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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
课标解读 考向预测
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 近三年主要考查了直线与圆有公共点求参数的取值范围、直线与圆相切以及弦长最值问题，主要以选择题、填空题的形式出现，常结合基本不等式、函数等知识考查最值．预计2025年本部分内容仍会考查，以选择题或设问方式为开放性的填空题为主，难度中等.
【知识梳理】
1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系 图形 几何法 公切线条数
外离 d>r1＋r2 四条
外切 d＝r1＋r2 三条
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2| 一条
内含 0≤d【常用结论】
1．圆的切线方程常用的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
3．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　　)
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(4)在圆中最长的弦是直径．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5 T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5 T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．
(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．
【考点探究】
考点一　直线与圆的位置关系
例1　(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．
(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r的值为________．
【通性通法】
判断直线与圆的位置关系的两种方法
特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．
【巩固迁移】
1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为(　　)
A．相交 B．相离
C．相切 D．相切或相交
2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．
考点二　圆的弦长、切线问题(多考向探究)
考向1　弦长问题
例2　(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－ycosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为(　　)
A． B．
C． D．3
(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
【通性通法】
求直线被圆截得的弦长的两种方法
【巩固迁移】
3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为” 的m的一个值：________．
考向2　切线问题
例3　(1)在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为(　　)
A．5x－12y＋45＝0
B．y＋5＝0
C．x－3＝0或5x－12y＋45＝0
D．y－5＝0或12x－5y＋45＝0
(2)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
【通性通法】
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．
【巩固迁移】
5．(2023·河南开封模拟)已知圆M过点A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，则圆M在点A处的切线方程为(　　)
A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0
6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(　　)
A．1 B．
C． D．
7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．
考点三　圆与圆的位置关系
例4　(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(　　)
A．相交 B．相离
C．外切 D．内切
(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　)
A．|PQ|的最小值为0　　　　
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在直线的斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．
【通性通法】
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
【巩固迁移】
8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
9．(2023·云南丽江期中)圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切线的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P是圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上一动点，A，B是圆C：x2＋2x＋y2＋2y－2＝0上的两点，若|AB|＝2，则|＋|的取值范围为________．
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第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
课标解读 考向预测
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 近三年主要考查了直线与圆有公共点求参数的取值范围、直线与圆相切以及弦长最值问题，主要以选择题、填空题的形式出现，常结合基本不等式、函数等知识考查最值．预计2025年本部分内容仍会考查，以选择题或设问方式为开放性的填空题为主，难度中等.
【知识梳理】
1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2．圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系 图形 几何法 公切线条数
外离 d>r1＋r2 四条
外切 d＝r1＋r2 三条
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2| 一条
内含 0≤d【常用结论】
1．圆的切线方程常用的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
3．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　　)
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(4)在圆中最长的弦是直径．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5 T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
答案　B
解析　圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．故选B.
(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
答案　C
解析　圆O1：x2＋y2－2x＝0的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为O1(1，0)，半径为r1＝1，圆O2：x2＋y2＋4y＝0的标准方程为x2＋(y＋2)2＝4，圆心为O2(0，－2)，半径为r2＝2，所以两圆的圆心距为|O1O2|＝＝，所以1＝|r1－r2|<|O1O2|(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5 T2改编)以点(3，－1)为圆心且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是________________．
答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝1
解析　由题意得，r＝＝1，因此圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T3改编)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0.若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(2，3)，则该直线的方程为________________．
答案　y＝x＋1
解析　圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，则圆心为C(3，2)，kCM＝＝－1.设所求的直线为m.由圆的几何性质可知，km·kCM＝－1，所以km＝1，所以所求的直线方程为y－3＝1·(x－2)，即y＝x＋1.
【考点探究】
考点一　直线与圆的位置关系
例1　(1)(2023·江西九江二模)直线l：mx－y－2＋m＝0(m∈R)与圆C：x2＋(y－1)2＝16的位置关系为________．
答案　相交
解析　由mx－y－2＋m＝0(m∈R)，得m(x＋1)－y－2＝0(m∈R)，令解得所以直线l过定点(－1，－2)，又因为(－1)2＋(－2－1)2＝10<16，得(－1，－2)在圆内，所以直线l与圆C总相交．
(2)(2024·广东湛江廉江中学高三第二次月考)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，则r的值为________．
答案　±
解析　由直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝r2相切，得＝|r|，即|r|＝，故r的值为±.
【通性通法】
判断直线与圆的位置关系的两种方法
特别地，对于过定点的直线，也可以通过定点在圆内部或圆上判定直线和圆有公共点．
【巩固迁移】
1．(2023·陕西榆林模拟)已知点P(x0，y0)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直线l：x0x－y0y＝2与圆C的位置关系为(　　)
A．相交 B．相离
C．相切 D．相切或相交
答案　C
解析　由题意可得x＋y＝2，于是圆心C到直线l的距离d＝＝＝＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.
2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．
答案　(－3，3)
解析　由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝<3，解得－3＜a＜3.
考点二　圆的弦长、切线问题(多考向探究)
考向1　弦长问题
例2　(1)(2024·四川西昌期末)直线l：x－ycosθ＝0被圆x2＋y2－6x＋5＝0截得的最大弦长为(　　)
A． B．
C． D．3
答案　C
解析　因为圆x2＋y2－6x＋5＝0，所以其圆心为(3，0)，半径r＝2，于是圆心(3，0)到直线l：x－ycosθ＝0的距离为d＝，因为cosθ∈[－1，1]，所以cos2θ∈[0，1]，所以d＝∈，因为直线l与圆相交，所以d<2，所以d∈，又因为弦长为2＝2，所以当d取得最小值时，弦长取得最大值，为.故选C.
(2)(2023·海南华侨中学二模)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
答案　5
解析　因为圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，由|AB|＝2，可得6＝2，解得r＝5.
【通性通法】
求直线被圆截得的弦长的两种方法
【巩固迁移】
3．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案　B
解析　当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.故选B.
4．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为” 的m的一个值：________．
答案　2
解析　设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±.
考向2　切线问题
例3　(1)在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为(　　)
A．5x－12y＋45＝0
B．y＋5＝0
C．x－3＝0或5x－12y＋45＝0
D．y－5＝0或12x－5y＋45＝0
答案　C
解析　因为32＋52－2×3－4×5＋1>0，点(3，5)在圆外，且x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为(1，2)，半径为2.若切线的斜率不存在，即x＝3，圆心(1，2)到直线x＝3的距离为2，故直线x＝3是圆的切线；若切线的斜率存在，设切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y－3k＋5＝0，则＝2，则＝2，两边平方得12k＝5，k＝，所以y－5＝(x－3)，即5x－12y＋45＝0.综上，切线的方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.故选C.
(2)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案　
解析　设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，所以|PM|的最小值为2，此时|PQ|＝＝＝.
【通性通法】
1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程
当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
3．涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解．
【巩固迁移】
5．(2023·河南开封模拟)已知圆M过点A(1，3)，B(1，－1)，C(－3，1)，则圆M在点A处的切线方程为(　　)
A．3x＋4y－15＝0 B．3x－4y＋9＝0
C．4x＋3y－13＝0 D．4x－3y＋5＝0
答案　A
解析　设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题可得
解得所以圆M的方程为x2＋y2＋x－2y－5＝0，圆心为M，所以直线AM的斜率kAM＝＝，所以圆M在点A处的切线方程为y－3＝－(x－1)，即3x＋4y－15＝0.故选A.
6．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝(　　)
A．1 B．
C． D．
答案　B
解析　解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝＝2，则|PA|＝＝，可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin2∠APC＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，cos∠APB＝cos2∠APC
＝cos2∠APC－sin2∠APC＝
－＝－<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.故选B.
解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，即∠APB为钝角，则cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，又α为锐角，所以sinα＝＝.故选B.
解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝20.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝＝2，所以tanα＝＝，即＝，可得cosα＝，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，又α∈，则sinα>0，解得sinα＝.故选B.
7．(2024·陕西西安碑林区校级月考)已知圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8，点T(－3，4)，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，k1·k2＝－1，则|TM|的取值范围为________．
答案　[1，9]
解析　由题意可知，直线OP的方程为y＝k1x，直线OQ的方程为y＝k2x，∵OP，OQ与圆M相切，∴＝2，＝2，分别对两个式子进行两边平方，整理可得∴k1，k2是方程k2(8－x)＋2kx0y0＋8－y＝0的两个不相等的实数根，易知8－x≠0，∴k1·k2＝，又k1·k2＝－1，∴＝－1，即x＋y＝16，则圆心M的轨迹是以(0，0)为圆心，4为半径的圆．又|TO|＝＝5，∴|TO|－4≤|TM|≤|TO|＋4，∴1≤|TM|≤9.
考点三　圆与圆的位置关系
例4　(1)(2024·广东揭阳期末)圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系为(　　)
A．相交 B．相离
C．外切 D．内切
答案　A
解析　圆O1：x2＋y2＝1的圆心为O1(0，0)，半径为r1＝1.圆O2：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心为O2(2，0)，半径为r2＝.|O1O2|＝2，r2－r1<|O1O2|(2)(多选)(2023·吉林期中)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　)
A．|PQ|的最小值为0　　　　
B．|PQ|的最大值为7
C．两个圆心所在直线的斜率为－
D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
答案　BC
解析　根据题意，圆C1：x2＋y2＝1，其圆心C1(0，0)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圆心C2(3，－4)，半径r＝1，圆心距|C1C2|＝＝5，则|PO|的最小值为|C1C2|－R－r＝3，最大值为|C1C2|＋R＋r＝7，故A错误，B正确；对于C，圆心C1(0，0)，圆心C2(3，－4)，则两个圆心所在直线的斜率k＝＝－，故C正确；对于D，两圆的圆心距|C1C2|＝5，则|C1C2|>R＋r＝2，两圆外离，不存在公共弦，故D错误．故选BC.
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．
答案　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0
解析　
如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直．设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝，所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
【通性通法】
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
【巩固迁移】
8．(2024·安徽芜湖模拟)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
答案　B
解析　由题意，得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M、圆N的圆心距|MN|＝，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．故选B.
9．(2023·云南丽江期中)圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0公切线的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　C
解析　根据题意，圆C1：x2＋y2－6x－10y－2＝0，即(x－3)2＋(y－5)2＝36，其圆心为(3，5)，半径r＝6；圆C2：x2＋y2＋4x＋14y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y＋7)2＝49，其圆心为(－2，－7)，半径R＝7，两圆的圆心距|C1C2|＝＝13＝R＋r，所以两圆相外切，其公切线有3条．故选C.
10．(2024·江苏启东中学阶段考试)已知P是圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上一动点，A，B是圆C：x2＋2x＋y2＋2y－2＝0上的两点，若|AB|＝2，则|＋|的取值范围为________．
答案　[4－2，8＋2]
解析　由题意知，点P所在圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，且A，B所在圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C(－1，－1)，半径为2.设D是AB的中点，连接CD，则CD垂直平分AB，则|CD|＝＝1，所以点D在以C为圆心，1为半径的圆上，即点D所在圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，又由＋＝2，可得|＋|＝2||，||即为圆M：x2－4x＋y2－4y＋6＝0上的点与圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的点的距离，因为|MC1|＝＝3，所以3－1－≤||≤3＋1＋，即|＋|的取值范围为[4－2，8＋2]．
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