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第二节　平面向量基本定理及坐标表示
课标解读 考向预测
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 预计2025年高考，平面向量基本定理与坐标表示及运算仍是考查的重点，题型还是以选择题或填空题为主，中低档难度.
【知识梳理】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
【常用结论】
1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
答案　D
解析　∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝，∴a－b＝＝(－1，2)．故选D.
(2)(人教B必修第二册6.2.4例4改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
答案　D
解析　由题意可知＝(3，－3)．若＝，则点P的坐标为(2，2)；若＝，则点P的坐标为(3，1)．故选D.
(3)(人教A必修第二册6.3例5改编)已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
答案　(1，5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得故顶点D的坐标为(1，5)．
(4)(人教A必修第二册6.3例1改编)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示，则＝________．
答案　(1－t)＋t
解析　∵＝t，∴＝＋＝＋t＝＋t(－)＝＋t－t＝(1－t)＋t.
【考点探究】
考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (2024·山东青岛二中阶段考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，设＝a，＝b，则向量＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案　C
解析　设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，所以∠BAC＝，∠ACB＝，又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝，则根据圆的性质得BD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，所以＝＋＝a＋b.故选C.
【通性通法】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
提醒：(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
【巩固迁移】
1．(2023·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
答案　
解析　由题图可设＝x(0考点二　平面向量的坐标运算
例2 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－(a－2b)＝.故选D.
【通性通法】
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
【巩固迁移】
2．(2024·吉林期末)已知向量＝(2，3)，＝(4，－1)(O为坐标原点)，P是线段AB的中点，则点P的坐标是(　　)
A．(2，－4) B．(3，1)
C．(－2，4) D．(6，2)
答案　B
解析　因为点P是线段AB的中点，所以＋＝2，设P(x，y)，则解得所以点P的坐标是(3，1)．故选B.
考点三　平面向量共线的坐标表示(多考向探究)
考向1利用向量共线求向量或点的坐标
例3 设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3，1) B．(1，－1)
C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1)
答案　C
解析　∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．故选C.
【通性通法】
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
提醒：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【巩固迁移】
3．已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案　(3，3)
解析　解法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ)．又＝－＝(－2，6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
解法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．
考向2利用向量共线求参数
例4 已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　B
解析　因为＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，所以＝＋＋＝(4＋x，y－2)，所以＝(－x－4，2－y)，因为∥，所以x(2－y)＝y(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.故选B.
【通性通法】
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【巩固迁移】
4．(2023·四川成都三模)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“a与b共线”的充要条件是(　　)
A．x＝±2 B．x＝2
C．x＝－2 D．x＝
答案　A
解析　因为a∥b，a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，所以(x＋1)(x－1)＝3，所以x＝±2.故选A.
考点四　解析法(坐标法)在向量中的应用
例5 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
答案　
解析　解法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)，∵＝λ＋μ＝，∴解得
∴λ＋μ＝.
解法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，∴解得∴λ＋μ＝.
【通性通法】
通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．
【巩固迁移】
5．(2024·广西宾阳中学阶段练习)已知直角坐标平面内有不共线的三点A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)．
(1)求以线段AB，AD为邻边的平行四边形ABCD两条对角线AC，BD的长；
(2)设点P满足＝(3，3)，试判断点P是在△ABD的BD边上，还是在△ABD的外部？请说明理由．
解　(1)∵A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)，
∴＝(1，0)，＝(3，4)，＝(2，4)，
＝＋＝(1，0)＋(3，4)＝(4，4)，
∴AC＝||＝＝4，
BD＝＝2.
(2)∵BD的中点为E(3，3)，A(1，1)，
∴＝(2，2)，
又＝(3，3)，
∴＝，
由>1知点P在AE的延长线上，
∴点P不是在△ABD的BD边上，而是在△ABD的外部．
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第二节　平面向量基本定理及坐标表示
课标解读 考向预测
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 预计2025年高考，平面向量基本定理与坐标表示及运算仍是考查的重点，题型还是以选择题或填空题为主，中低档难度.
【知识梳理】
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
【常用结论】
1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　)
2．小题热身
(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)
A．(－2，－1) B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
(2)(人教B必修第二册6.2.4例4改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
(3)(人教A必修第二册6.3例5改编)已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
(4)(人教A必修第二册6.3例1改编)如图，，不共线，且＝t(t∈R)，用，表示，则＝________．
【考点探究】
考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (2024·山东青岛二中阶段考试)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，设＝a，＝b，则向量＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【通性通法】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
提醒：(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
【巩固迁移】
1．(2023·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．
考点二　平面向量的坐标运算
例2 已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　)
A． B．
C． D．
【通性通法】
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
【巩固迁移】
2．(2024·吉林期末)已知向量＝(2，3)，＝(4，－1)(O为坐标原点)，P是线段AB的中点，则点P的坐标是(　　)
A．(2，－4) B．(3，1)
C．(－2，4) D．(6，2)
考点三　平面向量共线的坐标表示(多考向探究)
考向1利用向量共线求向量或点的坐标
例3 设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　　)
A．(3，1) B．(1，－1)
C．(3，1)或(1，－1) D．(3，1)或(1，1)
【通性通法】
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
提醒：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【巩固迁移】
3．已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
解法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．
考向2利用向量共线求参数
例4 已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【通性通法】
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【巩固迁移】
4．(2023·四川成都三模)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“a与b共线”的充要条件是(　　)
A．x＝±2 B．x＝2
C．x＝－2 D．x＝
考点四　解析法(坐标法)在向量中的应用
例5 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
【通性通法】
通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．
【巩固迁移】
5．(2024·广西宾阳中学阶段练习)已知直角坐标平面内有不共线的三点A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)．
(1)求以线段AB，AD为邻边的平行四边形ABCD两条对角线AC，BD的长；
(2)设点P满足＝(3，3)，试判断点P是在△ABD的BD边上，还是在△ABD的外部？请说明理由．
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