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第2课时　直线与双曲线的位置关系
课标解读 考向预测
1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法. 2.会求直线和双曲线相交的弦长. 3.能够解决弦中点问题. 从近三年高考来看，直线与双曲线的综合问题是高考的热点，题型以解答题为主，难度偏大．预计2025年高考可能会与渐近线、离心率等综合考查，选择题、填空题、解答题都有可能出现.
【知识梳理】
1．直线与双曲线的位置关系
将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线无公共点．
2．直线与双曲线的相交弦
设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则
|P1P2|＝
＝＝|x1－x2|，
同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)．
这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：
|x1－x2|＝ ，
|y1－y2|＝ .
【常用结论】
1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．
2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与双曲线相交一定有两个公共点．(　　)
(2)直线y＝x与双曲线－y2＝1一定不相切．(　　)
(3)过双曲线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝.(　　)
(4)直线y＝x－1被双曲线－y2＝1截得的弦长为.(　　)
2．小题热身
(1)直线y＝x＋2与双曲线－＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
(2)(人教A选择性必修第一册复习参考题3 T4改编)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T1改编)直线l交双曲线－＝1于A，B两点，且P(4，1)为AB的中点，则l的斜率为________．
【考点探究】
考点一　直线与双曲线的位置关系
例1　若过点P(0，1)的直线l与双曲线E：x2－y2＝1的右支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．[－，－1]
C．[1， ] D．(－，－1)
【通性通法】
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式．
(1)在a≠0的情况下考察方程的判别式
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
【巩固迁移】
1．(2024·重庆第二次联合诊断)已知点P(1，2)和双曲线C：x2－＝1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有(　　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．无数条
考点二　弦长问题
例2　已知双曲线的焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
【通性通法】
1．距离公式法
当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2．弦长公式法
当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·|x1－x2|＝·
或|AB|＝·|y1－y2|＝·.
【巩固迁移】
2．已知双曲线C：－＝1过点(，)，给出以下两个条件：
①离心率为2；②与双曲线－x2＝1有相同的渐近线．
(1)任选一个条件，求出双曲线C的方程；
(2)直线l与直线4x－2y－1＝0平行，l被C截得的弦长为4，求直线l的方程．
考点三　中点弦问题
例3　(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
【通性通法】
中点弦问题的解决方法
方法一 将直线方程与双曲线的方程联立，消元后得到一元二次方程，再用判别式和中点坐标公式求解
方法二 用点差法和中点坐标公式求解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝，kAB＝
【巩固迁移】
3．过点P(8，1)的直线与双曲线x2－4y2＝4交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________________．
考点四　直线与双曲线的综合问题
例4　(2024·重庆一中质检)在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点T(2，3)，且有一条倾斜角为120°的渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足＝，直线QF交双曲线C于A，B两点，若|AB|＝2|QF|，求点P的坐标．
【通性通法】
利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．
【巩固迁移】
4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
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第2课时　直线与双曲线的位置关系
课标解读 考向预测
1.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定方法. 2.会求直线和双曲线相交的弦长. 3.能够解决弦中点问题. 从近三年高考来看，直线与双曲线的综合问题是高考的热点，题型以解答题为主，难度偏大．预计2025年高考可能会与渐近线、离心率等综合考查，选择题、填空题、解答题都有可能出现.
【知识梳理】
1．直线与双曲线的位置关系
将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a>0，b>0)联立组成方程组，消元转化为关于x的方程(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)若b2－a2k2＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)若b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线无公共点．
2．直线与双曲线的相交弦
设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a>0，b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则
|P1P2|＝
＝＝|x1－x2|，
同理，可得|P1P2|＝|y1－y2|(k≠0)．
这里|x1－x2|，|y1－y2|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：
|x1－x2|＝ ，
|y1－y2|＝ .
【常用结论】
1．与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．
2．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与双曲线相交一定有两个公共点．(　　)
(2)直线y＝x与双曲线－y2＝1一定不相切．(　　)
(3)过双曲线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝.(　　)
(4)直线y＝x－1被双曲线－y2＝1截得的弦长为.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．小题热身
(1)直线y＝x＋2与双曲线－＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
答案　B
解析　由得－＝1整理，得6x＝－13.所以x＝－，故直线和双曲线只有一个交点，又双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以直线y＝x＋2与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点．所以直线与双曲线的位置关系为相交．故选B.
(2)(人教A选择性必修第一册复习参考题3 T4改编)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．
答案　(－∞，－)∪(，＋∞)
解析　由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，当1－k2＝0时，方程有解，即直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有公共点；当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8(1－k2)<0，解得k<－或k>.故k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2 T1改编)直线l交双曲线－＝1于A，B两点，且P(4，1)为AB的中点，则l的斜率为________．
答案　2
解析　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(4，1)为AB的中点，所以有又点A，B在双曲线上，则即(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，则l的斜率k＝＝＝＝2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－4)，由消去y并整理，得7x2－56x＋102＝0，Δ＝562－4×7×102＝280>0，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2.
【考点探究】
考点一　直线与双曲线的位置关系
例1　若过点P(0，1)的直线l与双曲线E：x2－y2＝1的右支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．[－，－1]
C．[1， ] D．(－，－1)
答案　D
解析　由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1－k2)x2－2kx－2＝0，由题意，得解得－【通性通法】
通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式．
(1)在a≠0的情况下考察方程的判别式
①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；
②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
【巩固迁移】
1．(2024·重庆第二次联合诊断)已知点P(1，2)和双曲线C：x2－＝1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有(　　)
A．2条 B．3条
C．4条 D．无数条
答案　A
解析　由题意可得，双曲线C：x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，点(1，0)是双曲线的顶点．若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，此时直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；若直线l的斜率存在，则当直线l平行于渐近线y＝－2x时，直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y＝2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不符合题意．综上所述，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l共有2条．故选A.
考点二　弦长问题
例2　已知双曲线的焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
解　(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，
则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，
又c＝2，所以b＝，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由题意知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线方程与直线方程并消去y，得2x2＋4x－7＝0，
设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，
由弦长公式，得
|AB|＝·|x1－x2|
＝ ·＝6.
【通性通法】
1．距离公式法
当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2．弦长公式法
当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·|x1－x2|＝·
或|AB|＝·|y1－y2|＝·.
【巩固迁移】
2．已知双曲线C：－＝1过点(，)，给出以下两个条件：
①离心率为2；②与双曲线－x2＝1有相同的渐近线．
(1)任选一个条件，求出双曲线C的方程；
(2)直线l与直线4x－2y－1＝0平行，l被C截得的弦长为4，求直线l的方程．
解　(1)若选择①：由解得所以双曲线C的方程为x2－＝1.
若选择②：设双曲线的方程为－x2＝n(n≠0)，
依题意，得－2＝n，解得n＝－1，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由题意，设直线l的方程为4x－2y＋m＝0，
联立
得4x2＋8mx＋m2＋12＝0，
由Δ＝64m2－16(m2＋12)＝48m2－192>0，
解得m<－2或m>2.
设l交C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2m，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝4，
解得m＝±.
所以直线l的方程为6x－3y＋＝0或6x－3y－＝0.
考点三　中点弦问题
例3　(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
答案　D
解析　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，可得kAB＝，直线OM(O为坐标原点)的斜率k＝＝，因为A，B在双曲线上，则
两式相减得(x－x)－＝0，所以kAB·k＝＝9.对于A，k＝1，kAB＝9，则直线AB：y＝9x－8，联立方程消去y得72x2－2×72x＋73＝0，此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A不符合题意；对于B，k＝－2，kAB＝－，则直线AB：y＝－x－，联立方程消去y得45x2＋2×45x＋61＝0，此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B不符合题意；对于C，k＝3，kAB＝3，则直线AB：y＝3x，由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则直线AB：y＝3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C不符合题意；对于D，k＝4，kAB＝，则直线AB：y＝x－，联立方程消去y得63x2＋126x－193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D符合题意．故选D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，①－②得kAB＝＝9×＝9×，即－3<9×<3 －<<，即>3或<－3.故选D.
【通性通法】
中点弦问题的解决方法
方法一 将直线方程与双曲线的方程联立，消元后得到一元二次方程，再用判别式和中点坐标公式求解
方法二 用点差法和中点坐标公式求解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝，kAB＝
【巩固迁移】
3．过点P(8，1)的直线与双曲线x2－4y2＝4交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________________．
答案　2x－y－15＝0
解析　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x－4y＝4　①，x－4y＝4　②.由①－②，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，∵P是线段AB的中点，∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝＝2.∴直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.
考点四　直线与双曲线的综合问题
例4　(2024·重庆一中质检)在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点T(2，3)，且有一条倾斜角为120°的渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足＝，直线QF交双曲线C于A，B两点，若|AB|＝2|QF|，求点P的坐标．
解　(1)设双曲线C的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y＝±x，
则由题意可得，－＝1，且－＝tan120°＝－，解得a＝1，b＝，则双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)双曲线C的方程为x2－＝1，
所以C的右焦点F(2，0)，
点Q满足＝，则P为OQ的中点，
设P(m，n)，m>0，则Q(2m，2n)，
若直线AB的斜率不存在，则其方程为x＝2，此时P(1，0)，m＝1，Q与F重合，不符合题意；
若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，m≠1，因为kQF＝k，所以＝k，所以n＝(m－1)k，
因为点P在双曲线C上，所以3m2－n2＝3，
所以3m2－[(m－1)k]2＝3，即k2＝，
联立消去y，得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，
所以k2－3≠0，Δ＝16k4－4(k2－3)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为|AB|＝2|QF|，所以|x2－x1|＝2|2m－2|，
所以(x1＋x2)2－4x1x2＝16(m－1)2，
所以－4×＝16(m－1)2，
即9(k2＋1)＝4(m－1)2(k2－3)2，
所以9＝4(m－1)2，
解得m＝，n＝±，符合题意，
所以点P的坐标为.
【通性通法】
利用双曲线的定义、几何性质来研究直线与双曲线的位置关系时：如果是判断直线与双曲线的位置关系，可以通过联立方程，利用方程组的解的个数来判断；如果涉及弦长问题，可以利用弦长公式解决；如果涉及面积问题，往往需要利用弦长公式、面积公式、构建目标函数来解决问题．
【巩固迁移】
4．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
解　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1，化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
由题易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝.
kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，
故k＝－1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，
由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝＝2，
解得tanθ＝或tanθ＝－(舍去)，
由得x1＝，
所以|AP|＝|x1－2|＝，
同理得x2＝，
所以|AQ|＝|x2－2|＝.
因为tan∠PAQ＝2，
所以sin∠PAQ＝，
故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ
＝×××
＝.
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