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第一节　数列的概念与简单表示法
课标解读 考向预测
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、解析式法). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 预计2025年高考会以特殊数列为主，考查数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式，在选择题、填空题或解答题中都可能会出现，难度适中.
【知识梳理】
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
3.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4.数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
(3)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.(　　)
(4)任何一个数列都有唯一的通项公式．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．小题热身
(1)在数列，，，2，，…中，第9个数是(　　)
A．3 B．3
C． D．10
答案　B
解析　观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为＝3.故选B.
(2)(多选)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝
C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1
答案　ABD
解析　对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不符合题意，其他都可能．故选ABD.
(3)(人教A选择性必修第二册4.1练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝________．
答案　
解析　由题意，令n＝1，可得a2＝1＋＝2；令n＝2，可得a3＝1＋＝1＋＝；令n＝3，可得a4＝1＋＝1＋＝；令n＝4，可得a5＝1＋＝1＋＝.
(4)(人教A选择性必修第二册4.1练习 T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．
答案　n2
解析　由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形的数量减少1，直至减少到1，所以an＝n＋2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×1，所以an＝n＋2·＝n2.
【考点探究】
考点一　利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1已知Sn求an
例1 (2023·山西大学附中三模)已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝
解析　当n＝1时，a1＝14，因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，所以a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2n＋3(n≥2)，当n≥2时，两式相减得，an＝(2n＋5)－(2n＋3)＝2，化简得an＝2n＋1，又a1＝14不符合上式，所以an＝
【通性通法】
已知Sn求an的步骤
步骤一 利用a1＝S1，求出a1
步骤二 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式
步骤三 检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并
【巩固迁移】
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1.显然当n＝1时，不满足上式，
故an＝
考向2已知an与Sn的关系求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(　　)
A．297 B．298
C．299 D．2100
答案　C
解析　当n≥2时，由an＋1＝Sn　①，可得an＝Sn－1　②，两式相减得，an＋1－an＝an，所以an＋1＝2an，n≥2，当n＝1时，a2＝S1＝a1＝2，故数列{an}从第2项开始，是公比为2的等比数列，所以an＝所以a100＝299.故选C.
【通性通法】
Sn与an关系问题的解题策略
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解
策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解
【巩固迁移】
2．(2024·广东中山一中阶段考试)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，则Sn＝________，an＝________．
答案　　
解析　依题意得Sn－1－Sn＝Sn－1·Sn(n≥2)，整理得－＝1，又＝＝1，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，因此＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝，∴当n≥2时，an＝－Sn·Sn－1＝－.又当n＝1时，a1＝1，∴an＝
考点二 利用递推关系求通项公式(多考 向探究)
考向1累加法
例3 (2024·江苏镇江一中高三月考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案　A
解析　因为an＋1－an＝ln ＝ln (n＋1)－ln n，所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)，把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合该式，因此an＝2＋ln n(n∈N*)．故选A.
【通性通法】
形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
【巩固迁移】
3．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，则a100＝________．
答案　
解析　由已知，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝，又a2－a1＝1，∴数列{an＋1－an}是首项为1，公差为的等差数列，an＋1－an＝1＋(n－1)＝，∴an－an－1＝，…，a3－a2＝，a2－a1＝，∴an－a1＝(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝×(2＋3＋…＋n)，an＝(n≥2)，a100＝.
考向2累乘法
例4 (2024·湖北黄冈质检)在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式为an＝________．
答案　
解析　由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因为a1＝4，所以an＝(n≥2)．又a1＝4满足上式，所以an＝.
【通性通法】
形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
提醒：利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
【巩固迁移】
4．数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则a6＝________．
答案　360
解析　由题意得an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan　①，当n＝1时，a2＝a1，当n≥2时，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1　②，①－②得an＋1－an＝nan，所以an＋1＝(n＋1)an(n≥2)，所以a1＝1，＝1，＝3，＝4，…，＝n，累乘得an＝(n≥2)，所以a6＝＝360.
考向3构造法
例5 (1)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则an的表达式为________．
答案　an＝
解析　数列{an}中，由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，可得＝3＋，所以数列是首项为，公差为3的等差数列，所以＝＋3(n－1)＝，可得an＝.
(2)(2024·江西九江模拟)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝(2n－1)×3n
解析　由an＋1＝3an＋2×3n＋1，得＝＋，∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，得an＝(2n－1)×3n.
(3)(2023·四川师大附中二诊)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋，且{an}的前8项和为761，则a1＝________．
答案　
解析　数列{an}满足an＋1＝2an＋，整理得an＋1＋＝2，若a1＝－，则an＝－，显然不符合题意，所以an≠－，则＝2(常数)，所以数列是以a1＋为首项，2为公比的等比数列，所以an＋＝·2n－1，整理得an＝·2n－1－.由于前8项和为761，所以S8＝×(1＋2＋…＋27)－8×＝×－4＝255－4＝761，解得a1＝.
【通性通法】
数列中求通项的常见构造法
形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数，pq≠0且p≠1)的递推式 可构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)，转化为等比数列求解．也可以与类比式an＝pan－1＋q作差，由an＋1－an＝p(an－an－1)，构造{an＋1－an}为等比数列，然后利用累加法求通项
形如an＋1＝pan＋dn(p≠0且p≠1，d≠0且d≠1)的递推式 当p＝d时，两边同除以dn＋1转化为关于的等差数列；当p≠d时，两边可以同除以dn＋1得＝·＋，转化为bn＋1＝·bn＋，然后利用构造法求解
形如an＋1＝(ac≠0)的递推式 取倒数得＝＝·＋.当a＝b时，数列是等差数列；当a≠b时，令bn＝，则bn＋1＝·bn＋，然后利用构造法求解
【巩固迁移】
5．(2023·湖南株洲模拟)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的第(　　)
A．100项 B．101项
C．102项 D．103项
答案　A
解析　由an＋1＝(n∈N*)，得＝＝＋，则＝＋(n－1)＝1＋(n－1)＝，∴an＝，令＝，得n＝100.故选A.
6．(2024·浙江诸暨中学质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝2·3n－1－1
解析　∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
7．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________．
答案　－
解析　因为a1＝，an＋1＝an＋，所以2n＋1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n＋1an＋1－3＝(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－×，解得an＝－.
考点三　数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1数列的周期性
例6 (2024·哈尔滨质检)已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－，则T2024＝________．
答案　1
解析　∵a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2＝a1，…，∴数列{an}是周期为3的数列．又a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2024＝3×674＋2，∴T2024＝(－1)674·a2023·a2024＝1×2×＝1.
【通性通法】
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和．
【巩固迁移】
8．(2024·江西临川一中高三质检)无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，Sn为其前n项和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，则a7＝________，S2023＝________．
答案　1　4719
解析　因为数列{an}是“和谐递进数列”，且a1＝a4＝1，a2＝2，所以a5＝a2＝2，同理有a3＝a6，a7＝a4＝1，a8＝a5＝2，又a6＋a8＝6，所以a3＝a6＝4，则数列{an}：a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是以3为周期的数列，所以S2023＝S674×3＋1＝(1＋2＋4)×674＋1＝4719.
考向2数列的单调性
例7 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有λ<＝，∵由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，∴“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A.
【通性通法】
解决数列的单调性问题的常用方法
作差比较法 根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列
作商比较法 根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断
目标函数法 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去
【巩固迁移】
9．(2024·湖北宜昌阶段考试)数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)(n∈N*)，则该数列(　　)
A．递增 B．递减
C．先递增后递减 D．先递减后递增
答案　C
解析　因为an>0，令>1(n≥2)，则>1，整理得>，解得n<9，即当n<9时，an>an－1.同理，令＝1(n≥2)，即当n＝9时，a8＝a9.令<1(n≥2)，得n>9，即当n>9时，an10．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，若bn＝λan－n2＋4n为递增数列，则λ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　因为在数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则有an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，因此数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，an＋1＝2n，即an＝2n－1，则bn＝λ(2n－1)－n2＋4n，因为数列{bn}为递增数列，即 n∈N*，bn＋1－bn＞0，则λ(2n＋1－1)－(n＋1)2＋4(n＋1)－[λ(2n－1)－n2＋4n]＝λ·2n－2n＋3＞0，则λ>，令cn＝，则cn＋1－cn＝－＝，n∈N*，当n≤2时，cn＋1＞cn，当n≥3时，cn＋1＜cn，于是得c3＝是数列{cn}的最大项，即当n＝3时，取得最大值，从而得λ>，所以λ的取值范围为.故选C.
考向3数列的最值
例8 (2023·四川成都模拟)已知数列{an}满足an＝2n(n＋1)，则数列{an}的最大项为(　　)
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
答案　D
解析　假设第n项最大(n≥2)，则有
又n∈N*，所以n＝7，即数列{an}的最大项为第7项．故选D.
【通性通法】
求数列的最大项与最小项的常用方法
单调性法 根据数列的单调性判断
不等式法 利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项
【巩固迁移】
11．(2024·河南洛阳一高质检)若数列{an}的前n项积bn＝1－n，则an的最大值与最小值之和为(　　)
A．－ B．
C．2 D．
答案　C
解析　∵数列{an}的前n项积bn＝1－n，当n＝1时，a1＝；当n≥2时，bn－1＝1－(n－1)，an＝＝＝＝1＋，当n＝1时也适合上式，∴an＝1＋，∴当n≤4时，数列{an}递减，且an＜1；当n≥5时，数列{an}递减，且an＞1，故an的最大值为a5＝3，最小值为a4＝－1，∴an的最大值与最小值之和为2.故选C.
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第一节　数列的概念与简单表示法
课标解读 考向预测
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、解析式法). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 预计2025年高考会以特殊数列为主，考查数列的通项公式与前n项和公式以及递推公式，在选择题、填空题或解答题中都可能会出现，难度适中.
【知识梳理】
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
解析式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
3.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4.数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)
(3)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.(　　)
(4)任何一个数列都有唯一的通项公式．(　　)
2．小题热身
(1)在数列，，，2，，…中，第9个数是(　　)
A．3 B．3
C． D．10
(2)(多选)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝
C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1
(3)(人教A选择性必修第二册4.1练习T3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋，则a5＝________．
(4)(人教A选择性必修第二册4.1练习 T1改编)下列从左到右排列的图形中，小正方形个数构成的数列的一个通项公式为an＝________．
【考点探究】
考点一　利用an与Sn的关系求通项公式(多考向探究)
考向1已知Sn求an
例1 (2023·山西大学附中三模)已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为________．
【通性通法】
已知Sn求an的步骤
步骤一 利用a1＝S1，求出a1
步骤二 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式
步骤三 检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并
【巩固迁移】
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．
考向2已知an与Sn的关系求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，an＋1＝Sn，则a100＝(　　)
A．297 B．298
C．299 D．2100
【通性通法】
Sn与an关系问题的解题策略
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解
策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解
【巩固迁移】
2．(2024·广东中山一中阶段考试)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1(n≥2)，则Sn＝________，an＝________．
考点二 利用递推关系求通项公式(多考 向探究)
考向1累加法
例3 (2024·江苏镇江一中高三月考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
【通性通法】
形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
【巩固迁移】
3．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，则a100＝________．
考向2累乘法
例4 (2024·湖北黄冈质检)在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式为an＝________．
【通性通法】
形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
提醒：利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
【巩固迁移】
4．数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则a6＝________．
考向3构造法
例5 (1)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则an的表达式为________．
(2)(2024·江西九江模拟)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2×3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
(3)(2023·四川师大附中二诊)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋，且{an}的前8项和为761，则a1＝________．
【通性通法】
数列中求通项的常见构造法
形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数，pq≠0且p≠1)的递推式 可构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)，转化为等比数列求解．也可以与类比式an＝pan－1＋q作差，由an＋1－an＝p(an－an－1)，构造{an＋1－an}为等比数列，然后利用累加法求通项
形如an＋1＝pan＋dn(p≠0且p≠1，d≠0且d≠1)的递推式 当p＝d时，两边同除以dn＋1转化为关于的等差数列；当p≠d时，两边可以同除以dn＋1得＝·＋，转化为bn＋1＝·bn＋，然后利用构造法求解
形如an＋1＝(ac≠0)的递推式 取倒数得＝＝·＋.当a＝b时，数列是等差数列；当a≠b时，令bn＝，则bn＋1＝·bn＋，然后利用构造法求解
【巩固迁移】
5．(2023·湖南株洲模拟)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的第(　　)
A．100项 B．101项
C．102项 D．103项
6．(2024·浙江诸暨中学质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
7．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则an＝________．
考点三　数列的性质及其应用(多考向探究)
考向1数列的周期性
例6 (2024·哈尔滨质检)已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－，则T2024＝________．
【通性通法】
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和．
【巩固迁移】
8．(2024·江西临川一中高三质检)无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}为“和谐递进数列”．若{an}为“和谐递进数列”，Sn为其前n项和，且a1＝1，a2＝2，a4＝1，a6＋a8＝6，则a7＝________，S2023＝________．
考向2数列的单调性
例7 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【通性通法】
解决数列的单调性问题的常用方法
作差比较法 根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列
作商比较法 根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断
目标函数法 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去
【巩固迁移】
9．(2024·湖北宜昌阶段考试)数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)(n∈N*)，则该数列(　　)
A．递增 B．递减
C．先递增后递减 D．先递减后递增
10．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，若bn＝λan－n2＋4n为递增数列，则λ的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
考向3数列的最值
例8 (2023·四川成都模拟)已知数列{an}满足an＝2n(n＋1)，则数列{an}的最大项为(　　)
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
又n∈N*，所以n＝7，即数列{an}的最大项为第7项．故选D.
【通性通法】
求数列的最大项与最小项的常用方法
单调性法 根据数列的单调性判断
不等式法 利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项
【巩固迁移】
11．(2024·河南洛阳一高质检)若数列{an}的前n项积bn＝1－n，则an的最大值与最小值之和为(　　)
A．－ B．
C．2 D．
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