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第五节　椭圆
第1课时　椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质
课标解读 考向预测
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 近三年高考中，以选择题、填空题、解答题的形式考查了椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，难度中档．预计2025年高考会保持不变，继续考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
【知识梳理】
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程及简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【常用结论】
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
(2)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T5改编)已知点P为椭圆＋＝1上的一点，B1，B2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB1B2的面积为6，则满足条件的点P的个数为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T1改编)已知点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝8，则点M的轨迹方程为________________．
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T4改编)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则椭圆C的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．
【考点探究】
考点一　椭圆的定义及其应用(多考向探究)
考向1　利用椭圆的定义求轨迹方程
例1　(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹方程为________．
【通性通法】
在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．
【巩固迁移】
1．△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
考向2　利用椭圆的定义解决焦点三角形
问题
例2　(1)如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
解法二：S△PF1F2＝b2tan＝4tan30°＝.
【通性通法】
将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．
【巩固迁移】
2．(2023·全国甲卷)已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　)
A． B．
C． D．
考向3　利用椭圆的定义求最值
例3　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|MF1|·|NF1|的最大值为(　　)
A．9 B．20
C．25 D．30
【通性通法】
在椭圆中，结合|PF1|＋|PF2|＝2a，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．
【巩固迁移】
3．(2024·河北邯郸模拟)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
考点二　椭圆的标准方程
例4　(1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．
【通性通法】
1．求椭圆方程的常用方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．
2．椭圆标准方程的两个应用
(1)方程＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．
【巩固迁移】
4．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，若P在椭圆上，且满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆C的方程为________________．
5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(，1)，P2(－，－)两点，则该椭圆的方程为________________．
考点三　椭圆的简单几何性质(多考向探究)
考向1　椭圆的长轴、短轴、焦距
例5　已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定(　　)
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长 D．有相同的离心率
【通性通法】
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．
【巩固迁移】
6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为(　　)
A．2 B．2
C． D．4
7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的长轴长为4，则其焦距为________．
考向2　椭圆的离心率
例6　(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
(2)(2024·广东七校联考)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
【通性通法】
求椭圆离心率的方法
方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解
方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解
方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e
注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式．
【巩固迁移】
8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
9．(2024·广东六校联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是________．
考向3　与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
例7　(2024·石家庄质检)设点M是椭圆C：＋＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________．
【通性通法】
与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略
【巩固迁移】
10．如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
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第五节　椭圆
第1课时　椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质
课标解读 考向预测
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 近三年高考中，以选择题、填空题、解答题的形式考查了椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，难度中档．预计2025年高考会保持不变，继续考查椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
【知识梳理】
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程及简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
【常用结论】
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(3)＋＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
答案　D
解析　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝.故选D.
(2)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T5改编)已知点P为椭圆＋＝1上的一点，B1，B2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB1B2的面积为6，则满足条件的点P的个数为(　　)
A．0 B．2
C．4 D．6
答案　C
解析　在椭圆＋＝1中，a＝4，b＝3，则短轴|B1B2|＝2b＝6，设椭圆上点P的坐标为(m，n)，由△PB1B2的面积为6，得|B1B2|·|m|＝6，解得m＝±2，将m＝±2代入椭圆方程，得n＝±，所以符合题意的点P的坐标为或或或，共4个满足条件的点P.故选C.
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T1改编)已知点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式＋＝8，则点M的轨迹方程为________________．
答案　＋＝1
解析　因为＋＝8>4，所以点M的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得2a＝8，即a＝4，则b2＝a2－c2＝12，所以点M的轨迹方程为＋＝1.
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T4改编)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则椭圆C的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．
答案　＋＝1(答案不唯一)
解析　因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1，a>b>0，因为离心率为，所以＝，所以＝＝，则＝.所以椭圆C的方程可以为＋＝1(答案不唯一)．
【考点探究】
考点一　椭圆的定义及其应用(多考向探究)
考向1　利用椭圆的定义求轨迹方程
例1　(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹方程为________．
答案　＋＝1
解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4，故所求的轨迹方程为＋＝1.
【通性通法】
在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．
【巩固迁移】
1．△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0)
C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0)
答案　A
解析　由题意，知点C到A，B两点的距离之和为10，故顶点C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.其方程为＋＝1.又A，B，C三点不能共线，所以＋＝1(y≠0)．故选A.
考向2　利用椭圆的定义解决焦点三角形
问题
例2　(1)如图，△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
答案　4
解析　因为a2＝3，所以a＝.△ABC的周长为|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
答案　
解析　解法一：由题意，知c＝.又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos60°＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，∴|PF1||PF2|＝，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝××＝.
解法二：S△PF1F2＝b2tan＝4tan30°＝.
【通性通法】
将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．
【巩固迁移】
2．(2023·全国甲卷)已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　解法一：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而＝(＋)，所以|PO|＝||＝|＋|，即||＝|＋|
＝
＝ ×＝.故选B.
解法二：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜，
所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tanθ，由
cos∠F1PF2＝cos2θ＝＝＝，解得tanθ＝.由椭圆的方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得y＝3，所以x＝9×＝，因此|PO|＝＝＝.故选B.
解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2，解得|PO|＝.故选B.
考向3　利用椭圆的定义求最值
例3　已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|MF1|·|NF1|的最大值为(　　)
A．9 B．20
C．25 D．30
答案　C
解析　根据椭圆的定义，得|MF1|＋|MF2|＝8，|NF1|＋|NF2|＝8，因为|MF2|＋|NF2|＝6，所以8－|MF1|＋8－|NF1|＝6，即|MF1|＋|NF1|＝10≥2，当且仅当|MF1|＝|NF1|＝5时，等号成立，所以|MF1|·|NF1|≤25，则|MF1|·|NF1|的最大值为25.故选C.
【通性通法】
在椭圆中，结合|PF1|＋|PF2|＝2a，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．
【巩固迁移】
3．(2024·河北邯郸模拟)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
答案　6＋　6－
解析　由题意知a＝3，b＝，c＝2，F(－2，0)．设椭圆的右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝或最小值－|AF′|＝－.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
考点二　椭圆的标准方程
例4　(1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义，得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1，0)，＝2，∴B.将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，得＋＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　椭圆＋＝1的离心率是e＝，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的标准方程是＋＝1(a>b>0)，∴解得
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【通性通法】
1．求椭圆方程的常用方法
(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．
(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．
2．椭圆标准方程的两个应用
(1)方程＋＝1(a>0，b>0)与＋＝λ(a>0，b>0，λ>0)有相同的离心率．
(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．
【巩固迁移】
4．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，若P在椭圆上，且满足|PF1|＋|PF2|＝4，则椭圆C的方程为________________．
答案　＋＝1
解析　由|PF1|＋|PF2|＝4得2a＝4，解得a＝2.又P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1，解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(，1)，P2(－，－)两点，则该椭圆的方程为________________．
答案　＋＝1
解析　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则
解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.
考点三　椭圆的简单几何性质(多考向探究)
考向1　椭圆的长轴、短轴、焦距
例5　已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定(　　)
A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长 D．有相同的离心率
答案　B
解析　由椭圆＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆＋＝1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝，b1＝，c1＝4，所以其长轴长是2，短轴长是2，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.
【通性通法】
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．
【巩固迁移】
6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为(　　)
A．2 B．2
C． D．4
答案　C
解析　因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以b＝c，故＝＝＝，所以长轴长与短轴长之比为.故选C.
7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的长轴长为4，则其焦距为________．
答案　6
解析　由题意，得2a＝4，所以a2＝12，c2＝a2－b2＝12－3＝9，解得c＝3，故焦距2c＝6.
考向2　椭圆的离心率
例6　(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
答案　
解析　由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，又|AF1|＝|BF1|，则△AF1B为等边三角形．
解法一：由|F1F2|＝|AF2|，可知2c＝·，即b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，即e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)．
解法二：由|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，可知|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝a，又|AF1|sin60°＝|F1F2|，所以a×＝2c，解得＝，即e＝.
解法三：由|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，可知|AB|＝|AF1|＝|BF1|＝a，即＝a，即2a2＝3b2，所以e＝＝＝.
(2)(2024·广东七校联考)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案　
解析　根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，设F1(－c，0)，F2(c，0)．
解法一：设M(x0，y0)，·＝0 (－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝0 x－c2＋y＝0 y＝c2－x，点M(x0，y0)在椭圆内部，有＋<1 b2x＋a2(c2－x)－a2b2<0 x>2a2－，要想该不等式恒成立，只需2a2－<0 2a2c20 0解法二：由·＝0，可知点M在以F1F2为直径的圆上，即圆x2＋y2＝c2在椭圆＋＝1(a>b>0)内部，所以c0，所以0【通性通法】
求椭圆离心率的方法
方法一 直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解
方法二 由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解
方法三 构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e
注意：解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式．
【巩固迁移】
8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A.
9．(2024·广东六校联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案　
解析　设P，F1(－c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2，得|PF2|＝|F1F2|，即 ＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0考向3　与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
例7　(2024·石家庄质检)设点M是椭圆C：＋＝1上的动点，点N是圆E：(x－1)2＋y2＝1上的动点，且直线MN与圆E相切，则|MN|的最小值是________．
答案　
解析　由题意知，圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.因为直线MN与圆E相切于点N，所以NE⊥MN，且|NE|＝1.又E(1，0)为椭圆C的右焦点，所以2≤|ME|≤4，所以当|ME|＝2时，|MN|取得最小值，又|MN|＝，所以|MN|min＝＝.
【通性通法】
与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略
【巩固迁移】
10．如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
答案　4
解析　由题意，知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因为F(－1，0)，A(2，0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，所以当x0＝－2时，·取得最大值4.
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