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第一节　平面向量的概念及线性运算
课标解读 考向预测
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.
【知识梳理】
1．向量的有关概念
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或||
零向量 长度为0的向量 用0表示
单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
说明：零向量的方向是不确定的、任意的．
规定：零向量与任一向量平行．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
【常用结论】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　　)
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　)
2．小题热身
(1)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　)
A．＝
B．与共线
C．与是相反向量
D．＝||
(2)(人教B必修第二册6.2.1例3改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
(3)(人教A必修第二册6.2例6改编)已知 ABCD的对角线AC和BD交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
(4)(人教A必修第二册习题6.2 T10改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
【考点探究】
考点一　平面向量的有关概念
例1 (多选)下列命题中的真命题是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
【通性通法】
平面向量有关概念的四个关注点
关注点一 非零向量的平行具有传递性
关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关
关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
关注点四 是与a同方向的单位向量
【巩固迁移】
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
考点二　平面向量的线性运算(多考向探究)
考向1平面向量加、减运算的几何意义
例2 设P为 ABCD对角线的交点，O为平面ABCD内的任意一点，则＋＋＋＝(　　)
A． B．2
C．3 D．4
【通性通法】
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
【巩固迁移】
2．(2024·山东青岛二中月考)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
考向2平面向量的线性运算
例3 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
【通性通法】
平面向量的线性运算的求解策略
【巩固迁移】
3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD中，＝，＝.若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
考点三　向量共线定理的应用(多考向探究)
考向1判定向量共线、三点共线
例4 设两个非零向量a与b不共线．若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
【通性通法】
共线向量定理的三个应用
【巩固迁移】
4．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
考向2利用向量共线定理求参数
例5 若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
【通性通法】
一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．
【巩固迁移】
5．如图，在△ABC中，＝λ，E是BD上一点，若＝＋，则实数λ的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
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第一节　平面向量的概念及线性运算
课标解读 考向预测
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.
【知识梳理】
1．向量的有关概念
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或||
零向量 长度为0的向量 用0表示
单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
说明：零向量的方向是不确定的、任意的．
规定：零向量与任一向量平行．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
【常用结论】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　　)
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　)
A．＝
B．与共线
C．与是相反向量
D．＝||
答案　D
解析　＝，故D错误．故选D.
(2)(人教B必修第二册6.2.1例3改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．
答案　
解析　∵λa＋b与a＋2b共线，∴存在实数μ使得λa＋b＝μ(a＋2b)，∴∴
(3)(人教A必修第二册6.2例6改编)已知 ABCD的对角线AC和BD交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
答案　b－a　－a－b
解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
(4)(人教A必修第二册习题6.2 T10改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．
答案　8　2
解析　|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2.
【考点探究】
考点一　平面向量的有关概念
例1 (多选)下列命题中的真命题是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
答案　BC
解析　A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B是真命题，∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝；C是真命题，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；D是假命题，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.
【通性通法】
平面向量有关概念的四个关注点
关注点一 非零向量的平行具有传递性
关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关
关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
关注点四 是与a同方向的单位向量
【巩固迁移】
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
答案　BC
解析　零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时才成立，故C正确；若b＝0，则不共线的a，c也有a∥0，c∥0，故D错误．
考点二　平面向量的线性运算(多考向探究)
考向1平面向量加、减运算的几何意义
例2 设P为 ABCD对角线的交点，O为平面ABCD内的任意一点，则＋＋＋＝(　　)
A． B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　由题意知，P为AC，BD的中点，所以在△OAC中，＝(＋)，即＋＝2，在△OBD中，＝(＋)，即＋＝2，所以＋＋＋＝4.故选D.
【通性通法】
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
【巩固迁移】
2．(2024·山东青岛二中月考)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
答案　2
解析　因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.
考向2平面向量的线性运算
例3 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记＝m，＝n，则＝(　　)
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案　B
解析　＝＋，即＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
【通性通法】
平面向量的线性运算的求解策略
【巩固迁移】
3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD中，＝，＝.若＝m＋n，则m＋n＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝
＋(－)＝＋，所以m＝，n＝，所以m＋n＝.故选D.
考点三　向量共线定理的应用(多考向探究)
考向1判定向量共线、三点共线
例4 设两个非零向量a与b不共线．若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．
证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴，共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
【通性通法】
共线向量定理的三个应用
【巩固迁移】
4．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
答案　B
解析　由＝λ＋，得－＝λ，＝λ，则，为共线向量，又，有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在AC边所在直线上．故选B.
考向2利用向量共线定理求参数
例5 若a，b是两个不共线的向量，已知＝a－2b，＝2a＋kb，＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
答案　B
解析　由题意知，＝－＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
【通性通法】
一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．
【巩固迁移】
5．如图，在△ABC中，＝λ，E是BD上一点，若＝＋，则实数λ的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　B
解析　由＝λ，得＝，因为＝＋，所以＝＋·，因为E，B，D三点共线，所以＋＝1，解得λ＝4.故选B.
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