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第2课时　直线与抛物线的位置关系
课标解读 考向预测
1.会判断直线与抛物线的位置关系. 2.会求直线与抛物线相交所得的弦长. 3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题. 从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.
【知识梳理】
1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系
(2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.
①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
2．弦长问题
设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝ ·或|AB|＝|y1－y2|＝·(k为直线的斜率，k≠0)．
3．抛物线的焦点弦问题
若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．
标准方程 弦长公式
y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0) |AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2)
4.抛物线的切线
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋(k≠0)．
【常用结论】
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；
(8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝，|DE|＝＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点．(　　)
(2)已知过抛物线C：y2＝x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，则|AB|＝1.(　　)
(3)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＝2.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．
C．5 D．3
答案　B
解析　由题意得，抛物线的焦点为F(1，0)，直线AB的方程为y＝(x－1)．由得3x2－10x＋3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝.
(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T12改编)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点的直线有________条．
答案　3
解析　当斜率不存在时，直线方程为x＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，当k＝0时，直线方程为y＝1，只有一个公共点，符合题意；当k≠0时，令Δ＝(2k－8)2－4k2＝0，解得k＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．
(3)过点P(4，－3)作抛物线y＝x2的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________________．
答案　2x－y＋3＝0
解析　设切点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，又y′＝x，则切线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－y1，同理，切线PB的方程为y＝x2x－y2，由P(4，－3)是PA，PB的交点可知，－3＝2x1－y1，－3＝2x2－y2，由两点确定一条直线，可得过A，B的直线方程为－3＝2x－y，即2x－y＋3＝0.
(4)(2024·山东济南模拟)已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M(－1，2)，若＝，则直线AB的方程为________________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　由题意知点M(－1，2)在抛物线内，且M(－1，2)是线段AB的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，联立两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)，即kAB＝＝＝－，则直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.由消去y，得x2＋2x－6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－符合题意．因此直线AB的方程为x＋2y－3＝0.
【考点探究】
考点一　抛物线的切线
例1　(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
答案　A
解析　解法一：设切线方程为y－4＝k(x－4)．由 x2＝4(kx－4k＋4) x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.故切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.
解法二：由x2＝4y，得y＝，∴y′＝.∴y′|x＝4＝＝2.∴切线方程为y－4＝2(x－4)，即2x－y－4＝0.
(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A，B为抛物线y＝x2上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为kAB，若点P的横坐标为，则kAB＝________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B为切点的抛物线的切线斜率分别为kA，kB，由y＝x2，得y′＝2x，故kA＝2x1，kB＝2x2，所以切线PA的方程为y－x＝2x1(x－x1)，即x－2x1x＋y＝0.同理可得，切线PB的方程为x－2x2x＋y＝0.设点P的坐标为(x0，y0)，所以x－2x1x0＋y0＝0，x－2x2x0＋y0＝0，所以x1，x2为方程x2－2x0x＋y0＝0的两根，故x1＋x2＝2x0，x1x2＝y0，则kAB＝＝x1＋x2＝2x0＝.
【通性通法】
求抛物线切线方程的方法
方法一 首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解
方法二 首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程
方法三 过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)
【巩固迁移】
1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线l的方程为y＝－1，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为x2＝2y
B．∠AMB＝90°
C．M恒在l上
D．|MF|2＝|AF|·|BF|
答案　BCD
解析　由题得－＝－1，所以p＝2，因此C的方程为x2＝4y，A错误；由题意可知AB的斜率存在，F(0，1)，设AB的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由y＝x2得y′＝x，所以AM的斜率为kAM＝x1，所以AM的方程为y－y1＝x1(x－x1)，即y－x＝x1(x－x1)　①，同理BM的斜率为kBM＝x2，所以BM的方程为y－x＝x2(x－x2)　②，所以kAM·kBM＝x1x2＝－1，即AM⊥BM，所以∠AMB＝90°，B正确；由①②得(x2－x1)y＝x1x2(x2－x1)，因为x1≠x2，所以y＝－1，将y＝－1代入①②得x＝＝2k，所以点M的坐标为(2k，－1)，又C的准线l的方程为y＝－1，所以M恒在l上，C正确；当AB的斜率k不为零时，则kMF＝＝－，所以kAB·kMF＝－1，所以AB⊥MF，当AB的斜率k＝0时，点M的坐标为(0，－1)，显然AB⊥MF，在Rt△ABM中，由△AMF∽△MBF得＝，所以|MF|2＝|AF|·|BF|，D正确．故选BCD.
考点二　焦点弦问题
例2　(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝(　　)
A．4 B．
C．5 D．6
答案　B
解析　解法一：易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设点A，B的横坐标分别为xA，xB，则xAxB＝1　①，因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1　②，由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
解法二：由对称性，不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝＝，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式，得|AB|＝＝.
解法三：因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点．下列结论正确的是(　　)
A．存在点A，B，使∠AOB≤
B．|AB|的最小值为4
C．DF平分∠ADB
D．若点M(2，3)是弦AB的中点，则直线m的方程为x－y＋1＝0
答案　BCD
解析　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角，故A错误；|AB|＝y1＋y2＋2＝kx1＋1＋kx2＋1＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4≥4(当且仅当k＝0时，等号成立)，故B正确；因为点D(0，－1)，kDA＋kDB＝＋＝＋＝＝＝0，即直线DA和直线DB的倾斜角互补，所以DF平分∠ADB，故C正确；由两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，因为点M(2，3)是弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，所以直线m的斜率k＝＝＝1，所以直线m的方程为x－y＋1＝0，故D正确．故选BCD.
【通性通法】
解决焦点弦问题的策略
(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．
(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．
【巩固迁移】
2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝12x D．y2＝6x
答案　B
解析　因为直线l的方程为y＝2，即y＝2x－p，由消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故＝6－p，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.故选B.
3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
答案　AC
解析　对于A，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，由消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，所以△OMN不是等腰三角形，D错误．故选AC.
考点三　直线与抛物线的综合问题
例3　(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，点A(2，y0)在C上，△OAF的面积为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P(m，0)(m>0)作斜率为－1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2∥l1，求△MNQ的面积．
解　(1)由题意，可知抛物线C的焦点F，
将A(2，y0)代入抛物线C的方程，得y＝4p，且p>0，
则|y0|＝2，
因为△OAF的面积为××2＝＝4，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)由(1)可得抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，
设直线l1：x＝－y＋m(m>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，
联立方程消去x，得y2＋8y－8m＝0，
则Δ＝64＋32m>0，可得y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，
因为点M(x1，y1)在抛物线上，则y＝8x1，即x1＝，
所以直线MF的方程为
x＝y＋2＝y＋2＝y＋2，
联立方程消去x，得y2＋y－16＝0，
可得y1y3＝－16，即y3＝－，
则x3＝×＋2＝，
即Q，
因为l2∥l1，可设l2：x＝－y＋n，
代入Q，得＝＋n，即n＝－，
所以l2：x＝－y＋－，
联立方程消去x，得
y2＋8y＋8＝0，
因为l2为抛物线C的切线，
则Δ＝64－32＝0，
整理得y－8y1＋16＝0，解得y1＝4，
又因为y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，y1y3＝－16，
可得y2＝－12，m＝6，y3＝－4，
即Q(2，－4)，l1：x＝－y＋6，
可得|MN|＝×|4－(－12)|＝16，
点Q(2，－4)到直线l1：x＋y－6＝0的距离d＝＝4，
所以S△MNQ＝|MN|·d＝×16×4＝64.
【通性通法】
解决直线与抛物线综合问题的策略
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【巩固迁移】
4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A(x0，－2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且A到C的焦点F的距离与到x轴的距离之差为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当p<2时，M，N是C上不同于点A的两个动点，且直线AM，AN的斜率之积为－2，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点E，使得|DE|为定值．
解　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－，
又点A(x0，－2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，
即(－2)2＝2px0，∴x0＝，即A，
依题意，可得＋－2＝，
解得p＝1或p＝4，∴y2＝2x或y2＝8x.
(2)证明：∵p<2，
∴y2＝2x，A(2，－2)．
设MN：x＝my＋n，M，N，
联立消去x，整理得y2－2my－2n＝0，
Δ＝4m2＋8n>0，　(ⅰ)
且y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n，
∴kAM·kAN＝·＝－2，
∴(y1－2)(y2－2)＝－2，
即y1y2－2(y1＋y2)＋6＝0，
∴n＋2m＝3，适合(ⅰ)，
将n＝3－2m代入x＝my＋n，
得x－3＝m(y－2)，
令解得
∴直线MN恒过定点Q(3，2)．
又AD⊥MN，∴点D在以AQ为直径的圆上，
∵A，Q的中点为，
|AQ|＝＝，
∴以AQ为直径的圆的方程为＋y2＝，
∴存在点E，使得|DE|＝，为定值．
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第2课时　直线与抛物线的位置关系
课标解读 考向预测
1.会判断直线与抛物线的位置关系. 2.会求直线与抛物线相交所得的弦长. 3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题. 从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.
【知识梳理】
1．直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的三种位置关系
(2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.
①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
2．弦长问题
设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝ ·或|AB|＝|y1－y2|＝·(k为直线的斜率，k≠0)．
3．抛物线的焦点弦问题
若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．
标准方程 弦长公式
y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0) |AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2)
4.抛物线的切线
(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋(k≠0)．
【常用结论】
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；
(8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝，|DE|＝＝.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点．(　　)
(2)已知过抛物线C：y2＝x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，则|AB|＝1.(　　)
(3)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＝2.(　　)
2．小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A． B．
C．5 D．3
(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T12改编)过定点P(0，1)且与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点的直线有________条．
(3)过点P(4，－3)作抛物线y＝x2的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________________．
(4)(2024·山东济南模拟)已知A，B为抛物线C：x2＝4y上的两点，M(－1，2)，若＝，则直线AB的方程为________________．
【考点探究】
考点一　抛物线的切线
例1　(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的抛物线的切线方程为(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A，B为抛物线y＝x2上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为kAB，若点P的横坐标为，则kAB＝________．
【通性通法】
求抛物线切线方程的方法
方法一 首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解
方法二 首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程
方法三 过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0)
【巩固迁移】
1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线l的方程为y＝－1，过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，以A，B为切点分别作C的两条切线，且两切线交于点M，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为x2＝2y
B．∠AMB＝90°
C．M恒在l上
D．|MF|2＝|AF|·|BF|
考点二　焦点弦问题
例2　(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝(　　)
A．4 B．
C．5 D．6
(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点．下列结论正确的是(　　)
A．存在点A，B，使∠AOB≤
B．|AB|的最小值为4
C．DF平分∠ADB
D．若点M(2，3)是弦AB的中点，则直线m的方程为x－y＋1＝0
【通性通法】
解决焦点弦问题的策略
(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．
(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．
【巩固迁移】
2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝12x D．y2＝6x
3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
考点三　直线与抛物线的综合问题
例3　(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，点A(2，y0)在C上，△OAF的面积为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P(m，0)(m>0)作斜率为－1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2∥l1，求△MNQ的面积．
【通性通法】
解决直线与抛物线综合问题的策略
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
【巩固迁移】
4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A(x0，－2)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且A到C的焦点F的距离与到x轴的距离之差为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)当p<2时，M，N是C上不同于点A的两个动点，且直线AM，AN的斜率之积为－2，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点E，使得|DE|为定值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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