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第七节　抛物线
第1课时　抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质
课标解读 考向预测
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用. 近三年高考考查了抛物线的定义和标准方程以及抛物线的准线，以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍以基础知识为考点，注意几何性质的应用.
【知识梳理】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
开口方向 向右 向左 向上 向下
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
【常用结论】
1．抛物线方程一般首先转化为标准形式．
2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．
3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．
4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(2)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．(　　)
(3)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)．(　　)
(4)以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T1改编)抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T31改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T4改编)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同
的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T8改编)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
【考点探究】
考点一　抛物线的定义及其应用
例1　(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
(2)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
【通性通法】
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．
注意：“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
【巩固迁移】
1．动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹方程是(　　)
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
2．(2023·江西抚州质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则点M到y轴的距离为________．
考点二　抛物线的标准方程与简单几何性质
例2　(1)(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x D．x2＝－y
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
【通性通法】
1．求抛物线标准方程的方法
定义法 若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可
待定系数法 若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【巩固迁移】
3．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
4．(2024·吉林长春期末)已知抛物线y＝mx2过点(2，1)，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．
考点三　与抛物线有关的最值问题(多考向探究)
考向1　到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题
例3　(2024·四川南充零模)若点A在焦点为F的抛物线y2＝4x上，且|AF|＝2，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．4
【通性通法】
将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决．
【巩固迁移】
5．已知点M(20，40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值为________．
考向2　到定直线的距离最小问题
例4　(2024·浙江金丽衢十二校联考)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C． D．
【通性通法】
将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
【巩固迁移】
6．(2023·山西阳泉期末)已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上一动点，点Q为圆C：(x＋1)2
＋(y－4)2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|＋d的最小值为2，则p＝(　　)
A． B．1
C．3 D．4
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第七节　抛物线
第1课时　抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质
课标解读 考向预测
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解抛物线的简单应用. 近三年高考考查了抛物线的定义和标准方程以及抛物线的准线，以选择题、填空题为主．预计2025年高考本部分内容仍以基础知识为考点，注意几何性质的应用.
【知识梳理】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
开口方向 向右 向左 向上 向下
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0，0)
离心率 e＝1
【常用结论】
1．抛物线方程一般首先转化为标准形式．
2．在抛物线的标准方程中，焦点的位置与一次项系数的正负保持一致．
3．焦点到原点的距离的4倍为一次项系数的绝对值．
4．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(2)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．(　　)
(3)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)．(　　)
(4)以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T1改编)抛物线y＝2x2的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－1
答案　A
解析　由y＝2x2，得x2＝y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－.故选A.
(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T31改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案　B
解析　由题意，可得|MF|＝xM＋，则3＋＝4，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.
(3)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T4改编)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同
的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．
答案　y2＝±4x
解析　由题意可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝±4x.
(4)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T8改编)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
答案　2
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x0，－3)，代入x2＝－2y中，得x0＝，故水面宽2米．
【考点探究】
考点一　抛物线的定义及其应用
例1　(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案　D
解析　设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.
(2)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　)
A．7 B．6
C．5 D．4
答案　D
解析　因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
【通性通法】
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径．
注意：“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
【巩固迁移】
1．动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹方程是(　　)
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．x2＝16y D．x2＝－16y
答案　B
解析　依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，所以动点P到直线x－4＝0的距离与它到点M(－4，0)的距离相等，所以点P的轨迹是以M为焦点，直线x＝4为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝－16x.故选B.
2．(2023·江西抚州质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则点M到y轴的距离为________．
答案　2
解析　设点M的坐标为(xM，yM)，由x2＝4y，得p＝2，根据抛物线的定义，知|MF|＝yM＋＝yM＋1＝3，解得yM＝2，代入x2＝4y，得xM＝±2，所以点M到y轴的距离为2.
考点二　抛物线的标准方程与简单几何性质
例2　(1)(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝x B．x2＝y
C．y2＝－x D．x2＝－y
答案　BC
解析　设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案　x＝－
解析　解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得P，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－.所以直线PQ的方程为y－p＝－.令y＝0，得x＝p.所以|FQ|＝p－＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－＝－.
解法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
【通性通法】
1．求抛物线标准方程的方法
定义法 若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可
待定系数法 若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论
2.抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【巩固迁移】
3．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
答案　x2＝4y
解析　因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P，则点M.因为焦点F，△FPM是等边三角形，所以
解得因此抛物线的方程为x2＝4y.
4．(2024·吉林长春期末)已知抛物线y＝mx2过点(2，1)，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．
答案　2
解析　因为抛物线y＝mx2过点(2，1)，所以4m＝1，m＝，所以抛物线的方程为x2＝4y.由于焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝2py，其焦点到准线的距离为p，因此2p＝4，p＝2，即该抛物线的焦点到准线的距离为2.
考点三　与抛物线有关的最值问题(多考向探究)
考向1　到焦点与到定点(动点)距离之和最小问题
例3　(2024·四川南充零模)若点A在焦点为F的抛物线y2＝4x上，且|AF|＝2，点P为直线x＝－1上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)
A．2 B．2＋
C．2＋2 D．4
答案　A
解析　设点A的坐标为(xA，yA)，抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，|AF|＝xA＋1＝2，xA＝1，则y＝4，yA＝±2，不妨设A(1，2)，F(1，0)关于直线x＝－1的对称点为F′(－3，0)，由于|PF|＝|PF′|，所以当A，P，F′三点共线时|PA|＋|PF|最小，所以|PA|＋|PF|的最小值为＝2.故选A.
【通性通法】
将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离或利用对称性进行距离之间的转化，再利用“三点共线”解决．
【巩固迁移】
5．已知点M(20，40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值为________．
答案　42或22
解析　当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得 ＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.
考向2　到定直线的距离最小问题
例4　(2024·浙江金丽衢十二校联考)已知直线l1：3x－4y－6＝0和直线l2：y＝－2，拋物线x2＝4y上一动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C． D．
答案　B
解析　拋物线x2＝4y的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设动点P到直线l，l1，l2的距离分别为d，d1，d2，点F到直线l1的距离为d3，则d3＝＝2，则d2＝d＋1＝|PF|＋1，可得d1＋d2＝d1＋|PF|＋1≥d3＋1＝3，当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且P在F与l1之间时，等号成立，即动点P到直线l1、直线l2的距离之和的最小值是3.故选B.
【通性通法】
将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
【巩固迁移】
6．(2023·山西阳泉期末)已知点P为抛物线y2＝2px(p>0)上一动点，点Q为圆C：(x＋1)2
＋(y－4)2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|＋d的最小值为2，则p＝(　　)
A． B．1
C．3 D．4
答案　D
解析　如图，圆C：(x＋1)2＋(y－4)2＝1的圆心C(－1，4)，半径r＝1，抛物线的焦点F.根据抛物线的定义可知d＝|PF|－，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|－，由图可知，当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，|PQ|＋|PF|最小，而|CF|＝ ，故有＝|CF|－r－＝2，即 －1－＝2，解得p＝4.故选D.
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