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第四节　复数
课标解读 考向预测
1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分.
【知识梳理】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【常用结论】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　　)
(2)复数可以比较大小．(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
2．小题热身
(1)(2023·全国甲卷)＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
(2)(人教A必修第二册习题7.2 T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
(3)若a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝________．
(4)(人教B必修第四册习题10－1A T2改编)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
【考点探究】
考点一　复数的有关概念
例1 (1)(2023·苏州期末)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则的实部为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【通性通法】
解决复数概念问题的两个注意事项
【巩固迁移】
1．(2024·衡水中学模拟)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．
考点二　复数的运算
例2 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
(2)若复数z满足＝i，则z2＝________，|z|＝________．
【通性通法】
复数代数形式运算的策略
【巩固迁移】
3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
4．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
考点三　复数的几何意义
例3 (1)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
(2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则下列结论正确的是(　　)
A．复数z1的虚部为i
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．|z1－z2|的最大值为＋2
D．|z1＋z2|的最小值为－2
【通性通法】
复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【巩固迁移】
5．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点的距离的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．3
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第四节　复数
课标解读 考向预测
1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、减、乘、除运算及复数的几何意义．预计2025年高考会考查复数运算，题型以选择题、填空题为主，分值为5分或6分.
【知识梳理】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【常用结论】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面内表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　　)
(2)复数可以比较大小．(　　)
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小题热身
(1)(2023·全国甲卷)＝(　　)
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
答案　C
解析　＝＝1－i.故选C.
(2)(人教A必修第二册习题7.2 T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
答案　D
解析　∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i.故选D.
(3)若a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝________．
答案　1
解析　由＝＝－i，得a＋bi＝i，即a＝0，b＝1，则a＋b＝1.
(4)(人教B必修第四册习题10－1A T2改编)已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝________；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
答案　0　二
解析　由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得解得所以a＋b＝0，z＝－1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(－1，1)，位于第二象限．
【考点探究】
考点一　复数的有关概念
例1 (1)(2023·苏州期末)设i为虚数单位，若复数(1－i)(1＋ai)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　A
解析　∵(1－i)(1＋ai)＝1＋ai－i＋a＝1＋a＋(a－1)i为纯虚数，∴1＋a＝0，且a－1≠0，∴a＝－1.故选A.
(2)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则的实部为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　C
解析　由题意，得z＝＝＝＝2－i，所以＝2＋i，故的实部为2.故选C.
【通性通法】
解决复数概念问题的两个注意事项
【巩固迁移】
1．(2024·衡水中学模拟)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
答案　B
解析　由＝1－yi，得＝1－yi，即－i＝1－yi，∴解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.故选B.
2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．
答案　－4
解析　z＝(3＋i)(1－4i)＝7－11i，则z的实部为7，虚部为－11，故复数z的实部与虚部之和是7－11＝－4.
考点二　复数的运算
例2 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　)
A．－i B．i
C．0 D．1
答案　A
解析　因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i.故选A.
(2)若复数z满足＝i，则z2＝________，|z|＝________．
答案　－2i　
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝i，a＋(b－1)i＝i·[(a＋1)＋bi]＝－b＋(a＋1)i，所以解得所以z＝－1＋i，故z2＝(－1＋i)2＝－2i，|z|＝＝.
【通性通法】
复数代数形式运算的策略
【巩固迁移】
3．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
答案　D
解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.
4．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
答案　B
解析　由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B.
考点三　复数的几何意义
例3 (1)如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
答案　D
解析　由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.
(2)(多选)(2024·江苏徐州模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为A，复数z2满足|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则下列结论正确的是(　　)
A．复数z1的虚部为i
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
C．|z1－z2|的最大值为＋2
D．|z1＋z2|的最小值为－2
答案　BC
解析　由z1＝－2＋i知，虚部为1，故A错误；因为|z2－1＋i|＝2，z2在复平面内对应的点为B(x，y)，则|(x－1)＋(y＋1)i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝4，故B正确；由题意知，点B在以(1，－1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|AB|＝|z1－z2|，所以|z1－z2|max＝＋2＝＋2，故C正确；|z1＋z2|＝|(－2＋x)＋(1＋y)i|＝表示点B与定点(2，－1)的距离，易知点(2，－1)在圆内，所以|z1＋z2|min＝2－＝1，故D错误．故选BC.
【通性通法】
复数z、复平面内的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) .由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【巩固迁移】
5．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　＝＝＋i的共轭复数为－i，对应点为，在第四象限．故选D.
6．设复数z满足|z－2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点的距离的最大值是(　　)
A．1 B．
C． D．3
答案　D
解析　由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0，2)的距离为1的点的集合，即以(0，2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0，2)到原点的距离为2，所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2＋1＝3.故选D.
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