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第三节　平面向量的数量积及其应用
课标解读 考向预测
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 预计2025年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现.
【知识梳理】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．
(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b，
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．小题热身
(1)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.故选A.
(2)(人教A必修第二册6.2练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
答案　－e
解析　向量b在向量a上的投影向量为e＝－e.
(3)(人教B必修第三册8.1.2例2改编)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，则〈a，b〉＝________．
答案　60°
解析　由|a－2b|2＝(a－2b)2＝a2＋4b2－4a·b＝4，得a·b＝1，即|a||b|cos〈a，b〉＝1，则cos〈a，b〉＝，故〈a，b〉＝60°.
(4)(人教A必修第二册习题6.2 T24改编)在⊙C中，弦AB的长度为4，则·＝________．
答案　8
解析　取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB，＝，所以·＝||||·cos∠BAC＝||||＝||2＝8.
【考点探究】
考点一　平面向量数量积的运算
例1 (1)(2024·江苏淮安模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________，a·b＝________．
答案　0　3
解析　如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
(2)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则·＝________．
答案　－2
解析　如图所示，∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵＝3，∴＝＋＝＋，＝－＝－，又||＝4，||＝3，cosθ＝，则·＝4×3×＝8，∴·＝·＝2＋·－2＝×42＋×8－9＝－2.
【通性通法】
计算平面向量数量积的主要方法
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝.
【巩固迁移】
1．设向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，则a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量为________．
答案　13　
解析　因为向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，所以a＝－2e1＋7e2＝－2(1，0)＋7(0，1)＝(－2，7)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，所以a·b＝－2×4＋7×3＝13.由a＝(－2，7)，b＝(4，3)可得，|a|＝＝，|b|＝＝5，所以cos〈a，b〉＝＝，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉＝××＝b＝.
2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．若＝x＋y，则x＋y＝________；·＝________．
答案　　1
解析　∵M是BC的中点，∴＝，∵D是AM的中点，∴＝＋＝＋，∴x＝，y＝，∴x＋y＝.∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1，∴·＝||||cos∠DBM＝||2＝1.
考点二　平面向量数量积的应用(多考向探究)
考向1平面向量的模
例2 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　D
解析　因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故选D.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
答案　
解析　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.
解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.
【通性通法】
求平面向量的模的方法
【巩固迁移】
3.(2024·山东兖州阶段考试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________．
答案　
解析　因为M为BC的中点，所以＝(＋)，所以||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝×(1＋9＋2×1×3cos60°)＝，所以||＝.
考向2平面向量的夹角
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
答案　C
解析　c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.
【通性通法】
求平面向量的夹角的方法
【巩固迁移】
4．(2024·湖南岳阳阶段考试)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝________．
答案　－
解析　解法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cosθ＝＝＝－.
解法二：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cosθ＝＝＝－.
考向3平面向量的垂直
例4 (1)(2024·福建福州开学考试)下列向量中，与(3，2)垂直的向量是(　　)
A．(－4，6) B．(2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
答案　A
解析　对于A，∵(3，2)·(－4，6)＝－12＋12＝0，∴A符合题意；对于B，∵(3，2)·(2，3)＝6＋6＝12≠0，∴B不符合题意；对于C，∵(3，2)·(3，－2)＝9－4＝5≠0，∴C不符合题意；对于D，∵(3，2)·(－3，2)＝－9＋4＝－5≠0，∴D不符合题意．
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝________．
答案　
解析　因为⊥，所以·＝0.又＝λ＋，＝－，所以·＝(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，所以(λ－1)||||·cos120°－λ||2＋||2＝0，所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0，解得λ＝.
【通性通法】
有关平面向量垂直的两类题型
(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【巩固迁移】
5．(2023·河南安阳模拟预测)在△ABC中，点D在边AC上，且＝3，||＝λ||，若⊥(3－)，则λ＝(　　)
A． B．3
C．2 D．1
答案　B
解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，则·(3－)＝·(3－)＝2－2＝0，即9||2＝||2，则||＝3||，即λ＝3.故选B.
考向4最值、范围问题
例5 (1)已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为，则e1＋te2与te1＋e2的数量积的最小值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　A
解析　由题意得，(e1＋te2)·(te1＋e2)＝te＋(t2＋1)e1·e2＋te＝t|e1|2＋(t2＋1)|e1||e2|·cos＋t|e2|2＝t2＋2t＋，∴当t＝－2时，取得最小值，为×4－4＋＝－.故选A.
(2)(2022·天津高考)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
答案　b－a　
解析　＝－＝b－a，＝－＝b－a.
解法一：⊥ ·(b－a)＝0，3b2＋a2＝4a·b cos∠ACB＝＝≥＝，当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈.
解法二：如图所示，建立平面直角坐标系．
设||＝1，A(x，y)，则E(0，0)，B(1，0)，C(3，0)，所以＝
，＝(1－x，－y)，⊥ (x－1)＋＝0 (x＋1)2＋y2＝4，所以点A的轨迹是以M(－1，0)为圆心，r＝2为半径的圆，当且仅当CA与⊙M相切时，∠ACB最大，此时sin∠ACB＝＝＝，∠ACB＝.
【通性通法】
利用数量积求最值、范围的方法
方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值
方法二 利用向量三角不等式求最值
方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值
【巩固迁移】
6．已知点A，B在单位圆上，∠AOB＝，若＝2＋x(x∈R)，则||2的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．5－2 D．4
答案　A
解析　||2＝(2＋x)2＝42＋x22＋4x||||cos＝x2－2x＋4＝(x－)2＋2≥2，因此||2≥2.故选A.
7．已知⊥，||＝，||＝t，t∈.
若P是△ABC所在平面内一点，＝＋，则·的取值范围是________．
答案　
解析　由题意建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(0，0)，B，C(0，t)，∵＝＋＝(0，4)＋(1，0)＝(1，4)，∴P(1，4)，＝，＝(－1，t－4)，·＝×(－1)＋(－4)×(t－4)＝－＋1－4t＋16＝－－4t＋17≤－2＋17＝13，当且仅当t＝时，等号成立，又当t＝时，·＝12，当t＝4时，·＝，所以·的取值范围为.
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第三节　平面向量的数量积及其应用
课标解读 考向预测
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 预计2025年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现.
【知识梳理】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．
(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
【常用结论】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b，
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)
(2)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．(　　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)
2．小题热身
(1)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(人教A必修第二册6.2练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
(3)(人教B必修第三册8.1.2例2改编)已知|a|＝2，|b|＝1，且|a－2b|＝2，则〈a，b〉＝________．
(4)(人教A必修第二册习题6.2 T24改编)在⊙C中，弦AB的长度为4，则·＝________．
【考点探究】
考点一　平面向量数量积的运算
例1 (1)(2024·江苏淮安模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则(a＋b)·c＝________，a·b＝________．
(2)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则·＝________．
【通性通法】
计算平面向量数量积的主要方法
提醒：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝.
【巩固迁移】
1．设向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．若a＝－2e1＋7e2，b＝4e1＋3e2，则a·b＝________，向量a在向量b上的投影向量为________．
2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．若＝x＋y，则x＋y＝________；·＝________．
考点二　平面向量数量积的应用(多考向探究)
考向1平面向量的模
例2 (1)(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．
【通性通法】
求平面向量的模的方法
【巩固迁移】
3.(2024·山东兖州阶段考试)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________．
考向2平面向量的夹角
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)
A．－6 B．－5
C．5 D．6
【通性通法】
求平面向量的夹角的方法
【巩固迁移】
4．(2024·湖南岳阳阶段考试)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量与的夹角为θ，则cosθ＝________．
考向3平面向量的垂直
例4 (1)(2024·福建福州开学考试)下列向量中，与(3，2)垂直的向量是(　　)
A．(－4，6) B．(2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝________．
【通性通法】
有关平面向量垂直的两类题型
(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【巩固迁移】
5．(2023·河南安阳模拟预测)在△ABC中，点D在边AC上，且＝3，||＝λ||，若⊥(3－)，则λ＝(　　)
A． B．3
C．2 D．1
考向4最值、范围问题
例5 (1)已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为，则e1＋te2与te1＋e2的数量积的最小值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)(2022·天津高考)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．
【通性通法】
利用数量积求最值、范围的方法
方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值
方法二 利用向量三角不等式求最值
方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值
【巩固迁移】
6．已知点A，B在单位圆上，∠AOB＝，若＝2＋x(x∈R)，则||2的最小值是(　　)
A．2 B．3
C．5－2 D．4
7．已知⊥，||＝，||＝t，t∈. 若P是△ABC所在平面内一点，＝＋，则·的取值范围是________．
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