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第2课时　直线与椭圆的位置关系
课标解读 考向预测
1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法. 2.掌握直线被椭圆所截的弦长的计算公式. 3.了解直线与椭圆相交的综合问题. 近三年高考中，直线与椭圆的位置关系以解答题的形式出现，主要考查考生的运算求解能力．预计2025年高考仍会以解答题的形式出现，难度较大.
【知识梳理】
1．点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
2．直线与椭圆位置关系的判断
已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，
若该一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ>0 有两个交点 相交；
Δ＝0 有一个交点 相切；
Δ<0 无交点 相离．
3．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝，
k为直线的斜率且k≠0.
【常用结论】
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)：
(1)通径的长度为.
(2)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－.
(3)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(4)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
(5)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)
(2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(　　)
(3)直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T14改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率为－，则直线PM的斜率为(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
(3)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为________________．
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T13改编)已知椭圆C1：＋＝1，过点P(2，2)作椭圆C1的切线，则切线方程为________________．
【考点探究】
考点一　直线与椭圆的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【通性通法】
(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．
【巩固迁移】
1．已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
考点二　弦长问题
例2　(2024·内蒙古呼和浩特阶段考试)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
【通性通法】
求弦长的方法
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0.
提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋t；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋n.
【巩固迁移】
2．(2023·海口模拟)一条过原点的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)的一个交点为(，)，则它被椭圆截得的弦长为(　　)
A．3 B．6
C．2 D．2
考点三　中点弦问题
例3　已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________________．
【通性通法】
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
【巩固迁移】
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________________．
考点四　切线问题
例4　(2023·陕西渭南二模)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大，则点M的坐标为(　　)
A．(－3，0) B．
C． D．(－2，0)
【通性通法】
(1)椭圆上的点到直线的距离的最值问题的解题方法：首先转化为平行直线与椭圆相切，然后求出两条平行直线间的距离即可．
(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．
【巩固迁移】
4．(2024·河北唐山模拟)已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
考点五　直线与椭圆的综合问题
例5　(2023·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．
【通性通法】
(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．
(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝my＋n避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋t的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．
【巩固迁移】
5．在①离心率e＝；②过点E；③a＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，且________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，若△OMN(O为坐标原点)的面积为，求直线l的方程．
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第2课时　直线与椭圆的位置关系
课标解读 考向预测
1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法. 2.掌握直线被椭圆所截的弦长的计算公式. 3.了解直线与椭圆相交的综合问题. 近三年高考中，直线与椭圆的位置关系以解答题的形式出现，主要考查考生的运算求解能力．预计2025年高考仍会以解答题的形式出现，难度较大.
【知识梳理】
1．点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
2．直线与椭圆位置关系的判断
已知直线y＝kx＋m，椭圆＋＝1，联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，
若该一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ>0 有两个交点 相交；
Δ＝0 有一个交点 相切；
Δ<0 无交点 相离．
3．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝，
k为直线的斜率且k≠0.
【常用结论】
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)：
(1)通径的长度为.
(2)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则kPA1·kPA2＝－.
(3)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(4)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.
(5)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　)
(2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(　　)
(3)直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T14改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案　A
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
(2)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率为－，则直线PM的斜率为(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
答案　B
解析　∵椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，∴点M的坐标为(－2，0)，点N的坐标为(2，0)，又直线PN的斜率为－，∴直线PN的方程为y＝－(x－2)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2－4x－44＝0，设点P的坐标为(x，y)，则x＋2＝，解得x＝－，y＝，故直线PM的斜率k＝＝3.故选B.
(3)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为________________．
答案　＋x2＝1
解析　因为椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，所以b＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以＝1，a＝2，所以椭圆的方程为＋x2＝1.
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.1 T13改编)已知椭圆C1：＋＝1，过点P(2，2)作椭圆C1的切线，则切线方程为________________．
答案　x－8y＋14＝0或x＝2
解析　因为＋>1，所以点P在C1外部，当斜率不存在时，易知x＝2为椭圆的一条切线；当斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y－2＝k(x－2)，代入C1中，并整理得(3＋4k2)x2＋16(k－k2)x＋16k2－32k＋4＝0，因为直线与椭圆相切，则Δ＝[16(k－k2)]2－4(3＋4k2)(16k2－32k＋4)＝0，解得k＝，此时切线方程为x－8y＋14＝0，所以切线方程为x－8y＋14＝0或x＝2.
【考点探究】
考点一　直线与椭圆的位置关系
例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
消去y并整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程有两个相同的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．
【通性通法】
(1)利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的步骤
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有公共点．
【巩固迁移】
1．已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
解　(1)由0所以a＝2，设曲线C的方程为＋＝1，把点N代入，得＋＝1，
解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3，
所以m＝.
(2)由(1)知曲线C的方程为＋y2＝1，
联立曲线C的方程与直线l的方程，
得
消去y，得x2＋2kx＋1＝0，
则有Δ＝4k2－1>0，解得k2>.
所以k>或k<－，
所以k的取值范围为∪.
考点二　弦长问题
例2　(2024·内蒙古呼和浩特阶段考试)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
解　(1)由题意，得
解得c＝，a＝，
b＝ ＝ ＝1，
所以椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)因为k＝1，所以设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
又直线l与椭圆M有两个不同的交点，
所以Δ＝36m2－16(3m2－3)＝12(4－m2)>0，
所以－2所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝ |x1－x2|
＝·
＝·＝，
故当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.
【通性通法】
求弦长的方法
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接利用两点间距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解，但利用弦长公式时不要忽略判别式应大于0.
提醒：运用弦长公式时，设直线方程也很考究．若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋t；若直线经过的定点在横轴上，一般设为x＝my＋n.
【巩固迁移】
2．(2023·海口模拟)一条过原点的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)的一个交点为(，)，则它被椭圆截得的弦长为(　　)
A．3 B．6
C．2 D．2
答案　B
解析　如图，设过原点O的直线的方程为y＝kx(k≠0)，该直线与椭圆＋＝1(a>b>0)的两个交点分别为A(，)，B(x，y)，则根据对称性可知A，B两点关于原点O对称，即|OA|＝|OB|，又|OA|＝＝3，该直线被椭圆截得的弦长为|AB|，所以|AB|＝|OA|＋|OB|＝3＋3＝6.故选B.
考点三　中点弦问题
例3　已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，显然Δ>0，∴x1＋x2＝，又x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其斜率为k，弦所在的直线与椭圆交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1　①，＋＝1　②，由①－②，得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，又x2－x1≠0，∴k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
【通性通法】
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
【巩固迁移】
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________________．
答案　x＋y－2＝0
解析　
令AB的中点为E，因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，所以－＋－＝0，即＋＝0，所以＝－，即kOE·kAB＝－，设直线AB：y＝kx＋m，k＜0，m＞0，令x＝0得y＝m，令y＝0得x＝－，即M，N(0，m)，所以E，所以k×＝－，解得k＝－或k＝(舍去)，又|MN|＝2，即|MN|＝＝2，解得m＝2或m＝－2(舍去)，所以直线AB：y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.
考点四　切线问题
例4　(2023·陕西渭南二模)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最大，则点M的坐标为(　　)
A．(－3，0) B．
C． D．(－2，0)
答案　B
解析　如图，根据题意可知，当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线x＋2y－10＝0平行时，点M到直线x＋2y－10＝0的距离取得最大值，可设切线方程为x＋2y＋m＝0(m>0)，联立整理得25y2＋16my＋4m2－36＝0，Δ＝162m2－100(4m2－36)＝0，因为m>0，解得m＝5，所以椭圆＋＝1在点M处的切线方程为x＋2y＋5＝0，联立可得点M的坐标为.故选B.
【通性通法】
(1)椭圆上的点到直线的距离的最值问题的解题方法：首先转化为平行直线与椭圆相切，然后求出两条平行直线间的距离即可．
(2)直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点，过椭圆外一点可以作两条切线，过椭圆上一点只能作一条切线．
【巩固迁移】
4．(2024·河北唐山模拟)已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
答案　D
解析　由已知可得F(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(3，t)，则切线AM，AN的方程分别为＋＝1，＋＝1，因为切线AM，AN过点A(3，t)，所以x1＋＝1，x2＋＝1，所以直线MN的方程为x＋＝1，因为F(1，0)，所以1＋＝1，所以点F(1，0)在直线MN上，所以M，N，F三点共线，所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.故选D.
考点五　直线与椭圆的综合问题
例5　(2023·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．
解　(1)如图，由题意可知
故
则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1，
此椭圆的离心率e＝＝.
(2)由题意知直线A2P的斜率存在且不为0，
所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)．
由
可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，
即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝－.
由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)，
所以S△A1PQ＝|S△A1PA2－S△A1QA2|＝×4×|yP－yQ|，S△A2FP＝×1×|yP|，
因为S△A1PQ＝2S△A2FP，
所以2|yP－yQ|＝|yP|，
①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，
即有＝2·|－2k|，
解得k＝0，不符合题意，舍去．
②当2|yQ|－2|yP|＝|yP|时，2|yQ|＝3|yP|，
即有4|k|＝，
解得k＝0(舍去)或k＝±.
故直线A2P的方程为y＝±(x－2)．
【通性通法】
(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法．
(2)直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝my＋n避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋t的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论．
【巩固迁移】
5．在①离心率e＝；②过点E；③a＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，且________．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，若△OMN(O为坐标原点)的面积为，求直线l的方程．
解　(1)选条件①：由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，得c＝1，
因为离心率e＝＝，所以a＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
选条件②：由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，得c＝1，
又椭圆C过点E，则＋＝1，
又a2＝b2＋c2，
所以a2＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
选条件③：由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，得c＝1，
又a＝b，a2＝b2＋c2，则b2＝c2＝1，a2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意，设直线l的方程为x＝my＋1，
由得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
因为Δ＝4m2＋4(m2＋2)＝8(m2＋1)>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以△OMN的面积S＝|OF|·|y2－y1|
＝
＝
＝，
因为△OMN的面积为，
所以＝，解得m＝±1，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
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