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号．故选A.
6．已知A(－2，0)，B(2，0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－)2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最大值为( )
A．40 B．46
C．48 D．58
答案 D
解析 设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.圆C的圆心为C(3，)，半径为r＝1，|OC|＝4，所以|PO|2的最大值为(|OC|＋r)2＝(4＋1)2＝25，所以|AP|2＋|BP|2的最大值为58.
考向2 构建目标函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【通性通法】
建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
【巩固迁移】
7．等边三角形ABC的面积为9，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则·的最小值为( )
A．－5－2 B．－5－4
C．－6－2 D．－6－4
答案 A
解析 设等边三角形ABC的边长为a，则面积S＝a2＝9，解得a＝6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M为△ABC的内心，则M在OC上，且|OM|＝|OC|，则A(－3，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，)，由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．设N(x，y)，则x2＋(y－)2＝1，即x2＋y2－2y＋2＝0，且－1≤y≤1＋，又＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(x＋3)(x－3)＋y2＝x2＋y2－9＝2y－11≥2×(－1)－11＝－5－2.
考向3 利用对称性求最值
例5 一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是( )
A．5－1 B．5＋1
C．3＋1 D．3－1
答案 A
解析 如图，依题意知，圆C的圆心C(3，3)，半径r＝1，点A(－2，2)关于x轴的对称点为A′(－2，－2)，连接A′C交x轴于点O，交圆C于点B，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点A′与圆C上的点的距离的最小值为|A′B|＝|A′C|－r＝－1＝5－1.在x轴上任取点P，连接AP，A′P，PC，PC交圆C于点B′，而|AO|＝|A′O|，|AP|＝|A′P|，|AO|＋|OB|＝|A′O|＋|OB|＝|A′B|＝|A′C|－r≤|A′P|＋|PC|－r＝|AP|＋|PB′|，当且仅当点P与点O重合时取“＝”，所以最短路径的长度是5－1.故选A.
【通性通法】
求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【巩固迁移】
8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
答案 2－1
解析 根据题意画出圆C：x2＋(y－2)2＝1，以及点B(6，2)的图象如图，作B关于x轴的对称点B′，连接B′C，则当A，P分别是B′C与圆和x轴的交点时，|PA|＋|PB|最小，最小值|AB′|为点C(0，2)到点B′(6，－2)的距离减去圆的半径，即|AB′|＝－1＝2－1.
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第三节 圆的方程
课标解读 考向预测
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 近三年主要考查了圆的方程及应用，主要以选择题或填空题的形式出现．预计2025年高考仍会考查，且以选择题、填空题为主，难度中档.
【知识梳理】
1．圆的定义及圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
注意：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2或x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0之间存在着下列关系：
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MC|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点在圆外 |MC|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点在圆内 |MC|【常用结论】
1．确定圆的方程时，常用到的圆的两个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆x2＋y2＝a2的半径为a.( )
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
2．小题热身
(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2，3)，3 B．(－2，3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是________________．
(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2 T7改编)若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________．
(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2 T6改编)圆心在直线x＋y＝0上，且过点(0，2)，(－4，0)的圆的标准方程为________________．
【考点探究】
考点一 求圆的方程
例1 (1)已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的一般方程是________________．
(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(0，2)，C(－2，2)，则其外接圆的标准方程为________________．
【通性通法】
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【巩固迁移】
1．(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为________________．
2．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 (2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【通性通法】
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
【巩固迁移】
3．已知两点A(－5，0)，B(5，0)，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程为________________．
4．(2023·江苏淮安一模)已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上一点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
考点三 与圆有关的最值问题(多考向探究)
考向1 借助几何性质求最值
例3 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
【通性通法】
借助几何性质求最值的常见形式及求解方法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【巩固迁移】
5．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
6．已知A(－2，0)，B(2，0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－)2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最大值为( )
A．40 B．46
C．48 D．58
考向2 构建目标函数求最值
例4 (2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
【通性通法】
建立函数关系式求最值时，首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
【巩固迁移】
7．等边三角形ABC的面积为9，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则·的最小值为( )
A．－5－2 B．－5－4
C．－6－2 D．－6－4
考向3 利用对称性求最值
例5 一束光线，从点A(－2，2)出发，经x轴反射到圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是( )
A．5－1 B．5＋1
C．3＋1 D．3－1
【通性通法】
求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【巩固迁移】
8．(2024·浙江金华模拟)已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一动点A和定点B(6，2)，点P为x轴上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
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