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第二节　两条直线的位置关系与距离公式
课标解读 考向预测
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 近三年高考考查了点到直线的距离公式，以与圆锥曲线交汇融合的形式出现在多选题和填空题中，两条直线的位置关系也是常考内容之一，难度不大．预计2025年高考会继续以多选题或填空题的形式与其他知识交汇考查.
【知识梳理】
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2方程系数满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2
垂直 k1k2＝－1
相交 k1≠k2
直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l3，l4方程系数满足的条件
平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 A1B2－A2B1≠0
2.两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组的解．
相交 方程组有唯一解；
平行 方程组无解；
重合 方程组有无数个解．
注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
【常用结论】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.3 T6改编)点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为________．
答案　
解析　点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.
(2)(人教A选择性必修第一册习题2.3 T7改编)两条平行线l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为________．
答案　
解析　依题意，将直线l1：3x＋4y－6＝0化为l1：9x＋12y－18＝0，又l2：9x＋12y－10＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.
(3)(人教A选择性必修第一册习题2.3 T1改编)两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是________．
答案　(2，3)
解析　联立得所以两条直线的交点坐标为(2，3)．
(4)直线l1：px＋3y＋1＝0与直线l2：6x－2y－5＝0垂直，则p的值为________．
答案　1
解析　由题意，得6p＋3×(－2)＝0，解得p＝1.
【考点探究】
考点一　两条直线的位置关系(多考向探究)
考向1　判断两条直线的位置关系
例1　(1)直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
答案　B
解析　方程2x＋y＋1＝0可化为y＝－2x－1，因此该直线的斜率k1＝－2.方程x＋2y＋1＝0可化为y＝－x－，因此该直线的斜率k2＝－，因为k1≠k2，k1·k2＝1≠－1，所以这两条直线相交但不垂直．故选B.
(2)(2024·四川宜宾叙州区第一中学期中)直线l1：2x－my＋8＝0和直线l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
答案　B
解析　因为2·m＋(－m)·2＝0，所以直线l1与直线l2相互垂直．故选B.
【通性通法】
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
【巩固迁移】
1．(多选)(2024·湖南郴州模拟)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是(　　)
A．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
B．若k1k2＝－1，则l1⊥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若α1＋α2＝π，则l1⊥l2
答案　ABC
解析　对于A，若两直线的斜率k1＝k2，则它们的倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，A正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2＝－1，则l1⊥l2，B正确；对于C，由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，C正确；对于D，若α1＋α2＝π，不妨取α1＝，α2＝，则k1＝tanα1＝，k2＝tanα2＝－，k1k2≠－1，l1，l2不垂直，D错误．故选ABC.
考向2　由两条直线的位置关系求参数
例2　(1)(2023·辽宁丹东二模)直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或2
答案　A
解析　由题意，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，由1×2＝a(a＋1)，得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2；当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．故选A.
(2)(2024·江苏徐州模拟)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝________．
答案　±1
解析　因为直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，得a2＝1，解得a＝±1.
【通性通法】
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【巩固迁移】
2．(2023·陕西安康统考二模)已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当a＝1时，l1：－x＋y＋1＝0，l2：－x＋y＋2＝0，所以l1∥l2，充分性成立；当l1∥l2时，解得a＝1或a＝2，必要性不成立．故选A.
3．(2023·吉林统考二模)已知a>0，b>0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为________．
答案　9
解析　由两直线垂直，得2a＋b(1－a)＝0，即2a＋b＝ab，整理可得＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝＋1＋4＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，因此a＋2b的最小值为9.
考点二　两条直线的交点、距离公式(多考向探究)
考向1　两条直线的交点
例3　过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案　D
解析　解法一：解方程组可得直线l1和l2的交点坐标为，又所求直线过原点，所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.故选D.
解法二：根据题意，可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－，所以所求直线的方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.故选D.
【通性通法】
求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)共点直线系法：分离参数，假设直线方程中含有的参数为λ，则将直线方程化为f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程组即可得定点坐标，从而得到所求的直线方程．
【巩固迁移】
4．(2024·山西吕梁模拟)过直线x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交点，且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程是________．
答案　2x－y＋5＝0
解析　解法一：联立方程解得所以交点坐标为(－2，1)．直线x＋2y－3＝0的斜率为－，所以所求直线方程的斜率为－＝2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.
解法二：设所求直线方程为x＋y＋1＋λ(x－2y＋4)＝0，即(1＋λ)x＋(1－2λ)y＋1＋4λ＝0.因为所求直线与直线x＋2y－3＝0垂直，所以所求直线方程的斜率为2，易知λ≠，则＝2，得λ＝1，则所求直线方程为2x－y＋5＝0.
考向2　与距离有关的问题
例4　(1)(2023·陕西咸阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1，2)到直线l2的距离d＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由l1⊥l2，可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝＝.故选D.
(2)(2024·福建厦门阶段考试)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝________．
答案　－1
解析　∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，d＝＝，不满足题意；当a＝－1时，d＝＝，满足题意．故a＝－1.
【通性通法】
求解距离问题的思路
(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．
注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行直线间的距离公式要求两条直线方程中x，y的系数分别相等．
【巩固迁移】
5．(多选)已知直线l过点P(－1，2)，且点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0
C．x＝－1 D．y＝2
答案　BC
解析　解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意，知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意．故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
解法二：当AB∥l时，直线l的斜率k＝kAB＝－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当直线l过AB的中点(－1，4)时，直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
6．(多选)(2023·山东济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
答案　BD
解析　设直线l的方程为4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意，知d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
考点三　对称问题(多考向探究)
考向1　点关于点、直线关于点对称
例5　(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为(　　)
A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0
答案　D
解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4.因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.故选D.
(2)(2023·江苏镇江期中)直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是(　　)
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0
答案　A
解析　因为l和l′关于点P对称，则两直线平行，可设l′的方程为2x－y＋b＝0(b≠3)，点P到两直线的距离相等，则＝，解得b＝－5或b＝3(舍去)，所以直线l′的方程是2x－y－5＝0.故选A.
【通性通法】
两类中心对称问题
(1)点关于点对称：点P(x，y)关于M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)直线关于点对称的两种方法
【巩固迁移】
7．直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
答案　B
解析　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，因为点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.故选B.
8．(2024·河北张家口质检)光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为(　　)
A．5 B．2
C．5 D．10
答案　C
解析　点A(－3，5)关于x轴的对称点为C(－3，－5)，则光线从A到B经过的路程为CB的长度，即|CB|＝＝5.故选C.
考向2　点关于直线的对称
例6　(2024·河北张家口阶段考试)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(　　)
A．(－3，5) B．(－1，－4)
C．(4，1) D．(2，3)
答案　A
解析　设点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(a，b)，则
解得所以点Q的坐标为(－3，5)．故选A.
【通性通法】
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．
【巩固迁移】
9．(2023·广东深圳模拟)已知点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为(　　)
A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2
C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2
答案　D
解析　点A，B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝，即＝　①，且AB的中点在已知直线上，代入得2(b＋2)＋3＝11　②，联立①②组成方程组，解得故选D.
考向3　直线关于直线的对称
例7　(2024·河南南阳模拟)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
答案　A
解析　在直线x－2y－1＝0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y－x＝0的对称点为Q(x，y)，则解得即P(y，x)，因为点P(y，x)在直线x－2y－1＝0上，所以y－2x－1＝0，即2x－y＋1＝0，所以所求直线方程是2x－y＋1＝0.故选A.
【通性通法】
求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程．
【巩固迁移】
10．已知直线l1：x－y＋3＝0与直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为________．
答案　x－y－5＝0
解析　解法一：由题意，知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)，在直线l1上取点M(0，3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，则解得即M′(4，－1)，将M′(4，－1)代入l2的方程，得4＋1＋m＝0，解得m＝－5.所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
解法二：易知l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
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第二节　两条直线的位置关系与距离公式
课标解读 考向预测
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 近三年高考考查了点到直线的距离公式，以与圆锥曲线交汇融合的形式出现在多选题和填空题中，两条直线的位置关系也是常考内容之一，难度不大．预计2025年高考会继续以多选题或填空题的形式与其他知识交汇考查.
【知识梳理】
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2方程系数满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2
垂直 k1k2＝－1
相交 k1≠k2
直线l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2))的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l3，l4方程系数满足的条件
平行 v1∥v2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 A1B2－A2B1≠0
2.两条直线的交点
直线l1和l2的交点坐标即为两条直线的方程组成的方程组的解．
相交 方程组有唯一解；
平行 方程组无解；
重合 方程组有无数个解．
注意：虽然利用方程组解的情况可以判断两条直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
【常用结论】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　　)
(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.3 T6改编)点A(2，5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为________．
(2)(人教A选择性必修第一册习题2.3 T7改编)两条平行线l1：3x＋4y－6＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离为________．
(3)(人教A选择性必修第一册习题2.3 T1改编)两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是________．
(4)直线l1：px＋3y＋1＝0与直线l2：6x－2y－5＝0垂直，则p的值为________．
【考点探究】
考点一　两条直线的位置关系(多考向探究)
考向1　判断两条直线的位置关系
例1　(1)直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
(2)(2024·四川宜宾叙州区第一中学期中)直线l1：2x－my＋8＝0和直线l2：mx＋2y－4＝0(m∈R)的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【通性通法】
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
【巩固迁移】
1．(多选)(2024·湖南郴州模拟)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是(　　)
A．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
B．若k1k2＝－1，则l1⊥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若α1＋α2＝π，则l1⊥l2
考向2　由两条直线的位置关系求参数
例2　(1)(2023·辽宁丹东二模)直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a＝(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或2
(2)(2024·江苏徐州模拟)若直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝________．
【通性通法】
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【巩固迁移】
2．(2023·陕西安康统考二模)已知直线l1：(a－2)x＋ay＋1＝0，直线l2：(a－2)x＋y＋2＝0，则“a＝1”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2023·吉林统考二模)已知a>0，b>0，若直线l1：ax＋by－2＝0与直线l2：2x＋(1－a)y＋1＝0垂直，则a＋2b的最小值为________．
考点二　两条直线的交点、距离公式(多考向探究)
考向1　两条直线的交点
例3　过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
【通性通法】
求过两条直线交点的直线方程的方法
(1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)共点直线系法：分离参数，假设直线方程中含有的参数为λ，则将直线方程化为f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，解方程组即可得定点坐标，从而得到所求的直线方程．
【巩固迁移】
4．(2024·山西吕梁模拟)过直线x＋y＋1＝0和x－2y＋4＝0的交点，且与直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程是________．
考向2　与距离有关的问题
例4　(1)(2023·陕西咸阳模拟)已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，则点P(1，2)到直线l2的距离d＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2024·福建厦门阶段考试)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝________．
【通性通法】
求解距离问题的思路
(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
(2)两条平行直线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式．
注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行直线间的距离公式要求两条直线方程中x，y的系数分别相等．
【巩固迁移】
5．(多选)已知直线l过点P(－1，2)，且点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋y＋5＝0 B．x＋3y－5＝0
C．x＝－1 D．y＝2
6．(多选)(2023·山东济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
考点三　对称问题(多考向探究)
考向1　点关于点、直线关于点对称
例5　(1)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段恰好被点P平分，则直线l的方程为(　　)
A．x－4y＋4＝0 B．4x－y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．x＋4y－4＝0
(2)(2023·江苏镇江期中)直线l：y＝2x＋3关于点P(2，3)对称的直线l′的方程是(　　)
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y＋5＝0
【通性通法】
两类中心对称问题
(1)点关于点对称：点P(x，y)关于M(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
(2)直线关于点对称的两种方法
【巩固迁移】
7．直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
8．(2024·河北张家口质检)光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B经过的路程为(　　)
A．5 B．2
C．5 D．10
考向2　点关于直线的对称
例6　(2024·河北张家口阶段考试)点P(2，0)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点Q的坐标为(　　)
A．(－3，5) B．(－1，－4)
C．(4，1) D．(2，3)
【通性通法】
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)对称，则由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标．
【巩固迁移】
9．(2023·广东深圳模拟)已知点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为(　　)
A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2
C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2
考向3　直线关于直线的对称
例7　(2024·河南南阳模拟)直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是(　　)
A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
【通性通法】
求直线l1关于直线l对称的直线l2的两种方法
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
特别地，若直线l1与直线l平行，则在直线l1上取一点，求出该点关于直线l的对称点，由点斜式可得直线l2的方程．
【巩固迁移】
10．已知直线l1：x－y＋3＝0与直线l：x－y－1＝0，若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为________．
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