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第六节　双曲线
第1课时　双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质
课标解读 考向预测
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用. 近三年考查了双曲线的定义、标准方程及几何性质，其中对双曲线的定义、标准方程的考查以解答题为主，几何性质主要考查了离心率和渐近线，题型以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍是考查的重点，题型以选择题、填空题为主，难度中档.
【知识梳理】
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【常用结论】
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数.
2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．离心率e＝＝＝ .
5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　C
解析　依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在
y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.
(2)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．5
C． D．2
答案　A
解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.故选A.
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
答案　17
解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即－＝1.
【考点探究】
考点一　双曲线的定义及其应用(多考向探究)
考向1　利用双曲线的定义求轨迹方程
例1　(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足 －＝4，则动点M的轨迹方程为________________．
答案　－＝1(y≤－2)
解析　因为－＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，即动点M的轨迹方程为－＝1(y≤－2)．
【通性通法】
利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【巩固迁移】
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
答案　C
解析　设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选C.
考向2　利用双曲线的定义解决焦点三角形问题
例2　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
答案　2
解析　解法一：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝2.
解法二：S△F1PF2＝＝＝2.
【通性通法】
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【巩固迁移】
2．(2023·河北邯郸模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以F1F2为直径的圆上，若|PF1|·|PF2|＝12，则tan∠POF2＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　解法一：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m>n.由双曲线的定义知，m－n＝4，又mn＝12，故m＝6，n＝2，由于P在以F1F2为直径的圆上，所以PF1⊥PF2，故有tan∠PF1F2＝，从而tan∠POF2＝tan2∠PF1F2＝＝.故选A.
解法二：同解法一，得到m＝6，n＝2，则|F1F2|＝2，从而得到双曲线的方程为－＝1.设P(x0，y0)(y0>0)，联立解得＝，即tan∠POF2＝＝.故选A.
考向3　利用双曲线的定义求最值
例3　(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F1是双曲线－＝1的左焦点，A(4，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF1|＋|PA|的最小值为________．
答案　8＋
解析　由题意知，a＝4，b＝3，c＝5.设双曲线的右焦点为F2，由P是双曲线右支上的点，则|PF1|－|PF2|＝2a＝8，则|PF1|＋|PA|＝8＋|PF2|＋|PA|≥8＋|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时，等号成立．又A(4，4)，F2(5，0)，则|AF2|＝＝.所以|PF1|＋|PA|的最小值为8＋.
【通性通法】
在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF1|＝2a＋|PF2|或|PF2|＝2a＋|PF1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．
【巩固迁移】
3．若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
答案　B
解析　在双曲线C1中，a＝4，b＝3，c＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点，记点F1(－5，0)，F2(5，0)，当|PQ|－|PR|取最大值时，P在双曲线C1的左支上，所以|PQ|－|PR|≤|PF2|＋1－(|PF1|－1)＝|PF2|－|PF1|＋2＝2a＋2＝10.故选B.
考点二　双曲线的标准方程
例4　(2024·天津北辰区模拟)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线的标准方程是________________．
答案　－y2＝1
解析　解法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
解法二：由题意知，双曲线焦点F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝||PF1|－|PF2||＝ － ＝ － ，即a＝－，所以a2＝2，则b2＝c2－a2＝1，所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
解法三：设所求双曲线的标准方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入，可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
【通性通法】
求双曲线的标准方程的方法
定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程
待定系数法 能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值
焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解
与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)
【巩固迁移】
4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是________________．
答案　y2－＝1
解析　设双曲线的方程是y2－＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1，故双曲线的标准方程为y2－＝1.
5．过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________________．
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线过点P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.
考点三　双曲线的简单几何性质(多考向探究)
考向1　双曲线的实轴、虚轴、焦距
例5　(1)双曲线－y2＝1的实轴长是(　　)
A．1 B．2
C． D．4
答案　D
解析　由－y2＝1，得a2＝4，解得a＝2，所以2a＝4.故双曲线－y2＝1的实轴长是4.故选D.
(2)已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．
答案　2　2
解析　双曲线C：y2－＝1的虚半轴长b＝，半焦距c＝＝，所以该双曲线的虚轴长为2，焦距为2.
【通性通法】
求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．
【巩固迁移】
6．(2023·河北唐山一调)设4x2＋ky2－4k＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．2 B．2k
C．2 D．－2
答案　C
解析　由题意，得k≠0，将4x2＋ky2－4k＝0整理，得＋＝1，由题意，得k<0，故焦点在y轴上，b2＝－k，所以b＝，所以该双曲线的虚轴长为2，故选C.
7．(2024·河南郑州期末)双曲线－＝1与－＝1有相同的(　　)
A．离心率 B．渐近线
C．实轴长 D．焦点
答案　D
解析　对于双曲线－＝1，其焦点在x轴上，a1＝，b1＝，c1＝2，离心率e1＝＝，渐近线y＝±x＝±x，实轴长2a1＝2，焦点为(±2，0)；对于双曲线－＝1，其焦点在x轴上，a2＝，b2＝，c2＝2，离心率e2＝＝2，渐近线y＝±x＝±x，实轴长2a2＝2，焦点为(±2，0)．故选D.
考向2　双曲线的渐近线
例6　(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案　B
解析　由题意可知，2c＝2，2a＝2，所以c＝，a＝1，所以b＝＝2，则＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
答案　
解析　双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去)．
【通性通法】
求双曲线渐近线方程的方法
方法一 若双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得渐近线方程±＝0
方法二 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
【巩固迁移】
8．(2023·全国甲卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由e＝，得＝＝1＋＝5，解得＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝.故选D.
9．已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m＝________．
答案　
解析　由渐近线方程y＝±x＝±x，得＝，则＝，即＝，m＝.
考向3　双曲线的离心率
例7　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________．
答案　
解析　解法一：依题意，设|AF2|＝2m(m>0)，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝.
解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝·(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝＝.
解法三：由解法二得A，t2＝4c2，所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以C的离心率e＝＝＝.
(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若|AQ|≥2|AP|，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
答案　
解析　由题意，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x.由解得或∴P(－a，－b)，Q(a，b)．又A为双曲线的左顶点，则A(－a，0)．∴|AQ|＝＝，|AP|＝＝b，|AQ|≥2|AP|，即≥2b，解得4a2≥3(c2－a2)，∴e＝≤ .又e>1，故e∈.所以该双曲线的离心率的取值范围是.
【通性通法】
求双曲线离心率或其取值范围的方法
直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e
方程(不等式)法 列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解
【巩固迁移】
10．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
答案　D
解析　由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，则四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线的定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，·＝||||cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，则cos∠F2BF1＝＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7，又e>1，故e＝.故选D.
11．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
答案　(1，2)
解析　在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理，得|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，得3a＋a>2c，即2a>c，所以e＝<2，又e>1，所以1考向4　与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题
例8　(1)(2023·湖北名校联考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则(|PF1|－4)(|PF2|－4)的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
答案　B
解析　由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4，其中|PF2|≥3，将|PF1|＝|PF2|＋4代入(|PF1|－4)(|PF2|－4)，得|PF2|·(|PF2|－4)＝|PF2|2－4|PF2|＝(|PF2|－2)2－4≥－3.故选B.
(2)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是________．
答案　
解析　因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－【通性通法】
1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．
2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
思路一 若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解
思路二 若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决
【巩固迁移】
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
答案　B
解析　由已知，得＝，c－a＝－3，解得c＝，a＝3，故b2＝c2－a2＝1.所以双曲线的方程为－y2＝1，设P(x，y)是双曲线－y2＝1上的点，则y2＝－1，且x≤－3或x≥3，则|AP|＝＝＝＝，所以当x＝时，|AP|min＝＝.故选B.
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第六节　双曲线
第1课时　双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质
课标解读 考向预测
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用. 近三年考查了双曲线的定义、标准方程及几何性质，其中对双曲线的定义、标准方程的考查以解答题为主，几何性质主要考查了离心率和渐近线，题型以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍是考查的重点，题型以选择题、填空题为主，难度中档.
【知识梳理】
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【常用结论】
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数.
2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
4．离心率e＝＝＝ .
5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B．5
C． D．2
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．
【考点探究】
考点一　双曲线的定义及其应用(多考向探究)
考向1　利用双曲线的定义求轨迹方程
例1　(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足 －＝4，则动点M的轨迹方程为________________．
【通性通法】
利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
【巩固迁移】
1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
考向2　利用双曲线的定义解决焦点三角形问题
例2　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
【通性通法】
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【巩固迁移】
2．(2023·河北邯郸模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以F1F2为直径的圆上，若|PF1|·|PF2|＝12，则tan∠POF2＝(　　)
A． B．
C． D．
考向3　利用双曲线的定义求最值
例3　(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F1是双曲线－＝1的左焦点，A(4，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF1|＋|PA|的最小值为________．
【通性通法】
在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF1|＝2a＋|PF2|或|PF2|＝2a＋|PF1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．
【巩固迁移】
3．若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
考点二　双曲线的标准方程
例4　(2024·天津北辰区模拟)与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线的标准方程是________________．
【通性通法】
求双曲线的标准方程的方法
定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程
待定系数法 能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值
焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解
与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)
【巩固迁移】
4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是________________．
5．过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________________．
考点三　双曲线的简单几何性质(多考向探究)
考向1　双曲线的实轴、虚轴、焦距
例5　(1)双曲线－y2＝1的实轴长是(　　)
A．1 B．2
C． D．4
(2)已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．
【通性通法】
求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．
【巩固迁移】
6．(2023·河北唐山一调)设4x2＋ky2－4k＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．2 B．2k
C．2 D．－2
7．(2024·河南郑州期末)双曲线－＝1与－＝1有相同的(　　)
A．离心率 B．渐近线
C．实轴长 D．焦点
考向2　双曲线的渐近线
例6　(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
【通性通法】
求双曲线渐近线方程的方法
方法一 若双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得渐近线方程±＝0
方法二 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．
【巩固迁移】
8．(2023·全国甲卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．
C． D．
9．已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m＝________．
考向3　双曲线的离心率
例7　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________．
(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若|AQ|≥2|AP|，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【通性通法】
求双曲线离心率或其取值范围的方法
直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e
方程(不等式)法 列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解
【巩固迁移】
10．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
11．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
考向4　与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题
例8　(1)(2023·湖北名校联考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C的右支上，则(|PF1|－4)(|PF2|－4)的最小值为(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是________．
【通性通法】
1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．
2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
思路一 若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解
思路二 若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决
【巩固迁移】
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
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